群速度

贡献者： addis; ACertainUser

本文处于草稿阶段。

预备知识　拍频

　　当波速不随频率变化时，波形整体移动。

　　波速是频率的函数

\begin{matrix} (1) & v_{g} = \frac{d ω}{d k} . \end{matrix}

1. 形象的推导

\begin{matrix} (2) & k, k + Δ k, Δ k, v_{1} = ω / k, v_{2} = (ω + Δ ω) / (k + Δ k), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & Δ v = \frac{Δ ω}{k} - \frac{ω}{k^{2}} Δ k, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & v_{g} = v_{1} + \frac{Δ λ}{Δ v} = v_{1} - \frac{2 π Δ k}{k^{2} Δ v} . \end{matrix}

2. 公式推导

图 1：两束频率、速度略有差异的波的叠加。本人制作的一个动态演示(站外链接)

图 2：其中一个“波包”。本人制作的一个动态演示(站外链接)

　　两个振幅相同的平面波

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} f_{1} (x, t) = A \cos (k_{1} x - ω_{1} t + ϕ_{1}), \\ f_{2} (x, t) = A \cos (k_{2} x - ω_{2} t + ϕ_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

根据和差化积（式 17 ）

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} f_{1} (x, t) + f_{2} (x, t) & = 2 A \cos (\frac{k_{2} - k_{1}}{2} x - \frac{ω_{2} - ω_{1}}{2} t + \frac{ϕ_{2} - ϕ_{1}}{2}) \\ \times \cos (\frac{k_{1} + k_{2}}{2} x - \frac{ω_{2} + ω_{1}}{2} t + \frac{ϕ_{1} + ϕ_{2}}{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

第一个

\cos

是波包，第二个

\cos

是载波。当频率很接近时，从第一项可知波包的速度为

\begin{matrix} (7) & v_{g} = \frac{d ω}{d k}, \end{matrix}

注意波包的速度与各 “组成波” 的速度可以是不同的（有时也可以是相同的）。例如图 1 中波包的速度就慢于其组成波的速度。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。