时空的四维表示

             

预备知识 斜坐标表示洛伦兹变换,坐标变换与过渡矩阵

1. 概念

四位置和四位移

   把时间坐标和空间坐标都看成时空的坐标,那么一个事件在时空中的位置就被称为其四位置(4-position).四位置本身是一个向量,但其坐标表示取决于所选取的惯性参考系.同一个四位置在不同惯性系中的坐标,可以利用洛伦兹矩阵作为过渡矩阵来相互转化.

   两个事件之间的四位置之差,称为这两个事件之间的四位移(4-displacement)

四速度

   假设某质点在三维空间中运动.经典物理中认为,质点轨迹上某一点的速度是一个向量,其方向与该点处轨迹相切.但速度的大小具体是多少,三维轨迹完全没有提供足够的信息.同样的轨迹完全可以是用不同的瞬时速度来走过的.

   为了完全从几何角度描述该质点的速度,我们可以把视角提高到四维时空,将三维的轨迹拉升到四维,这样就有充足的信息来描述质点的速度大小了,而三维轨迹就是四维轨迹在三维空间中的投影.取四维轨迹上某一点的切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,使其在时间轴上的投影为 $1$(单位时间长度),那么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在三维空间中的投影就是速度.

   这个例子启发我们研究四维速度比研究三维速度更加全面,由此有了以下概念:

定义 1 四速度

   一个质点的四速度(4-velocity),定义为质点的四维运动轨迹的切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,满足 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在瞬时自身系中的时间轴投影长度是 $1$.

   四速度的概念可以应用在经典力学中,也可以应用于相对论.

   相对论框架下,在某惯性参考系里的观察者看来,一个质点的四速度的时间分量,就是这个质点系所处的参考系的 “时间流逝速度”,即质点的手表和观察者的手表的转动速度之比1.如果质点相对观察者静止,那么质点的四速度就是 $(1,0,0,0)$,即非零分量只有时间分量,且时间流逝速度为 $1$.

   如果在经典力学框架下讨论四速度,那么其时间分量就永远是 $1$,这其实意味着经典情况下不存在钟慢效应.

四加速度

定义 2 四加速度

   一个质点的四加速度(4-acceleration),定义为质点的四速度对固有时间(瞬时自身系中的时间)求导的结果.

2. 四位移、四速度与四加速度的性质

四位移的不变性

习题 1 

   设有惯性参考系 $K_1$,另一惯性系 $K_2$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{pmatrix}v, 0, 0\end{pmatrix} ^T$ 相对 $K_1$ 运动.请通过计算证明:对于两个事件 $A$ 和 $B$ 而言,它们在两个参考系中的四位移都是一样的.

四速度的表达

   设有惯性参考系 $K_1$,一个质点在 $K_1$ 中某点的速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \begin{pmatrix}u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$,那么它在 $K_1$ 的四速度 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的方向和 $ \begin{pmatrix}1, u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$ 一致2,设 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =k\cdot \begin{pmatrix}1, u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$.则由于 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 对应瞬时自身系 $K_2$ 中单位时间的长度,再考虑到 $K_2$ 的坐标轴在 $K_1$ 中的表示具有拉伸比例$\sqrt{(1+u^2)}/\sqrt{(1-u^2)}$,知 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 在 $K_1$ 中的长度为 $\sqrt{(1+u^2)}/\sqrt{(1-u^2)}$,其在时间轴上的投影就是 $1/\sqrt{(1-u^2)}=\gamma$.

   因此,速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \begin{pmatrix}u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$ 的质点,其四速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =\gamma \begin{pmatrix}1, u, 0, 0\end{pmatrix} ^T= \begin{pmatrix}\gamma, \gamma u, 0, 0\end{pmatrix} ^T= \begin{pmatrix}1/\sqrt{1-u^2}, u/\sqrt{1-u^2}, 0, 0\end{pmatrix} ^T$.

四加速度

   题设同 “四加速度的表达”,设质点在某点的四加速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{U}} } / \,\mathrm{d}{\tau} $,其中 $\tau$ 是质点的瞬时自身系 $K_2$ 中的固有时.记 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =(t, \boldsymbol{\mathbf{u}} )$,$\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} } }{ \,\mathrm{d}{t} }= \boldsymbol{\mathbf{a}} $.由于在 $K_1$ 中 $ \,\mathrm{d}{t} / \,\mathrm{d}{\tau} =1/\sqrt{1-u^2}=\gamma$,再考虑到分部积分和 $ \,\mathrm{d}{\gamma} / \,\mathrm{d}{t} = \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} /\gamma^3$,可以得:

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} &=\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{U}} } }{ \,\mathrm{d}{\tau} }\\&=\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{U}} } }{ \,\mathrm{d}{t} }\cdot\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{\tau} }\\&=(\gamma^4 \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} , \gamma^2 \boldsymbol{\mathbf{a}} +\gamma^4( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \boldsymbol{\mathbf{u}} )\\&=(\gamma^4 \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} , \gamma^4( \boldsymbol{\mathbf{a}} +( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{u}} )\times \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \end{aligned} \end{equation}

3. 世界线

   我们知道,一个事件被看作是四维时空中的一个点,它有给定的时间和空间坐标.如果我们考虑一个粒子的运动,其在时空中的轨迹就是一条曲线.这条曲线就被称为粒子的世界线(world line)


1. ^ 由于我们采用 $c=1$ 的约定,速度是一个无量纲量.
2. ^ 也就是和瞬时自身系 $K_2$ 的时间轴重合.

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