世界线和固有时

                     

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 时空的四维表示,爱因斯坦求和约定

   约定使用东海岸度规 ημν=diag(1,1,1,1) 和自然单位制 c=1。本文对于重复出现在上指标和下指标的希腊字母 μ,ν,ρ,σ 等采用爱因斯坦求和约定,例如

(1)AμBμνμ=0,1,2,3AμBμν .

   我们知道,一个事件被看作是四维时空中的一个点,它有给定的时间和空间坐标。如果我们考虑一个粒子的运动,其在时空中的轨迹就是一条曲线。这条曲线就被称为粒子的世界线(world line)1

1. 类时曲线和类空曲线

   我们用 xμ(λ) 来刻画曲线。λ 是刻画曲线的一个参数。那么在某点 λ=λ0 处的切矢量为

(2)Vμ(λ=λ0)=dxμdλ|λ=λ0 .
它衡量了该粒子在 λ0 处的四速度方向(注意,由于曲线的参数化是任意的,所以我们只能确定 Vμ 正比于四速度)。

   如果曲线上的任意一点都有 ημνVμVν<0,那么曲线是类时的。 如果曲线上的任意一点都有 ημνVμVν>0,那么曲线是类空的。如果曲线上的任意一点都有 ημνVμVν=0,即粒子总是以光速运动,这样的世界线被称为类光的。

   两个没有因果关系2的事件只能通过类空曲线相联系。

2. 固有时

   对于一条类时世界线上参数间隔(Δλ)很小的两个点,如果将它们之间的曲线近似地看作是直线,那么它们之间的时空距离是

(3)Δs=Δλημνdxμdλdxνdλ .
利用牛顿—莱布尼兹公式,可以将上式推广到任意类时曲线的 “长度” 公式:
(4)Δs=λAλBdλημνdxμdλdxνdλ .
上式的结果跟 λ 的参数化方式无关,也就是说在变换 λf(λ) 下,时空间隔是不变的(这个过程类似于换元积分法)。这个不变性称为世界线的重参数化不变性

   定义固有时

(5)τAB=ABdλημνdxμdλdxνdλ=ABdτ=ABdt2dr2 ,
由此可以看到 τABtBtA。因此,对于运动的粒子,坐标时总是大于固有时的,这也是钟慢效应的来源。一个例子是,在实验上观测到的粒子寿命总是比它的固有寿命要长。

   为了确定唯一一种参数化方式,我们可以用固有时对曲线参数化:xμ(τ),使得 xμ(τA)xμ(τB) 的固有时为 τBτA。这要求

(6)ημνdxμdτdxνdτ=1 ,
式 6 代入式 4 就可以得到 Δs=dτ,这是符合我们的期待的。我们将
(7)uμ=dxμdτ,u^=uμe^μ 
定义为粒子的四速度。它满足归一化条件:
(8)u^u^=uμuμ=1 .
例如,静止粒子的四速度为 uμ=(1,0,0,0)。而在另一个参考系看来如果粒子的速度为 v,那么其四速度为 uμ=γv(1,v),其中 γv=1/1|v|2


1. ^ 主要参考教材:[1]
2. ^ 更具体的介绍见因果结构


[1] ^ 陈斌. 广义相对论 北京大学出版社(2018)第一版

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利