振动的指数形式

                     

贡献者： addis

　　 简谐振子的微分方程

是一个二阶常系数齐次微分方程。其复数域的通解可以表示为 其中 $C_1,C_2$ 是任意复常数。由于指数函数的运算往往比三角函数方便，物理或工程中常常用指数函数表示振动，即把式 1 的通解记为¹ 其中 $\tilde{A}$ 是一个复数²，称为复振幅，$\tilde{A}$ 的模长 $A=|\tilde{A}|$ 就是振幅，$\tilde{A}$ 辐角的相反数 ${\phi }_0=-\arg (\tilde{A})$ 就是初相位³。当我们用式 3 表示振动时，其实部表示质点的坐标，虚部没有物理意义。

　　 为了验证式 3 的确包含了实数域的通解，我们可以先把复振幅表示为 $\tilde{A}=A{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\phi }_0}$，代入式 3 ，再取实部得

1. 速度和加速度

　　 由于复数的求导等效于对实部和虚部分别求导，当我们求速度或加速度时，也可以直接对式 3 求导。

它的实部就是质点的速度 可以验证这和直接对式 4 求导相同。然而式 5 的复数表示要简洁得多。同理，加速度的复数形式为 相比于对式 4 求二阶导数，式 7 同样简洁得多。

2. 振动的叠加

　　 这里举另一个例子说明使用指数函数表示振动比三角函数方便。假设有若干个频率相同但振幅和初相位各不相同的振动 $x_i(t)=A_i\cos (\omega t+{\phi }_{0i})$，现在我们来计算它们叠加的结果，即 $\sum _i{x}_i(t)$。若用两角和公式（式 5 ）直接计算，得

分别令 $C=\sum _i{A}_i\cos {\phi }_{0i}$，$D=\sum _i{A}_i\sin {\phi }_{0i}$，且令 $A=\sqrt{C^2+D^2}$，以及令 ${\phi }_0$ 满足 $\cos {\phi }_0=C/A$，$\sin {\phi }_0=D/A$，则上式变为 可见任意多个相同频率的简谐波叠加仍然是该频率的一个简谐波。

　　 若我们用指数形式的振动来进行同样的计算，第 $i$ 个振动可表示为 ${\tilde{x}}_i(t)={\tilde{A}}_i{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$，其中 ${\tilde{A}}_i=A_i{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega {\phi }_{0i}}$。求和得

令 $\tilde{A}=\sum _i{\tilde{A}}_i$，$A=|\tilde{A}|$，${\phi }_0=-\arg (\tilde{A})$，则最后结果为 不难证明上式的 $A$ 和 ${\phi }_0$ 与式 10 得到的 $A$ 和 ${\phi }_0$ 相同，但是这里的推导的过程却更为简洁。

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1. ^ 式 3 中 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ 里的负号是一种习惯，有些教材中也会使用正号。无论使用哪一种，必须在计算中保持一致。
2. ^ 在变量上方加波浪线通常为了强调该变量是一个复数，但为了书写方便有时候也会省略，需要从语境中判断。
3. ^ 如果式 3 中没有负号，则初相位定义为 ${\phi }_0=\arg (\tilde{A})$