振动的指数形式

             

预备知识 二阶常系数齐次微分方程

   简谐振子的微分方程

\begin{equation} m\ddot x = - kx \end{equation}
是一个二阶常系数齐次微分方程.其复数域的通解可以表示为
\begin{equation} x(t) = C_1 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} + C_2 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
其中 $C_1, C_2$ 是任意复常数.由于指数函数的运算往往比三角函数方便,物理或工程中常常用指数函数表示振动,即把式 1 的通解记为1
\begin{equation} \tilde x(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
其中 $\tilde A$ 是一个复数2,称为复振幅,$\tilde A$ 的模长 $A = |\tilde A|$ 就是振幅,$\tilde A$ 幅角的相反数 $\varphi_0 = -\arg(\tilde A)$ 就是初相位3.当我们用式 3 表示振动时,其实部表示质点的坐标,虚部没有物理意义

   为了验证式 3 的确包含了实数域的通解,我们可以先把复振幅表示为 $\tilde A = A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \varphi_0}$,代入式 3 ,再取实部得

\begin{equation} x(t) = \operatorname{Re} [\tilde x(t)] = A \operatorname{Re} \left[ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (\omega t + \varphi_0)} \right] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}

1. 速度和加速度

   由于复数的求导等效于对实部和虚部分别求导,当我们求速度或加速度时,也可以直接对式 3 求导.

\begin{equation} \tilde v(t) = \frac{\mathrm{d}{\tilde x}}{\mathrm{d}{t}} = - \mathrm{i} \omega \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
它的实部就是质点的速度
\begin{equation} v(t) = \operatorname{Re} [\tilde v(t)] = A \operatorname{Re} \left[- \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega (\omega t + \varphi_0)} \right] = -\omega A \sin\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}
可以验证这和直接对式 4 求导相同.然而式 5 的复数表示要简洁得多.同理,加速度的复数形式为
\begin{equation} \tilde a(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}{\tilde x}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = -\omega^2 \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} a(t) &= \operatorname{Re} [\tilde a(t)] = -\omega^2 \operatorname{Re} [\tilde x(t)] = -\omega^2 x(t)\\ &= -\omega^2 A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{aligned} \end{equation}
相比于对式 4 求二阶导数,式 7 同样简洁得多.

2. 振动的叠加

   这里举另一个例子说明使用指数函数表示振动比三角函数方便.假设有若干个频率相同但振幅和初相位各不相同的振动 $x_i(t) = A_i \cos\left(\omega t + \varphi_{0i}\right) $,现在我们来计算它们叠加的结果,即 $\sum_i x_i(t)$.若用两角和公式(式 4 )直接计算,得

\begin{equation} \begin{aligned} \sum_i x_i(t) &= \sum_i [ A_i \cos\varphi_{0i} \cos\left(\omega t\right) - A_i\sin\varphi_{0i} \sin\left(\omega t\right) ]\\ &= \sum_i (A_i \cos\varphi_{0i}) \cos\left(\omega t\right) - \sum_i(A_i\sin\varphi_{0i}) \sin\left(\omega t\right) \end{aligned} \end{equation}
分别令 $C = \sum_i A_i \cos\varphi_{0i}$,$D = \sum_i A_i \sin\varphi_{0i}$,且令 $A = \sqrt{C^2 + D^2}$,以及令 $\varphi_0$ 满足 $\cos\varphi_0 = C/A$,$\sin\varphi_0 = D/A$,则上式变为
\begin{equation} \sum_i x_i(t) = A [\cos\varphi_0 \cos\left(\omega t\right) - \sin\varphi_0 \sin\left(\omega t\right) ] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}
可见任意多个相同频率的简谐波叠加仍然是该频率的一个简谐波.

   若我们用指数形式的振动来进行同样的计算,第 $i$ 个振动可表示为 $\tilde x_i(t) = \tilde A_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}$,其中 $\tilde A_i = A_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega\varphi_{0i}}$.求和得

\begin{equation} \sum_i \tilde x_i(t) = \left(\sum_i \tilde A_i \right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
令 $\tilde A = \sum_i \tilde A_i$,$A = |\tilde A|$,$\varphi_0 = -\arg(\tilde A)$,则最后结果为
\begin{equation} \sum_i \tilde x_i(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
\begin{equation} \sum_i x_i(t) = \operatorname{Re} \left[\tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \right] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}
不难证明上式的 $A$ 和 $\varphi_0$ 与式 10 得到的 $A$ 和 $\varphi_0$ 相同,但是这里的推导的过程却更为简洁.


1. ^ 式 3 中 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}$ 里的负号是一种习惯,有些教材中也会使用正号.无论使用哪一种,必须在计算中保持一致.
2. ^ 在变量上方加波浪线通常为了强调该变量是一个复数,但为了书写方便有时候也会省略,需要从语境中判断.
3. ^ 如果式 3 中没有负号,则初相位定义为 $\varphi_0 = \arg(\tilde A)$

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