狭义相对论的运动学（无质量粒子和多普勒效应）

贡献者： _Eden_

预备知识　世界线和固有时

　　约定使用东海岸度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm{diag}(-1,1,1,1)$ 和自然单位制 $c=\hbar=1$。

1. 四速度、四动量、波四矢量

　　对于无质量粒子，它的世界线为类光世界线，$V^\mu= \,\mathrm{d}{x} ^\mu(\lambda)/ \,\mathrm{d}{\lambda} $ 满足 $V^\mu V_\mu = 0$。我们无法用固有时对类光世界线进行参数化，因为在类光世界线上的任意两点的时空间隔都为 $0$。那么我们只能寻求其他的参数化方式。在狭义相对论中，无质量粒子不会受到力的作用，因此其四速度是恒定的，世界线在时空中是一条直线。例如以下就是一条无质量粒子的世界线：

\begin{equation} x^\mu(\lambda)=b^\mu \lambda,\quad b^\mu=(1,1,0,0)~, \end{equation}

容易验证 $V^\mu=(1,1,0,0)$ 满足 $V^\mu V_\mu = 0$。

　　无质量粒子的能量与波的频率 $\omega$ 成正比，动量与波数 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 成正比，即德布罗意关系。那么可以定义其四动量为

\begin{equation} p^\mu=(E, \boldsymbol{\mathbf{P}} )=(\hbar \omega,\hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} )=\hbar k^\mu~, \end{equation}

$\hbar$ 为约化普朗克常数。在自然单位制下，$p^\mu=(E, \boldsymbol{\mathbf{P}} )=(\omega, \boldsymbol{\mathbf{k}} )=k^\mu$。四动量方向应当与四速度方向一致，即

\begin{equation} \hat p,\hat k \propto \hat V= \frac{\mathrm{d}{\hat x(\lambda)}}{\mathrm{d}{\lambda}} ~, \end{equation}

因此它满足爱因斯坦质能关系

\begin{equation} p^\mu p_\mu = E^2-| \boldsymbol{\mathbf{P}} |^2=\omega^2-| \boldsymbol{\mathbf{k}} |^2=0~. \end{equation}

2. 多普勒效应

　　考虑一个光源，在它的参考系中光子沿各个方向以频率 $\omega$ 发射。而对于接收器，假设它相对于光源以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =-v \hat e_x$ 运动（$v>0$ 代表相向，$v<0$ 代表背向运动）。

　　假设在光源参考系 $S$ 中，以 $\alpha$ 角发射的光子被接收器接收到。那么假设在观测者静止的参考系 $S'$ 中，在观测者眼中光子是以 $\alpha'$ 角接收到的，即观测到的光子具有波四矢量

\begin{equation} k'^\mu = \frac{2\pi}{\lambda'}(1,\cos\alpha',\sin\alpha',0)~, \end{equation}

$\lambda'$ 为参考系 $S'$ 中接收器观测到的光子波长。

　　那么可以通过一个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 方向的洛伦兹变换

\begin{equation} \Lambda^\mu{}_\nu=\begin{pmatrix} \gamma & -v\gamma & & \\ -v\gamma & \gamma & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}~. \end{equation}

那么我们希望

\begin{equation} k^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu k'^\nu = \frac{2\pi}{\lambda}(1,\cos\alpha,\sin\alpha,0)~, \end{equation}

转化为求解以下方程组

\begin{equation} \begin{aligned} & \gamma\cdot\frac{2\pi}{\lambda'}\left(1-v\cos\alpha'\right)=\frac{2\pi}{\lambda}~,\\ & \gamma\cdot\frac{2\pi}{\lambda'}\left(\cos\alpha'-v\right)=\frac{2\pi}{\lambda}\cos\alpha~,\\ & \frac{2\pi}{\lambda'}\sin\alpha' = \frac{2\pi }{\lambda}\sin\alpha~. \end{aligned} \end{equation}

经过适当的化简最终可以得到

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{\lambda'}{\lambda}=\gamma(1-v\cos\alpha')~,\\ &\tan\alpha=\frac{\tan\alpha'}{\gamma(1-v\sec \alpha')}~. \end{aligned} \end{equation}

第一个公式可以换作频率的表达式 $\nu=2\pi/\lambda$：

\begin{equation} \nu'=\frac{\nu}{\gamma(1-v\cos\alpha')}~. \end{equation}

习题 1　

　　一个平面镜沿与镜面垂直的方向以常速度 $v$ 运动。一束频率为 $\nu_i$ 的光以入射角 $\phi_i$ 与镜面发生碰撞，反射角为 $\phi_o$，而反射光子的频率为 $\nu_o$。证明如下关系：

\begin{equation} \frac{\tan\frac{1}{2}\phi_i}{\tan\frac{1}{2}\phi_o}=\frac{1+v}{1-v},\quad \frac{\nu_o}{\nu_i}=\frac{\sin\phi_i}{\sin\phi_o}~. \end{equation}

　　 证明：

图 1：习题 1 示意图

　　设平面镜参考系（相对于实验室参考系以 $v$ 的速度向 $-x$ 方向运动）下入光的波四矢为

\begin{equation} k'_i{}^\mu=\nu'(1,\cos\theta',\sin\theta',0)~. \end{equation}

出射光的波四矢为

\begin{equation} k'_o{}^\mu=\nu'(1,-\cos\theta',\sin\theta',0)~. \end{equation}

那么如果切换到实验室参考系，我们有

\begin{equation} \begin{aligned} k_i&=\Lambda^\mu{}_\nu k'_i{}^\nu=\nu'(\gamma(1-v\cos\theta'),\gamma(\cos\theta'-v),\sin\theta',0)\\ &=\nu_i(1,\cos\phi_i,\sin\phi_i,0)~,\\ k_o&=\Lambda^\mu{}_\nu k'_o{}^\nu=\nu'(\gamma(1+v\cos\theta'),\gamma(-\cos\theta'-v),\sin\theta',0)\\ &=\nu_o(1,-\cos\phi_o,\sin\phi_o,0)~. \end{aligned} \end{equation}

比较 $k_i,k_o$ 的第三个分量，它们应当相等，所以可以得到

\begin{equation} \frac{\nu_o}{\nu_i}=\frac{\sin\phi_i}{\sin\phi_o}~. \end{equation}

再考虑计算 $\frac{ \tan\left(\phi_i/2\right) }{ \tan\left(\phi_o/2\right) }$，利用公式 $ \tan\left(\theta/2\right) =\frac{\sin\theta}{\cos\theta+1}$，可以得到

\begin{equation} \begin{aligned} \tan\left(\theta_i/2\right) &=\frac{\nu_i\sin\theta_i}{\nu_i\cos\theta_i+\nu_i}=\frac{\nu'\sin\theta'}{\nu'\gamma(\cos\theta'-v)+\nu'\gamma(1-v\cos\theta')}\\ &=\frac{\sin\theta'}{\gamma(1-v)(1+\cos\theta')}~. \end{aligned} \end{equation}

同理

\begin{equation} \begin{aligned} \tan\left(\theta_o/2\right) &=\frac{\nu_o\sin\theta_o}{\nu_o\cos\theta_o+\nu_o}=\frac{\nu'\sin\theta'}{\nu'\gamma(\cos\theta'+v)+\nu'\gamma(1+v\cos\theta')}\\ &=\frac{\sin\theta'}{\gamma(1+v)(1+\cos\theta')}~. \end{aligned} \end{equation}

因此我们最终证明了

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\tan\frac{1}{2}\phi_i}{\tan\frac{1}{2}\phi_o}=\frac{1+v}{1-v},\quad \frac{\nu_o}{\nu_i}=\frac{\sin\phi_i}{\sin\phi_o}~. \end{aligned} \end{equation}

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