泰勒级数(简明微积分)

             

预备知识 阶乘,高阶导数,分部积分法

   若函数 $f$ 在开区间 $I$ 内可以求任意阶的导数(例如多项式,幂函数,三角函数,指数函数,对数函数等),那么这个函数可以用多项式近似,且在某种意义下,总项数 $N$ 越多,近似得越精确.确切地说,对于任何 $x_0\in I$, 存在唯一一个数列 $\{c_n\}$, 使得对于任何正整数 $N$, 皆有(其中 $(x-x_0)^0$ 始终视为 $1$,即使 $x = x_0$)

\begin{equation} f(x) = \sum_{n = 0}^N c_n (x - x_0)^n + \mathcal{O}\left(|x-x_0|^{N+1} \right) . \end{equation}
每一个系数 $c_n$ 由函数在 $x_0$ 处的第 $n$ 阶导数求得
\begin{equation} c_n = \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0); \end{equation}
注意其中 0 的阶乘为 $0! = 1$.另外由式 1 得,当 $x=x_0$ 时,函数值等于多项式值.当项数 $N$ 有限时,通常 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $ 越小多项式就越接近函数.以上这种把函数展开成多项式的方法就叫泰勒展开(Taylor expansion),得到的多项式叫做泰勒级数(Taylor series).我们先来看一个例子:

例 1 正弦函数

   我们在 $x_0=0$ 处展开 $\sin x$,由式 1 式 2

\begin{equation} \sin x = x - \frac{1}{3!}{x^3} + \frac{1}{5!}{x^5} - \frac{1}{7!} x^7 + \ldots \end{equation}
取不同的项数 $N$ 求和,画图如图 1 .可见随着项数增加,多项式慢慢趋近正弦函数.

图
图 1:$\sin x$ 在原点处的泰勒展开的前 $N$ 项求和.容易看出,求和的项数越多,多项式(橙)与 $\sin x$(蓝)吻合得越好.

习题 1 一些常见函数关于原点的泰勒展开

   关于原点的泰勒展开又叫麦克劳林展开,请验证以下的麦克劳林展开:

\begin{equation} \sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots \qquad (x \in \mathbb R) \end{equation}
\begin{equation} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots \qquad (x \in \mathbb R) \end{equation}
\begin{equation} \mathrm{e} ^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots \qquad (x \in \mathbb R) \end{equation}
\begin{equation} \ln\left(1+x\right) = x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1) \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{1 \pm x} = 1 \mp x + x^2 \mp x^3 + x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1) \end{equation}
\begin{equation} \sqrt{1\pm x} = 1 \pm \frac12 x - \frac18 x^2 \pm \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128}x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1) \end{equation}

1. 收敛半径

   我们把形如 $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n$ 的表达式叫做幂级数(power series).泰勒展开就是在用幂级数表示函数.如果某幂级数收敛的点不止 $x_0$ 一点,那么必定存在一个收敛半径(radius of convergence) $0 < r < 1$,使得当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < r$ 时级数必定收敛,而 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert > r$ 是必定发散(不收敛).

   所以在进行泰勒展开时,如果函数在除了若干发散点1外都无穷阶可导,令离 $x_0$ 最近的发散点为 $a$,那么 $f(x)$ 关于 $x_0$ 泰勒展开后,幂级数的收敛半径就是 $r = \left\lvert a - x_0 \right\rvert $.

   例如在式 7 式 9 中,函数的发散点距离原点都是 1,所以幂级数收敛半径为 1,所以即使在 $x_0$ 的另一侧 $f(x)$ 处处无穷可导,仍然不能取 $ \left\lvert x \right\rvert > 1$.

2. 幼稚的推导

   这里给出一个比较直观的对比系数推导方法,可能对初学者有一定启发或者帮助记忆.但以后会看到这是不严谨的.

   我们假设当项数 $N \to \infty$ 时,存在唯一的多项式在某区间内处处趋于无穷可导函数 $f(x)$,即

\begin{equation} f(x) = \sum_{n = 0}^\infty c_n (x - x_0)^n \end{equation}
首先代入 $x = x_0$,可得第一个系数 $c_0 = f(x_0)$.现在我们对上式两边在 $x_0$ 处求导,得
\begin{equation} f'(x_0) = c_1 + \left. \sum_{n = 2}^\infty n c_n (x - x_0)^{n - 1} \right\rvert _{x = x_0} = c_1 \end{equation}
如果对式 10 两边在 $x_0$ 处求二阶导数,得
\begin{equation} f''(x_0) = 2 c_2 + \left. \sum_{n = 3}^\infty n(n - 1) c_n (x - x_0)^{n - 2} \right\rvert _{x = x_0} = 2 c_2 \end{equation}
即 $c_2 = f''(x_0)/2!$. 以此类推,如果对式 10 两边在 $x_0$ 处求 $m$ 阶导数得
\begin{equation} f^{(m)}(x_0) = m! c_m + \left. \sum_{n = m + 1}^\infty \frac{n!}{(n - m)!} c_n (x - x_0)^{n - m} \right\rvert _{x = x_0} = m! c_m \end{equation}
所以系数公式为
\begin{equation} {c_m} = \frac{1}{m!} f^{(m)}(x_0) \end{equation}

   泰勒展开的存在说明了一些函数(下文的解析函数)具有这样的性质:任何一点的性质都能决定完整的函数曲线,这可以类比生物中用一个细胞克隆出一个完整生物体.

3. 推导

  

未完成:需要移到别的词条
如果假设函数 $f$ 在开区间 $I$ 上无穷次可微,那么可以利用分部积分公式
\begin{equation} \begin{aligned} f(x) &=f(x_0)+\int_{x_0}^{x}f'(t) \,\mathrm{d}{t} \\ &=f(x_0)-\int_{x_0}^{x}f'(t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (x-t) \,\mathrm{d}{t} \\ &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}f''(t)(x-t) \,\mathrm{d}{t} . \end{aligned} \end{equation}
由于 $(x-t)=- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (x-t)^2/2!$, 故可以再次分部积分,得到
\begin{equation} \begin{aligned} f(x) =f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\frac{1}{2!}\int_{x_0}^{x}f^{(3)}(t)(x-t)^2dt. \end{aligned} \end{equation}
如此续行,即得到
\begin{equation} \begin{aligned} f(x) &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}(x-x_0)^N\\ &\quad+\frac{1}{N!}\int_{x_0}^{x}f^{(N+1)}(t)(x-t)^{N} \,\mathrm{d}{t} . \end{aligned} \end{equation}
最后的误差可利用定积分估值估计为
\begin{equation} \left|\frac{1}{N!}\int_{x_0}^{x}f^{(N+1)}(t)(x-t)^{N} \,\mathrm{d}{t} \right| \leq\frac{\sup_{t\in I}|f^{(N+1)}(t)|}{N!}|x-x_0|^{N+1}. \end{equation}
显然,这就给出了唯一一个满足开头要求的多项式近似.


1. ^式 7 中的 $x = -1$,式 8 式 9 中的 $x = \mp 1$

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