狭义相对论的运动学(无质量粒子和多普勒效应)

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 世界线和固有时

   约定使用东海岸度规 ημν=diag(1,1,1,1) 和自然单位制 c==1

1. 四速度、四动量、波四矢量

   对于无质量粒子,它的世界线为类光世界线,Vμ=dxμ(λ)/dλ 满足 VμVμ=0。我们无法用固有时对类光世界线进行参数化,因为在类光世界线上的任意两点的时空间隔都为 0。那么我们只能寻求其他的参数化方式。在狭义相对论中,无质量粒子不会受到力的作用,因此其四速度是恒定的,世界线在时空中是一条直线。例如以下就是一条无质量粒子的世界线:

(1)xμ(λ)=bμλ,bμ=(1,1,0,0) ,
容易验证 Vμ=(1,1,0,0) 满足 VμVμ=0

   无质量粒子的能量与波的频率 ω 成正比,动量与波数 k 成正比,即德布罗意关系。那么可以定义其四动量为

(2)pμ=(E,P)=(ω,k)=kμ ,
约化普朗克常数。在自然单位制下,pμ=(E,P)=(ω,k)=kμ。四动量方向应当与四速度方向一致,即
(3)p^,k^V^=dx^(λ)dλ ,
因此它满足爱因斯坦质能关系
(4)pμpμ=E2|P|2=ω2|k|2=0 .

2. 多普勒效应

   考虑一个光源,在它的参考系中光子沿各个方向以频率 ω 发射。而对于接收器,假设它相对于光源以速度 v=ve^x 运动(v>0 代表相向,v<0 代表背向运动)。

   假设在光源参考系 S 中,以 α 角发射的光子被接收器接收到。那么 假设在观测者静止的参考系 S 中,在观测者眼中光子是以 α 角接收到的,即观测到的光子具有波四矢量

(5)kμ=2πλ(1,cosα,sinα,0) ,
λ 为参考系 S 中接收器观测到的光子波长。

   那么可以通过一个 v 方向的洛伦兹变换

(6)Λμν=(γvγvγγ11) .
那么我们希望
(7)kμ=Λμνkν=2πλ(1,cosα,sinα,0) ,
转化为求解以下方程组
(8)γ2πλ(1vcosα)=2πλ ,γ2πλ(cosαv)=2πλcosα ,2πλsinα=2πλsinα .
经过适当的化简最终可以得到
(9)λλ=γ(1vcosα) ,tanα=tanαγ(1vsecα) .
第一个公式可以换作频率的表达式 ν=2π/λ
(10)ν=νγ(1vcosα) .

习题 1 

   一个平面镜沿与镜面垂直的方向以常速度 v 运动。一束频率为 νi 的光以入射角 ϕi 与镜面发生碰撞,反射角为 ϕo,而反射光子的频率为 νo。证明如下关系:

(11)tan12ϕitan12ϕo=1+v1v,νoνi=sinϕisinϕo .

   证明:

图
图 1:习题 1 示意图

   设平面镜参考系(相对于实验室参考系以 v 的速度向 x 方向运动)下入光的波四矢为

(12)kiμ=ν(1,cosθ,sinθ,0) .
出射光的波四矢为
(13)koμ=ν(1,cosθ,sinθ,0) .
那么如果切换到实验室参考系,我们有
(14)ki=Λμνkiν=ν(γ(1vcosθ),γ(cosθv),sinθ,0)=νi(1,cosϕi,sinϕi,0) ,ko=Λμνkoν=ν(γ(1+vcosθ),γ(cosθv),sinθ,0)=νo(1,cosϕo,sinϕo,0) .
比较 ki,ko 的第三个分量,它们应当相等,所以可以得到
(15)νoνi=sinϕisinϕo .
再考虑计算 tan(ϕi/2)tan(ϕo/2),利用公式 tan(θ/2)=sinθcosθ+1,可以得到
(16)tan(θi/2)=νisinθiνicosθi+νi=νsinθνγ(cosθv)+νγ(1vcosθ)=sinθγ(1v)(1+cosθ) .
同理
(17)tan(θo/2)=νosinθoνocosθo+νo=νsinθνγ(cosθ+v)+νγ(1+vcosθ)=sinθγ(1+v)(1+cosθ) .
因此我们最终证明了
(18)tan12ϕitan12ϕo=1+v1v,νoνi=sinϕisinϕo .


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