一阶常系数线性微分方程组(常微分方程)

             

贡献者: JierPeter

预备知识 矩阵指数,常系数线性微分方程

1. 齐次方程

   一阶常系数齐次线性微分方程组形如

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x_1&=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x_2&=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ &\vdots\\ \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x_n&=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n \end{aligned}\right. \end{equation}
其中各 $x_i$ 是关于 $t$ 的未知函数,各 $a_{ij}$ 是已知常数.我们要研究的是如何解出这个方程组中的各未知函数.

   别看这个方程有那么多变量 $x_i(t)$,实际上我们可以把它们放到一起,构成一个 $n$ 维向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (t)=(x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t))$,这样就可以理解为还是只有一个自变量,只不过自变量从标量变成向量了.

   以上述向量理解的方式来看,式 1 右边部分就是一个线性变换 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{x}} (t)$,其中

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{pmatrix} &a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ &a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ &a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{pmatrix} \end{equation}
是已知常数矩阵.

   这样,我们就还可以把式 1 写成

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{equation}
的形式,看起来和一元方程
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x=ax \end{equation}
非常像.

矩阵指数解法

   式 4 的通解是 $x=C \mathrm{e} ^{at}$,其中 $C$ 为常数.事实上,式 3 的通解也可以类似地用矩阵指数来表示:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{X}} = \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \end{equation}

定义 1 基解矩阵

   如果 $n\times n$ 矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 的每一列作为一个向量,都是式 1 或者说式 3 的线性无关解1,那么称 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 是 式 1 或者说式 2 基解矩阵

定理 1 

   式 5 式 1 或者说式 2 的基解矩阵.

   证明思路很简单,根据定理 2 ,直接得到 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{X}} $,又由于求导是对每个矩阵元独立进行的,因此把 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 看成是列向量排列而成的行矩阵,则每个列向量都是一个解.另外,由于 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} |_{t=0}= \boldsymbol{\mathbf{E}} $,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 为单位矩阵,故 $ \operatorname {tr} \boldsymbol{\mathbf{X}} =n\not=0$,故根据定理 1 ,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{X}} \right\rvert $ 的行列式不为零,故各解向量线性无关.这样,线性无关的一组解就构成了基解矩阵.

   基解矩阵的地位和基本解组一样,都能用来线性组合出所有的解.我们看一个实例:

例 1 

   考虑方程组

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x_1&=x_1+x_2\\ \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x_2&=x_2 \end{aligned}\right. \end{equation}
且已知初值
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1(0)&=3\\ x_1(0)&=2 \end{aligned}\right. \end{equation}
如何求解此方程呢?

   首先我们要求出其基解矩阵:

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{X}} = \mathrm{e} ^{ \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} t}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix} t^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} \begin{pmatrix}t^n&nt^n\\0&t^n\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \mathrm{e} ^t&t \mathrm{e} ^t\\0& \mathrm{e} ^t\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}

   容易验证,

\begin{equation} x_1= \mathrm{e} ^t, x_2=0 \end{equation}
\begin{equation} x_1=t \mathrm{e} ^t, x_2= \mathrm{e} ^t \end{equation}
都是式 6 的解,且它们彼此在任何区间上都线性无关,因此 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 确实是式 6 的基解矩阵.

   现在设

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1&=A \mathrm{e} ^t+Bt \mathrm{e} ^t\\x_2&=B \mathrm{e} ^t \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $A, B$ 是待定常数.

   将式 11 代入初值条件式 7 ,解出 $A, B$,最终得到满足初值条件的特解

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1&=3 \mathrm{e} ^t+2t \mathrm{e} ^t\\ x_2&=2 \mathrm{e} ^t \end{aligned}\right. \end{equation}

特征向量解法

   如果 $n\times n$ 矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$,其特征值分别为 $\lambda_i$,那么式 5 的另一种基解矩阵就可以写为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{X}} = \begin{pmatrix} \mathrm{e} ^{\lambda_{1}t} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1& \mathrm{e} ^{\lambda_{2}t} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2&\cdots& \mathrm{e} ^{\lambda_{n}t} \boldsymbol{\mathbf{v}} _n\end{pmatrix} \end{equation}

   验证是很容易的:$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{\lambda_{i}t} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i=\lambda_i \mathrm{e} ^{\lambda_{i}t} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i= \boldsymbol{\mathbf{M}} \mathrm{e} ^{\lambda_{i}t} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$.

   如果 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 没那么多线性无关的特征向量(换句话来说,就是无法对角化),那么式 13 虽然仍旧是解,却不够全面,从而不是基解矩阵.我们接下来讨论这种情况下的基解矩阵求法.

   我们的目标是脱离无穷级数来计算矩阵指数 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}$,这是因为无穷级数常常难以计算.虽然接下来使用的方法也常有很大计算量,但这也是没办法的事,$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 无法对角化导致过程不会像式 13 那么简单了.

   首先注意到,如果设列向量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i$ 为 “第 $i$ 行为 $1$,其余为 $0$”,那么我们应该有

\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}= \begin{pmatrix} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1& \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2&\cdots& \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n\end{pmatrix} \end{equation}

   问题转化为计算 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i$.

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 是单位矩阵,那么我们有

\begin{equation} \mathrm{e} ^{\lambda_it} \mathrm{e} ^{-\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{E}} t}= \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}

   因此,

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j&= \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \boldsymbol{\mathbf{E}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j\\ &= \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t} \mathrm{e} ^{\lambda_it} \mathrm{e} ^{-\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{E}} t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j\\ &= \mathrm{e} ^{\lambda_it} \mathrm{e} ^{( \boldsymbol{\mathbf{M}} -\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{E}} )t} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j\\ &= \mathrm{e} ^{\lambda_it} \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}( \boldsymbol{\mathbf{M}} -\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{E}} )^k \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j \end{aligned} \end{equation}

   式 16 里仍有无穷级数.

   将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j$ 进行特征分解,则对于其每一个特征分量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,设其重数为 $m$,都有

未完成:引用特征向量与特征分解相关词条.
\begin{equation} \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}( \boldsymbol{\mathbf{M}} -\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{E}} )^k \right) \boldsymbol{\mathbf{v}} = \left(\sum_{k=0}^n \frac{t^k}{k!}( \boldsymbol{\mathbf{M}} -\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{E}} )^k \right) \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}

   这样就把无穷级数计算化为多个有限和计算了.

   这种计算方式规避了直接计算无穷级数,但复杂点在于要先关于 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 对各 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j$ 进行特征分解,再分别计算用特征分解计算式 17 ,最后再利用式 16 式 14 组合成整个 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}$.


1. ^ 于是有了 $n$ 个线性无关解,根据方程组的存在与唯一性定理,任何一个解都可以用基解矩阵里的列向量线性组合得出.


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