多普勒效应

                     

贡献者: addis

预备知识 多普勒效应(一维变速)

   我们相对波介质静止建立参考系,令移动的波源位置为 r0(t),振动相位为 ϕ0(t)t 时刻波源到位矢 r 的距离为 |rr0(t)|. 令点观测点接收到的相位为 ϕ(r,t),而这个相位是波源在 t0 时刻发出得,则有

(1)|rr0(tΔt)|=vΔt .
其中 v 为波在介质中传播的速度,Δt 是波从波源 r0(tΔt) 处传到 r(t) 所需要的时间。tΔt 时刻波源发出的波阵面(相位不变)在 t 时刻到达 r,所以
(2)ϕ(r,t)=ϕ0(tΔt) ,
根据式 1 式 2 可以求出空间中的相位场 ϕ(r,t)。如果观察者在 r 处不动,对时间求导即可得到振动的角频率。

   若观察者移动,令位置为 r1(t),相位为 ϕ1(t),则

(3)ϕ1(t)=ϕ(r1(t),t) .
对时间求导,可得任意时刻点观察者接收到的角频率。

1. 频率公式

   对式 3 求时间 t全导数,得

(4)dϕ1dt=ϕv1+ϕt .
为了书写方便,我们令 tΔt=t0,即波源在 t0 时刻发出的波阵面在 t 到达 rt0 可以看成 tr 的函数 t0(t,r)
(5)ϕ(r,t)=ϕ0(t0)=ωt0(r,t) ,
(6)ϕt=ωt0tϕ=ωt0 .
由几何关系
(7)|rr0(t0)|=v(tt0) ,
上式约束了 t0,t,r 三者的关系。两边的增量可以写为(令 rr0 的单位矢量为 u^
(8)d|rr0(t0)|=u^drudr0=u^dru^v0dt0 .
若要求 t0/t(隐含 r 不变),令 dr=0
(9)u^v0dt0=v(dtdt0) .
两边除以 dt,得
(10)t0t=11+u^v0/v .
要求 t0,先令 dt=0 ,
(11)u^dr=(vu^v0)dt0 .
若假设波源速度不超过波速,可以看出 dr 沿 u^ 方向时 dt0 最大。所以根据梯度的几何意义,t0 的方向是 u^。为了求梯度大小,令 dr=u^dr,代入得
(12)t0=u^t0r=u^vu^v0 .
现在带回,得
(13)ω1=dϕ1dt=ω(t0v1+t0t)=ωvu^v1vu^v0 ,
这就是一般的普勒效应公式。


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