时空的四维表示

                     

贡献者: JierPeter; addis; _Eden_

预备知识 斜坐标表示洛伦兹变换,坐标变换与过渡矩阵

   约定使用自然单位制c=1

1. 概念

四位置和四位移

   把时间坐标和空间坐标都看成时空的坐标,那么一个事件在时空中的位置就被称为其四位置(4-position)。四位置本身是一个向量,但其坐标表示取决于所选取的惯性参考系。同一个四位置在不同惯性系中的坐标,可以利用洛伦兹矩阵作为过渡矩阵来相互转化。

   两个事件之间的四位置之差,称为这两个事件之间的四位移(4-displacement)

四速度

   假设某质点在三维空间中运动。经典物理中认为,质点轨迹上某一点的速度是一个向量,其方向与该点处轨迹相切。但速度的大小具体是多少,三维轨迹完全没有提供足够的信息。同样的轨迹完全可以是用不同的瞬时速度来走过的。

   为了完全从几何角度描述该质点的速度,我们可以把视角提高到四维时空,将三维的轨迹拉升到四维,这样就有充足的信息来描述质点的速度大小了,而三维轨迹就是四维轨迹在三维空间中的投影。取四维轨迹上某一点的切向量 v,使其在时间轴上的投影为 1(单位时间长度),那么 v 在三维空间中的投影就是速度。

   这个例子启发我们研究四维速度比研究三维速度更加全面,由此有了以下概念:

定义 1 四速度

   一个质点的四速度(4-velocity),定义为质点的四维运动轨迹的切向量 v,满足 v 在瞬时自身系中的时间轴投影长度是 1

   四速度的概念可以应用在经典力学中,也可以应用于相对论。

   相对论框架下,在某惯性参考系里的观察者看来,一个质点的四速度的时间分量,就是这个质点系所处的参考系的 “时间流逝速度”,即质点的手表和观察者的手表的转动速度之比1。如果质点相对观察者静止,那么质点的四速度就是 (1,0,0,0),即非零分量只有时间分量,且时间流逝速度为 1

   如果在经典力学框架下讨论四速度,那么其时间分量就永远是 1,这其实意味着经典情况下不存在钟慢效应。

四加速度

定义 2 四加速度

   一个质点的四加速度(4-acceleration),定义为质点的四速度对固有时间(瞬时自身系中的时间)求导的结果。

2. 四位移、四速度与四加速度的性质

四位移的不变性

习题 1 

   设有惯性参考系 K1,另一惯性系 K2 以速度 v=(v,0,0)T 相对 K1 运动。请通过计算证明:对于两个事件 AB 而言,它们在两个参考系中的四位移都是一样的。

四速度的表达

   设有惯性参考系 K1,一个质点在 K1 中某点的速度是 u=(u,0,0)T,那么它在 K1 的四速度 U方向(1,u,0,0)T 一致2,设 U=k(1,u,0,0)T。则由于 U 对应瞬时自身系 K2 中单位时间的长度,再考虑到 K2 的坐标轴在 K1 中的表示具有拉伸比例(1+u2)/(1u2),知 UK1 中的长度为 (1+u2)/(1u2),其在时间轴上的投影就是 1/(1u2)=γ

   因此,速度为 u=(u,0,0)T 的质点,其四速度是 U=γ(1,u,0,0)T=(γ,γu,0,0)T=(1/1u2,u/1u2,0,0)T

   给定四速度 (1/1u2,u/1u2,0,0)T。更换一个参考系,其洛伦兹变换矩阵为

(1)L=(11v2v1v200v1v211v20000100001) ,
即新的观察者在 K1 中的速度平行于 u

   那么由相对论速度变换,变换后的速度为

(2)u=(uv1uv,0,0)T ,
其四速度为
(3)U=(11(uv1uv)2,uv1uv1(uv1uv)2,0,0)T=(11v2v1v200v1v211v20000100001)(11u2u1u200)=LU ,
所以此时四速度变换的矩阵也是洛伦兹矩阵。

习题 2 

   验证:对于任意给定的四速度 U 和任意洛伦兹变换,四速度的坐标变换矩阵仍然是洛伦兹矩阵。

四加速度

   题设同 “四加速度的表达”,设质点在某点的四加速度是 A=dU/dτ,其中 τ 是质点的瞬时自身系 K2 中的固有时。记 U=(t,u)dudt=a。由于在 K1dt/dτ=1/1u2=γ,再考虑到分部积分和 dγ/dt=au/γ3,可以得:

(4)A=dUdτ=dUdtdtdτ=(γ4au,γ2a+γ4(au)u)=(γ4au,γ4(a+(a×u)×u) .

3. 世界线

   我们知道,一个事件被看作是四维时空中的一个点,它有给定的时间和空间坐标。如果我们考虑一个粒子的运动,其在时空中的轨迹就是一条曲线。这条曲线就被称为粒子的世界线(world line)世界线和固有时)。


1. ^ 由于我们采用 c=1 的约定,速度是一个无量纲量。
2. ^ 也就是和瞬时自身系 K2 的时间轴重合。


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