世界线和固有时
贡献者: _Eden_; addis
约定使用东海岸度规 和自然单位制 。本文对于重复出现在上指标和下指标的希腊字母 等采用爱因斯坦求和约定,例如
我们知道,一个事件被看作是四维时空中的一个点,它有给定的时间和空间坐标。如果我们考虑一个粒子的运动,其在时空中的轨迹就是一条曲线。这条曲线就被称为粒子的世界线(world line)。1
1. 类时曲线和类空曲线
我们用 来刻画曲线。 是刻画曲线的一个参数。那么在某点 处的切矢量为
它衡量了该粒子在 处的四速度
方向(注意,由于曲线的参数化是任意的,所以我们只能确定 正比于四速度)。
如果曲线上的任意一点都有 ,那么曲线是类时的。
如果曲线上的任意一点都有 ,那么曲线是类空的。如果曲线上的任意一点都有 ,即粒子总是以光速运动,这样的世界线被称为类光的。
两个没有因果关系2的事件只能通过类空曲线相联系。
2. 固有时
对于一条类时世界线上参数间隔()很小的两个点,如果将它们之间的曲线近似地看作是直线,那么它们之间的时空距离是
利用
牛顿—莱布尼兹公式,可以将上式推广到任意类时曲线的 “长度” 公式:
上式的结果跟 的参数化方式无关,也就是说在变换 下,时空间隔是不变的(这个过程类似于
换元积分法)。这个不变性称为
世界线的重参数化不变性。
定义固有时:
由此可以看到 。因此,对于运动的粒子,坐标时总是大于固有时的,这也是
钟慢效应的来源。一个例子是,在实验上观测到的粒子寿命总是比它的固有寿命要长。
为了确定唯一一种参数化方式,我们可以用固有时对曲线参数化:,使得 到 的固有时为 。这要求
将
式 6 代入
式 4 就可以得到 ,这是符合我们的期待的。我们将
定义为粒子的
四速度。它满足归一化条件:
例如,静止粒子的四速度为 。而在另一个参考系看来如果粒子的速度为 ,那么其四速度为 ,其中 。
1. ^ 主要参考教材:[1]。
2. ^ 更具体的介绍见因果结构。
[1] ^ 陈斌. 广义相对论 北京大学出版社(2018)第一版
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