齐次函数的欧拉定理

贡献者： FFjet; addis

简明微积分中不应该出现矢量空间，应当从预备知识中删去

预备知识　矢量空间，复合函数求导链式法则

　　首先介绍一下什么是齐次函数。

定义 1　齐次函数

　　假设 $f : V \to W$ 是域 $F$ 内的两个向量空间之间的函数。

　　我们说 $f$ 是 $k$ 次齐次函数，如果对于所有非零的 $α \in F$ 和 $v \in V$ ，都有：

\begin{matrix} (1) & f (α v) = α^{k} f (v) . \end{matrix}

即是，在欧几里得空间，

f (α v) = f (k) f (v)

，其中

f (k)

为指数函数。

例 1　

　　 $f (x, y, z) = x^{5} y^{2} z^{3}$ 是 $10$ 次齐次函数，因为 $(α x)^{5} (α y)^{2} (α z)^{3} = α^{10} x^{5} y^{2} z^{3}$ 。

　　 $f (x, y) = x^{5} + 2 x^{3} y^{2} + 9 x y^{4}$ 是 $5$ 次齐次函数。

　　齐次函数的欧拉定理表述如下：

定理 1　齐次函数的欧拉定理

　　若 $k$ 齐次函数 $f : R^{n} \to R$ 是可导的，那么

\begin{matrix} (2) & x \cdot \nabla f (x) = k f (x) . \end{matrix}

　　证明：记 $f = f (x_{1}, \dots, x_{n}) = f (x)$ ，把以下等式两端对 $α$ 求导：

\begin{matrix} (3) & f (α x) = α^{k} f (x) . \end{matrix}

利用复合函数求导法则，可得：

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial}{\partial (α x_{1})} f (α x) \frac{d}{d α} (α x_{1}) + \dots + \frac{\partial}{\partial (α x_{n})} f (α x) \frac{d}{d α} (α x_{n}) = k α^{k - 1} f (x) . \end{matrix}

因此：

\begin{matrix} (5) & x_{1} \frac{\partial}{\partial (α x_{1})} f (α x) + \dots + x_{n} \frac{\partial}{\partial (α x_{n})} f (α x) = k α^{k - 1} f (x) . \end{matrix}

即

\begin{matrix} (6) & x \cdot \nabla f (α x) = k α^{k - 1} f (x), \end{matrix}

令

α = 1

得证。证毕。

　　类似上面的推导过程，我们还可以得到如下推论：

推论 1　

　　若 $f : R^{n} \to R$ 是可导的，且是 $k$ 阶齐次函数。则它的一阶偏导数 $\partial f / \partial x_{i}$ 是 $k - 1$ 阶齐次函数。

　　证明：记 $f = f (x_{1}, \dots, x_{n}) = f (x)$ ，并把以下等式两端对 $x_{i}$ 求导：

\begin{matrix} (7) & f (α x) = α^{k} f (x) . \end{matrix}

利用复合函数求导法则，可得：

\begin{matrix} (8) & \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (α x) \frac{d}{d x_{i}} (α x_{i}) = α^{k} \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (x) \frac{d}{d x_{i}} (x_{i}) . \end{matrix}

因此：

\begin{matrix} (9) & α \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (α x) = α^{k} \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (x), \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (α x) = α^{k - 1} \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (x) . \end{matrix}

证毕。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

齐次函数的欧拉定理

定义 1 齐次函数

例 1

定理 1 齐次函数的欧拉定理

推论 1

定义 1　齐次函数

例 1　

定理 1　齐次函数的欧拉定理

推论 1　