一阶线性常微分方程组（简明微积分）

贡献者： addis

和一阶常系数线性微分方程组（常微分方程）部分内容重复

预备知识　一阶线性微分方程

1. 常系数情况

　　一阶常微分方程组

\begin{matrix} (1) & \frac{d v}{d t} = A v \end{matrix}

的解析解（先假设

A

为常矩阵）为

\begin{matrix} (2) & v (t) = \exp (A t) v (0) . \end{matrix}

其中矩阵（这里是方阵）的指数函数也是一个大小相同的矩阵，有类似于泰勒级数定义

\begin{matrix} (3) & \exp (A t) = 1 + A t + \frac{1}{2!} (A t)^{2} + \dots \end{matrix}

代入即可验证式 1 。这类似于一阶常系数常微分方程的解（未完成），即

A

是一个常数而不是矩阵的情况。

　　但式 3 不方便直接计算。此时如果 $A$ 可以对角化为

\begin{matrix} (4) & A = U Λ U^{- 1}, \end{matrix}

其中

U

是本征列向量排成的矩阵，

Λ

是对应本征值

λ_{1}, λ_{2}, \dots

排成的对角矩阵，代入式 3 就有

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \exp (A t) & = U U^{- 1} + U Λ U^{- 1} t + \frac{1}{2!} (U Λ U^{- 1} t)^{2} + \dots \\ = U (1 + Λ t + \frac{1}{2!} (Λ t)^{2} + \dots) U^{- 1} \\ = U \exp (Λ t) U^{- 1} \\ = U (\begin{array}{c} e^{λ_{1} t} & 0 & \dots \\ 0 & e^{λ_{2} t} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}) U^{- 1} . \end{aligned} \end{matrix}

代入式 2 就是方程组的解。

2. 含时系数情况的形式解

　　当式 1 中的系数矩阵 $A$ 是 $t$ 的函数 $A (t)$ 时，一般没有解析解。我们可以取微小时间步长 $Δ t$ ，在每个 $Δ t$ 内近似认为 $A (t_{i})$ 为常数，再取极限

\begin{matrix} (6) & v (t) = lim_{Δ t \to 0} \prod \exp [A (t_{i}) Δ t] v (0), \end{matrix}

如果两个矩阵

P, Q

对易，就有

\begin{matrix} (7) & \exp (P + Q) = \exp (P) \exp (Q), \end{matrix}

但一般来说

A (t_{i})

之间不对易，所以我们形式上定义一个时序算符（子节 2 ）

\hat{T}

使例如

\begin{matrix} (8) & \hat{T} [A (t_{1}) A (t_{3}) A (k_{2})] = A (t_{3}) A (t_{2}) A (t_{1}) (t_{1} < t_{2} < t_{3}), \end{matrix}

这样通解在形式上就可以记为

\begin{matrix} (9) & v (t) = \hat{T} \exp (\int_{0}^{t} A (t^{'}) d t^{'}) v (0), \end{matrix}

然而这么做对于数值计算并没有太大意义。

3. 厄米矩阵、反厄米矩阵

　　量子力学中经常需要求解矩阵形式的薛定谔方程

\begin{matrix} (10) & i \frac{d}{d t} v = H v . \end{matrix}

其中

H

是厄米矩阵（哈密顿矩阵）。若把两边同除以

i

，则系数矩阵

- i H

就是一个反厄米矩阵。如果

H

不随时间变化，那么

e^{i H t}

（

t \in R

）是一个酉矩阵（幺正矩阵）。所以

v (t)

的模

‖ v (t) ‖ = \sum {| v_{i} |}^{2}

将不随时间变化。

　　证明：

\begin{matrix} (11) & ‖ v (t) ‖ = v (t)^{†} v (t) = {(e^{- i H t})}^{†} e^{- i H t} v (0) ‖ v (0) ‖ . \end{matrix}

两边取厄米共轭得

\begin{matrix} (12) & {(e^{- i H t})}^{†} = e^{i H^{†} t} = e^{i H t}, \end{matrix}

由于

[H, H] = 0

，有

(e^{- i H t})^{†} e^{- i H t} = e^{i H t} e^{- i H t} = I

。证毕。

4. 数值计算

　　事实上，以上做法相当于分离变量，当 $A$ 是厄米矩阵时，令 $v (t) = f (t) u$ ，代入方程得

\begin{matrix} (13) & \frac{f^{'} (t)}{f (t)} u = A u, \end{matrix}

由于

A

和

u

都不含时，所以可以令

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} A u = λ u, \\ f (t)^{'} = λ f (t) . \end{aligned} \end{matrix}

其中第一个方程是

A

的本征方程，解为

N

个本征矢

u_{i}

（即

U

的第

i

列）和

N

个本征值

λ_{i}

（即

Λ

的第

i

个对角元）。第二条方程的解为

f (t) = \exp (λ t)

。

　　在此基础上使用 Lanczos 算法可以进一步提高效率。

5. 算符拆分

　　有时候我们希望可以在上述计算中把 $A$ 写成几个矩阵的和的形式（以两个为例） $A = B + C$ 。当 $B$ 和 $C$ 对易时显然有

\begin{matrix} (15) & \exp (A t) = \exp (B t) \exp (C t) . \end{matrix}

在程序中这么做可能可以进一步提高速度¹。如果

B

和

C

不对易，严格来说上式不成立，但可以证明

t \to 0

时近似成立

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} \exp (B t) \exp (C t) \\ = (1 + B t + \frac{1}{2!} B^{2} t^{2} + \dots) (1 + C t + \frac{1}{2!} C^{2} t^{2} + \dots) \\ = 1 + (B + C) t + \frac{1}{2!} (B^{2} + C^{2} + 2 B C) t^{2} + \dots \\ = \exp (A t) + O (t^{2}), \end{aligned} \end{matrix}

这里的

O (t^{2})

是由于第二个等号后面是

2 B C

而不是

B C + C B

。

1. ^ 例如二维波函数的动能算符 $T = T_{x} + T_{y}$

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