群速度

                     

贡献者: addis; ACertainUser

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预备知识 拍频

   当波速不随频率变化时,波形整体移动.

   波速是频率的函数

\begin{equation} v_g = \frac{\mathrm{d}{\omega}}{\mathrm{d}{k}} \end{equation}

   (未完成:推导一下量子力学中中心动量为 $k$ 的波包的相速度为什么是 $2k$)

1. 形象的推导

\begin{equation} k, k+\Delta k, \Delta k, v_1 = \omega/k, v_2 = (\omega+\Delta\omega)/(k+\Delta k) \end{equation}
\begin{equation} \Delta v = \frac{\Delta \omega}{k} - \frac{\omega}{k^2}\Delta k \end{equation}
\begin{equation} v_g = v_1 + \frac{\Delta \lambda}{\Delta v} = v_1 - \frac{2\pi\Delta k}{k^2\Delta v} \end{equation}

2. 公式推导

图
图 1:两束频率、速度略有差异的波的叠加.一个动态演示(站外链接)
图
图 2:其中一个“波包”.一个动态演示(站外链接)

   两个振幅相同的平面波

\begin{equation} \begin{aligned} &f_1(x,t) = A \cos\left(k_1 x - \omega_1 t + \phi_1\right) \\ &f_2(x,t) = A \cos\left(k_2 x - \omega_2 t + \phi_2\right) \end{aligned} \end{equation}
根据和差化积(式 17
\begin{equation} \begin{aligned} f_1(x,t) + f_2(x,t) &= 2 A \cos \left(\frac{k_2-k_1}{2}x - \frac{\omega_2-\omega_1}{2}t + \frac{\phi_2 - \phi_1}{2} \right) \\ & \times \cos \left(\frac{k_1+k_2}{2}x - \frac{\omega_{2}+\omega_{1}}{2}t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} \right) \end{aligned} \end{equation}
第一个 $\cos$ 是波包,第二个 $\cos$ 是载波.当频率很接近时,从第一项可知波包的速度为
\begin{equation} v_g = \frac{\mathrm{d}{\omega}}{\mathrm{d}{k}} \end{equation}
注意波包的速度与各 “组成波” 的速度可以是不同的(有时也可以是相同的).例如图 1 中波包的速度就慢于其组成波的速度.


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