戴森级数

贡献者： certain_pineapple

预备知识　时间演化算符（量子力学）

1. 戴森级数

　　考虑时间演化算符所满足的微分方程式：

\begin{matrix} (1) & i ℏ \frac{d}{d t} \hat{U} (t, t_{0}) = \hat{H} (t) \hat{U} (t, t_{0}) . \end{matrix}

　　将其转化为积分方程，且考虑 $lim_{t \to t_{0}} \hat{U} (t, t_{0}) = \hat{I}$ ，则有：

\begin{matrix} (2) & \hat{U} (t, t_{0}) = \hat{I} - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{1}) \hat{U} (t_{1}, t_{0}) d t_{1} . \end{matrix}

　　将 $\hat{U}$ 不断迭代，则有:

\begin{aligned} (3) & \hat{U} (t, t_{0}) & = \hat{I} - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{1}) \hat{U} (t_{1}, t_{0}) d t_{1} \\ (4) & = \hat{I} - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{1}) d t_{1} - (\frac{i}{ℏ})^{2} \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \hat{H} (t_{1}) H (t_{2}) \hat{U} (t_{1}, t_{0}) d t_{2} d t_{1} \\ (5) & = \dots \\ (6) & = \hat{I} + \sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{i}{ℏ})^{n} \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \dots \int_{t_{0}}^{t_{n - 1}} H (t_{1}) H (t_{2}) \dots H (t_{n}) d t_{n} \dots d t_{2} d t_{1}, \end{aligned}

　　上式即被称为戴森级数。

2. 时序算符

　　考虑算符 $\hat{T}$ ，其作用为： $\hat{T} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) = {\begin{aligned} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}), t_{1} > t_{2} \\ \hat{H} (t_{2}) \hat{H} (t_{1}), t_{1} \leq t_{2} \end{aligned},$

　　显然有 $\hat{T} H (t_{1}) H (t_{2}) = \hat{T} H (t_{2}) H (t_{1})$ 。

图 1：积分区域示意图

　　参考图 1 中的方法（蓝色区域中积分式中的等号来自于更改了积分次序，从最开始的先积分 $t_{2}$ 后积分 $t_{1}$ 改为先积分 $t_{1}$ 后积分 $t_{2}$ ），此处 $f (t_{1}, t_{2}) = \hat{T} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2})$ ，可以写出：

\begin{aligned} (7) & \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t} \hat{T} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) d t_{1} d t_{2} & = \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t_{2}} \hat{T} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) d t_{1} d t_{2} + \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \hat{T} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) d t_{2} d t_{1} \\ (8) & = 2 \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) d t_{2} d t_{1} . \end{aligned}

　　同时：

\begin{aligned} (9) & \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t} \hat{T} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) d t_{1} d t_{2} & = \hat{T} \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) d t_{1} d t_{2} \\ (10) & = \hat{T} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{1}) d t_{1} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{2}) d t_{2} \\ (11) & = \hat{T} {[\int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{0}) d t_{0}]}^{2}, \end{aligned}

　　此结论不仅局限为两个哈密顿量相乘的项 $\hat{H}$ 的作用始终为将哈密顿量按其时间综量大小排序。

　　由此可以将戴森级数写成：

\begin{aligned} (12) & \hat{U} (t, t_{0}) & = \hat{I} + \sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{i}{ℏ})^{n} \int_{t_{0}}^{t} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \dots \int_{t_{0}}^{t_{n - 1}} H (t_{1}) H (t_{2}) \dots H (t_{n}) d t_{n} \dots d t_{2} d t_{1} \\ (13) & = \hat{I} + \hat{T} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} (- \frac{i}{ℏ})^{n} {[\int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{0}) d t_{0}]}^{n} \\ (14) & = \hat{T} \exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{0}) d t_{0}) . \end{aligned}

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