狭义相对论的运动学(无质量粒子和多普勒效应)
贡献者: _Eden_
约定使用东海岸度规 和自然单位制 。
1. 四速度、四动量、波四矢量
对于无质量粒子,它的世界线为类光世界线, 满足 。我们无法用固有时对类光世界线进行参数化,因为在类光世界线上的任意两点的时空间隔都为 。那么我们只能寻求其他的参数化方式。在狭义相对论中,无质量粒子不会受到力的作用,因此其四速度是恒定的,世界线在时空中是一条直线。例如以下就是一条无质量粒子的世界线:
容易验证 满足 。
无质量粒子的能量与波的频率 成正比,动量与波数 成正比,即德布罗意关系。那么可以定义其四动量为
为
约化普朗克常数。在自然单位制下,。四动量方向应当与四速度方向一致,即
因此它满足爱因斯坦质能关系
2. 多普勒效应
考虑一个光源,在它的参考系中光子沿各个方向以频率 发射。而对于接收器,假设它相对于光源以速度 运动( 代表相向, 代表背向运动)。
假设在光源参考系 中,以 角发射的光子被接收器接收到。那么
假设在观测者静止的参考系 中,在观测者眼中光子是以 角接收到的,即观测到的光子具有波四矢量
为参考系 中接收器观测到的光子波长。
那么可以通过一个 方向的洛伦兹变换
那么我们希望
转化为求解以下方程组
经过适当的化简最终可以得到
第一个公式可以换作频率的表达式 :
习题 1
一个平面镜沿与镜面垂直的方向以常速度 运动。一束频率为 的光以入射角 与镜面发生碰撞,反射角为 ,而反射光子的频率为 。证明如下关系:
证明:
图 1:习题 1 示意图
设平面镜参考系(相对于实验室参考系以 的速度向 方向运动)下入光的波四矢为
出射光的波四矢为
那么如果切换到实验室参考系,我们有
比较 的第三个分量,它们应当相等,所以可以得到
再考虑计算 ,利用公式 ,可以得到
同理
因此我们最终证明了
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