多普勒效应
贡献者: addis
预备知识 多普勒效应(一维变速)
我们相对波介质静止建立参考系,令移动的波源位置为 ,振动相位为 , 时刻波源到位矢 的距离为 . 令点观测点接收到的相位为 ,而这个相位是波源在 时刻发出得,则有
其中 为波在介质中传播的速度, 是波从波源 处传到 所需要的时间。 时刻波源发出的波阵面(相位不变)在 时刻到达 ,所以
根据
式 1 和
式 2 可以求出空间中的相位场 。如果观察者在 处不动,对时间求导即可得到振动的角频率。
若观察者移动,令位置为 ,相位为 ,则
对时间求导,可得任意时刻点观察者接收到的角频率。
1. 频率公式
对式 3 求时间 得全导数,得
为了书写方便,我们令 ,即波源在 时刻发出的波阵面在 到达 。 可以看成 和 的函数
由几何关系
上式约束了 三者的关系。两边的增量可以写为(令 的单位矢量为 )
若要求 (隐含 不变),令
两边除以 ,得
要求 ,先令
若假设波源速度不超过波速,可以看出 沿 方向时 最大。所以根据梯度的几何意义, 的方向是 。为了求梯度大小,令 ,代入得
现在带回,得
这就是一般的普勒效应公式。
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