多普勒效应

             

预备知识 多普勒效应(一维变速)

   我们相对波介质静止建立参考系,令移动的波源位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t)$,振动相位为 $\phi_0(t)$,$t$ 时刻波源到位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的距离为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t) \right\rvert $. 令点观测点接收到的相位为 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$,而这个相位是波源在 $t_0$ 时刻发出得,则有

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t-\Delta t) \right\rvert = v\Delta t \end{equation}
其中 $v$ 为波在介质中传播的速度,$\Delta t$ 是波从波源 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t - \Delta t)$ 处传到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 所需要的时间.$t - \Delta t$ 时刻波源发出的波阵面(相位不变)在 $t$ 时刻到达 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,所以
\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \phi_0(t - \Delta t) \end{equation}
根据式 1 式 2 可以求出空间中的相位场 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$.如果观察者在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处不动,对时间求导即可得到振动的角频率.

   若观察者移动,令位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1(t)$,相位为 $\phi_1(t)$,则

\begin{equation} \phi_1(t) = \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1(t), t) \end{equation}
对时间求导,可得任意时刻点观察者接收到的角频率.

1. 频率公式

   对式 3 求时间 $t$ 得全导数,得

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\phi_1}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol\nabla \phi \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \frac{\partial \phi}{\partial t} \end{equation}
为了书写方便,我们令 $t - \Delta t = t_0$,即波源在 $t_0$ 时刻发出的波阵面在 $t$ 到达 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $.$t_0$ 可以看成 $t$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的函数 $t_0(t, \boldsymbol{\mathbf{r}} )$
\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \phi_0(t_0) = \omega t_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial \phi}{\partial t} = \omega \frac{\partial t_0}{\partial t} \qquad \boldsymbol\nabla \phi = \omega \boldsymbol\nabla t_0 \end{equation}
由几何关系
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t_0) \right\rvert = v(t - t_0) \end{equation}
上式约束了 $t_0, t, \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 三者的关系.两边的增量可以写为(令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $)
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t_0) \right\rvert } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _0 \,\mathrm{d}{t_0} \end{equation}
若要求 $\partial t_0 / \partial t$(隐含 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 不变),令 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = 0$
\begin{equation} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _0 \,\mathrm{d}{t_0} = v( \,\mathrm{d}{t} - \,\mathrm{d}{t_0} ) \end{equation}
两边除以 $ \,\mathrm{d}{t} $,得
\begin{equation} \frac{\partial t_0}{\partial t} = \frac{1}{1 + \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _0/v} \end{equation}
要求 $ \boldsymbol\nabla t_0$,先令 $ \,\mathrm{d}{t} = 0$
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = -(v - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _0) \,\mathrm{d}{t_0} \end{equation}
若假设波源速度不超过波速,可以看出 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 沿 $- \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $ 方向时 $ \,\mathrm{d}{t_0} $ 最大.所以根据梯度的几何意义,$ \boldsymbol\nabla t_0$ 的方向是 $- \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $.为了求梯度大小,令 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \,\mathrm{d}{r} $,代入得
\begin{equation} \boldsymbol\nabla t_0 = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \frac{\partial t_0}{\partial r} = \frac{ - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} }{v - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _0} \end{equation}
现在带回,得
\begin{equation} \omega_1 = \frac{\mathrm{d}{\phi_1}}{\mathrm{d}{t}} = \omega \left( \boldsymbol\nabla t_0 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \frac{\partial t_0}{\partial t} \right) = \omega \frac{v - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}{v - \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _0} \end{equation}
这就是一般的普勒效应公式.

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