光的多普勒效应

             

预备知识 多普勒效应,洛伦兹变换

   不论是牛顿力学框架下还是相对论意义下,光的频率都可能在不同参考系之间有所不同.由于观察者和光源之间相对运动,造成观察者所测得的光的频率与光源的频率不一致,这个现象被称为光的多普勒效应.由于光速不变原理,在相对论框架下讨论光的多普勒效应反而更为简单.

1. 光的多普勒效应的推导

   由于在任何参考系中,光的速度都一样,因此只需要知道光的波长就可以根据以下公式得到光的频率:

\begin{equation} f=\frac{1}{\lambda} \end{equation}
其中,$f$ 是光的频率,$\lambda$ 是光的波长,$1$ 是光速.

   假设光源所在的参考系为 $K_1$,观察者所在的参考系为 $K_2$,而 $K_2$ 相对 $K_1$ 的运动速度为 $\vec{v}=(v, 0, 0)^T$.设光的频率在 $K_1$ 为 $f$,在 $K_2$ 中为 $f'$,那么光的波长在 $K_1$ 中为 $\lambda=1/f$,在 $K_2$ 中为 $\lambda'=1/f'$.

一维情况

   设在 $K_1$ 看来,观察者和光的运动方向是一致的.

   取 $K_1$ 中光的两个相邻的波峰1,作为两个以光速运动的点.为简化讨论,不妨设其中一个点的世界线2表示为

\begin{equation} \begin{pmatrix}t_1\\t_1\\0\\0\end{pmatrix} \end{equation}
而另一个点为
\begin{equation} \begin{pmatrix}t_2\\t_2+\lambda\\0\\0\end{pmatrix} \end{equation}

   代入洛伦兹变换可得,在 $K_2$ 中两波峰的世界线分别为

\begin{equation} \begin{pmatrix}\frac{t_1-vt_1}{\sqrt{1-v^2}}\\\frac{t_1-vt_1}{\sqrt{1-v^2}}\\0\\0\end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix}\frac{t_2-v(t_2+\lambda)}{\sqrt{1-v^2}}\\\frac{(t_2+\lambda)-vt_2}{\sqrt{1-v^2}}\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{t_2-vt_2-v\lambda}{\sqrt{1-v^2}}\\\frac{t_2-vt_2+\lambda}{\sqrt{1-v^2}}\\0\\0\end{pmatrix} \end{equation}

   在各参考系中计算波长,就要计算对应参考系中同一时间下两波峰的空间坐标的差.对于 $K_1$,“同一时间” 意味着 $t_1=t_2$;对于 $K_2$,“同一时间” 意味着 $t_1-vt_1=t_2-v(t_2+\lambda)$,

   将 “同一时间” 条件分别代入两个参考系中两个点的世界线,消去 $t_1$ 计算后发现,两波峰在 $K_1$ 中的距离始终是 $\lambda$,而在 $K_2$ 中的距离始终是 $\frac{(1+v)\lambda}{\sqrt{1-v^2}}$.由于已经设定这束光在 $K_2$ 中的波长是 $\lambda'$,因此有

\begin{equation} \lambda'=\frac{(1+v)\lambda}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{\sqrt{1+v}}{\sqrt{1-v}}\lambda \end{equation}

   因此在 $K_2$ 中,光的频率变为

\begin{equation} f'=\frac{1}{\lambda'}=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}\lambda}=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}f \end{equation}

   这就是一维情况下光的多普勒效应.

三维情况

   三维情况下,我们要考虑在 $K_1$ 看来光的传播方向和 $K_2$ 的运动方向不一致的情况.

   只要在垂直 $x$ 轴的方向上,$y$ 轴和 $z$ 轴的方向可以任意选取,因此不妨设在 $K_1$ 看来,光的传播方向在 $x-y$ 平面的第一象限,与 $x$ 轴夹角为 $\theta$.

   类似一维情况中,取相邻两个波峰,考虑它们在 $K_1$ 中的世界线:

\begin{equation} \begin{pmatrix}t_1\\t_1\cos{\theta}\\t_1\sin{\theta}\\0\end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix}t_2\\(t_2+\lambda)\cos{\theta}\\(t_2+\lambda)\sin{\theta}\\0\end{pmatrix} \end{equation}

   代入洛伦兹变换,得到它们在 $K_2$ 中的世界线:

\begin{equation} \begin{pmatrix}\frac{t_1-vt_1\cos{\theta}}{\sqrt{1-v^2}}\\\frac{t_1\cos{\theta}-vt_1}{\sqrt{1-v^2}}\\t_1\sin{\theta}\\0\end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix}\frac{t_2-v(t_2+\lambda)\cos{\theta}}{\sqrt{1-v^2}}\\\frac{(t_2+\lambda)\cos{\theta}-vt_2}{\sqrt{1-v^2}}\\(t_2+\lambda)\sin{\theta}\\0\end{pmatrix} \end{equation}

   在 $K_2$ 中,“同一时间” 条件为 $t_1-vt_1\cos{\theta}=t_2-v(t_2+\lambda)\cos{\theta}$.类似一维情况,代入该条件并求两波峰的空间坐标之差,所得到的差是一个向量

\begin{equation} \lambda \begin{pmatrix}\frac{\cos\theta\sqrt{1-v^2}}{1-v\cos\theta}\\\frac{\sin\theta}{1-v\cos\theta}\\0\end{pmatrix} \end{equation}
该向量的模长就是
\begin{equation} \lambda'=\lambda\cdot\frac{\cos\theta\sqrt{1-v^2}}{1-v\cos\theta} \end{equation}

   因此在 $K_2$ 中,光的频率变为

\begin{equation} f'=\frac{1}{\lambda'}=\frac{1-v\cos\theta}{\cos\theta\sqrt{1-v^2}}f \end{equation}

   这就是三维空间中一般情况下光的多普勒效应.

   如果 $\theta=0$,那么情况退化为一维空间的问题.作为验证将 $\theta=0$ 代入式 14 后结果和式 7 一致;事实上,容易验证,三维情况下的所有式子在 $\theta=0$ 时都退化为对应的一维情况下的式子.


1. ^ 也可以是相邻波谷,或者任何相邻的两个同相位的点.
2. ^时空的四维表示

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