贡献者： FFjet; addis
- 简明微积分中不应该出现矢量空间，应当从预备知识中删去
首先介绍一下什么是齐次函数。
定义 1 齐次函数
假设 $f: V \to W $ 是域 $ F $ 内的两个向量空间之间的函数。
我们说 $f$ 是 $k$ 次齐次函数，如果对于所有非零的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf{v} \in V$，都有：
\begin{equation}
f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) ~.
\end{equation}
即是，在欧几里得空间，$f(\alpha \mathbf{v}) = f(k) \ f(\mathbf{v})$，其中 $f(k)$ 为指数函数。
例 1
$f(x,y,z)=x^5y^2z^3$ 是 $10$ 次齐次函数，因为 $(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3$。
$f(x,y)=x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4$ 是 $5$ 次齐次函数。
齐次函数的欧拉定理表述如下：
定理 1 齐次函数的欧拉定理
若 $k$ 齐次函数 $ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是可导的，那么
\begin{equation}
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )~.\qquad }
\end{equation}
证明：记 $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$，把以下等式两端对 $\alpha$ 求导：
\begin{equation}
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}~.
\end{equation}
利用复合函数求导法则，可得：
\begin{equation}
{\frac {\partial }{\partial (\alpha x_{1})}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial (\alpha x_{n})}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )~.
\end{equation}
因此：
\begin{equation}
x_{1}{\frac {\partial }{\partial (\alpha x_{1})}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial (\alpha x_{n})}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
\mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )~,
\end{equation}
令 $\alpha=1$ 得证。证毕。
类似上面的推导过程，我们还可以得到如下推论：
推论 1
若 $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是可导的，且是 $ k $ 阶齐次函数。则它的一阶偏导数 $\partial f/\partial x_i$ 是 $k-1$ 阶齐次函数。
证明：记 $ f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$，并把以下等式两端对 $x_{i}$ 求导：
\begin{equation}
f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )~.
\end{equation}
利用复合函数求导法则，可得：
\begin{equation}
\frac {\partial }{\partial x_{i}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})~.
\end{equation}
因此：
\begin{equation}
\alpha {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )~.
\end{equation}
证毕。
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