齐次函数的欧拉定理

             

预备知识 矢量空间,复合函数求导 链式法则

   首先介绍一下什么是齐次函数.

定义 1 齐次函数

   假设 $f: V \to W $ 是域 $ F $ 内的两个向量空间之间的函数.

   我们说 $f$ 是 $k$ 次齐次函数,如果对于所有非零的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf{v} \in V$,都有:

\begin{equation} f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) \end{equation}
即是,在欧几里得空间,$f(\alpha \mathbf{v}) = f(k) \ f(\mathbf{v})$,其中 $f(k)$ 为指数函数.

例 1 

   $f(x,y,z)=x^5y^2z^3$ 是 $10$ 次齐次函数,因为 $(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3$.

   $f(x,y)=x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4$ 是 $5$ 次齐次函数.

   齐次函数的欧拉定理表述如下:

定理 1 齐次函数的欧拉定理

   若 $k$ 齐次函数 $ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是可导的,那么

\begin{equation} {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad } \end{equation}

   证明:记 $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$,把以下等式两端对 $\alpha$ 求导:

\begin{equation} {\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )} \end{equation}
利用复合函数求导法则,可得:
\begin{equation} {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} ) \end{equation}
因此:
\begin{equation} x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} ) \end{equation}
\begin{equation} \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} ) \end{equation}
令 $\alpha=1$ 得证.证毕.

   类似上面的推导过程,我们还可以得到如下推论:

推论 1 

   若 $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是可导的,且是 $ k $ 阶齐次函数.则它的一阶偏导数 $\partial f/\partial x_i$ 是 $k-1$ 阶齐次函数.

   证明:记 $ f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$,并把以下等式两端对 $x_{i}$ 求导:

\begin{equation} f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ) \end{equation}
利用复合函数求导法则,可得:
\begin{equation} \frac {\partial }{\partial x_{i}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i}) \end{equation}
因此:
\begin{equation} \alpha {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ) \end{equation}
所以
\begin{equation} {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ) \end{equation}
证毕.

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