双生子佯谬

贡献者： JierPeter

　　 双生子佯谬，又称孪生子佯谬，是一个著名的相对论问题。“佯谬” 一词的意思是 “看起来像是错误但实际上不是”，其中 “谬” 指 “错误”，而 “佯” 指 “假的”。它曾经被认为是一个悖论，但在今天已经被完美解决了，所以成了一个佯谬。和时间的变换与钟慢效应文章的结尾所指出的一样，我们将从双生子佯谬入手，尝试讨论非惯性系眼中的时空。

1. 问题描述

　　 假设地球在某个惯性系 $K_1$ 中静止，忽略一切引力等作用，把地球考虑成一个质点。为方便理解，也可以说 $K_1$ 是 “地球系”。在地球上有一对完全同龄的双胞胎，其中弟弟始终留在地球上，而哥哥则乘坐飞船离开地球。称飞船的参考系 $K_2$ 是 “飞船系”，同样看成一个质点。一段时间以哥哥返回并降落在地球上。称飞船的参考系 $K_2$ 是 “飞船系”。当飞船降落后，兄弟俩的年龄是否有差异？差异是什么？

2. 双生子佯谬的解答

　　 我们现有的工具只有狭义相对论，而弟弟所在的地球系是一个惯性系，因此我们可以先从地球系开始讨论。假设兄弟俩各戴着一只完美的手表，走时绝无误差，并且双方都把飞船出发的一刻设为时间零点。这样，我们只需要比较哥哥返回地球时两人手表的读数即可。

　　 问题的最简形式，就是哥哥以匀速直线运动离开地球，某一时刻瞬间反向，沿着原道路以相反速度回到地球。这样，我们甚至不需要关心飞船降落的过程，因为当飞船和地球重合的时候，它们的时空坐标完全相同，被认为是同一个事件，无论在哪个参考系看来都是同时发生的，不会出现同时性的相对性。这样，无论飞船有没有和地球保持静止，我们都可以比较哥哥和弟弟各自手上的手表读数。

　　 事实上并不会存在这样瞬间反向的运动，那么这个模型有物理意义吗？答案是有的，我们只需要耍一个小小的花招。

　　 考虑两艘飞船，都在哥哥的航道上，一艘自地球出发做匀速直线运动，另一艘飞船自远方飞向地球，速度和第一艘相反。这样，两艘飞船都是惯性系，都可以用我们已有的狭义相对论方法去讨论它们眼中的时空。这两艘飞船的运动可以看成是，飞船 $1$ 始终离开地球，飞船 $2$ 先靠近地球，然后穿过地球，即两艘飞船一直匀速，只是中途重合了一瞬间；但是也可以看成，飞船 $1$ 离开地球后，到达重合点突然变成飞船 $2$，飞向地球；飞船 $2$ 也在重合点处突然变成飞船 $1$，飞离地球。为了把这个双飞船的模型等价转化为问题中单飞船的情况，我们只需要让两艘飞船对表，使得它们重合时手表读数相同，然后只观察 “飞船 $1$ 飞到重合点后变成飞船 $2$ 再回到地球” 这一过程就可以，将 “飞船 $2$ 飞到重合点后变成飞船 $1$ 再飞向无穷远” 这一过程视为不存在。

坐标网格与等时线划分

　　 我们将地球、飞船 $1$ 和飞船 $2$ 的坐标网格分别表示如图 1 ，三个网格都是在地球系中划分的。图中的点 $P$ 表示 “飞船 $1$ 和飞船 $2$ 相互转换” 这一事件。显然，地球系自身的等时线都和 $x$ 轴平行，等距线都和 $t$ 轴平行，因此它的网格看起来是一个矩形划分，如图中左边的黑色网格所示；飞船 $1$ 的坐标网格如中间的蓝色划分，其中橙色线代表空间坐标始终为 $0$ 的点，即飞船 $1$ 本身的轨迹，而灰色线代表忽略掉的等时线，因为它们出现在 $P$ 点之后，是不存在的；飞船 $2$ 的坐标网格如右边的红色划分，其中绿色线代表空间坐标始终为 $0$ 的点，即飞船 $2$ 本身的轨迹，而灰色线同样代表忽略掉的等时线，因为出现在 $P$ 之前，不存在。

　　 图 1 没有明显画出来的是，各等距线被灰色等时线所覆盖的部分也要忽略掉。

　　 现在，把两个飞船的坐标网格放到一起，擦掉各自被忽略掉的等时线和等距线部分，就得到了飞船系在整个运动过程中的等时线划分，如图 2 所示：

地球系眼中的飞船时间流逝

　　 在地球上的弟弟看来，尽管飞船的速度在 $P$ 点处突然反向，但是大小是不变的，因此飞船上的时间流速一直都是地球上时间流速的 $\sqrt{1-v^2}$ 倍，其中 $v$ 是指飞船的速度大小。如果飞船回到地球的一瞬间，弟弟的手表显示时间是 $t_0$ 的话，那么哥哥的手表显示的时间应该是 $t_0\sqrt{1-v^2}$。

飞船系眼中的地球时间流逝

　　 在飞船上的哥哥看来，地球上的时间流速应该是飞船上时间流速的 $\sqrt{1-v^2}$ 倍，其中 $v$ 是指地球的速度大小，和地球眼中飞船的速度大小是相等的。但是和地球不同的是，在飞船反向的那一刻，即事件 $P$ 处，有两条等时线，分别和 $t$ 轴相交于 $A$ 点和 $B$ 点。也就是说，在飞船看来，$A$ 和 $B$ 是同时发生的事件，甚至由于它们到飞船的距离也一样，因此在飞船看来是同一个事件。

　　 $A$ 事件和 $B$ 事件分别代表弟弟的手表在地球上显示 $t_1$ 和 $t_2$，其中 $t_1< t_2< t_0$。也就是说，在飞船上的哥哥看来，当飞船突然变向的时候，地球上的弟弟的手表显示的时间瞬间从 $t_1$ 跳到了 $t_2$。整体上，哥哥眼中弟弟的时间流逝速度还是比飞船慢的，但是在飞船变向时弟弟的时间突然跃变了一下，所以导致最终二人相遇时，弟弟手表的读数还是大于哥哥的。

　　 习题 1 的计算结果应为 $\Delta t=v^2t_0$。如果代入地球系计算的结果，即在哥哥看来整个飞行过程持续时间为 $t_0\sqrt{1-v^2}$，那么飞船系中弟弟的时间流速只有哥哥的 $\sqrt{1-v^2}$ 倍，因此弟弟的时间应该连续流逝了 $t_0\sqrt{1-v^2}\sqrt{1-v^2}=t_0(1-v^2)$；加上弟弟的时间有 $\Delta t=v^2t_0$ 的跃变，因此在哥哥看来，相遇时弟弟的手表读数是 $\Delta t_0+t_0(1-v^2)=t_0$，与地球系中计算的结果相同。

解答总结

　　 当哥哥不在地球上时，读表的同时性是相对的，一方眼中的同时读表，在另一方看来就是一先一后的，不是同时。因此兄弟俩如果要比较彼此的手表读数，就得见一次面，因为见面属于同一事件（时空坐标完全相同），无论在哪个参考系看来都是同时的，见面时的两人手表的读数是绝对的，这时候的比较才有意义。但是双方要再次见面，哥哥就不可避免地要经历变速过程。如果是瞬间变速，那么在哥哥看来弟弟的手表读数会在变速的一瞬间跃变，导致最终还是具有更大的读数。因此当两人见面时，无论在谁看来都是弟弟的时间流逝更多，因此弟弟的年龄应该比哥哥大。

　　 实际情况中我们不可能观测到对方的手表读数跃变，因为我们不可能瞬间变速，而是要经历一个加速过程。加速过程可以看成无数匀速过程相加¹，在加速过程中每一个时空点的瞬时自身系中观察地球的时空坐标，那么我们会发现在加速过程中，哥哥眼中弟弟的时间流逝速度会大大加快，导致最终相遇时总的时间流逝还是弟弟更多。

3. 思考

　　 在图 2 中 $P$ 的右侧有一块锥形区域，其中每个点都经过了一红一蓝两个等时线，这意味着什么？

　　 如果在某个比 $P$ 点距离地球更远的地方是火星，其中火星、地球和飞船始终保持在一条直线上（理想地），火星上有一个人也拿着手表在计时。在整个飞行过程中，从飞船系看，火星上这个人的手表读数是如何变化的？

1. ^ 严格来说，可以把加速过程分成 $n$ 段匀速过程，研究其中各事件的时空坐标，再取 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$ 的极限就得到加速过程中各事件的时空坐标。