一阶常系数线性微分方程组（常微分方程）

贡献者： JierPeter

预备知识　矩阵指数，常系数线性微分方程

1. 齐次方程

　　一阶常系数齐次线性微分方程组形如

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} \frac{d}{d t} x_{1} & = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} \\ \frac{d}{d t} x_{2} & = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} \\ ⋮ \\ \frac{d}{d t} x_{n} & = a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n}, \end{aligned} \end{matrix}

其中各

x_{i}

是关于

t

的未知函数，各

a_{i j}

是已知常数。我们要研究的是如何解出这个方程组中的各未知函数。

　　别看这个方程有那么多变量 $x_{i} (t)$ ，实际上我们可以把它们放到一起，构成一个 $n$ 维向量 $x (t) = (x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t))$ ，这样就可以理解为还是只有一个自变量，只不过自变量从标量变成向量了。

　　以上述向量理解的方式来看，式 1 右边部分就是一个线性变换 $M x (t)$ ，其中

\begin{matrix} (2) & M = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) \end{matrix}

是已知常数矩阵。

　　这样，我们就还可以把式 1 写成

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} x = M x \end{matrix}

的形式，看起来和一元方程

\begin{matrix} (4) & \frac{d}{d t} x = a x \end{matrix}

非常像。

矩阵指数解法

　　式 4 的通解是 $x = C e^{a t}$ ，其中 $C$ 为常数。事实上，式 3 的通解也可以类似地用矩阵指数来表示：

\begin{matrix} (5) & X = e^{M t} . \end{matrix}

定义 1　基解矩阵

　　如果 $n \times n$ 矩阵 $X$ 的每一列作为一个向量，都是式 1 或者说式 3 的线性无关解¹，那么称 $X$ 是式 1 或者说式 2 的基解矩阵。

定理 1　

　　式 5 是式 1 或者说式 2 的基解矩阵。

　　证明思路很简单，根据定理 2 ，直接得到 $\frac{d}{d t} X = M X$ ，又由于求导是对每个矩阵元独立进行的，因此把 $X$ 看成是列向量排列而成的行矩阵，则每个列向量都是一个解。另外，由于 $X |_{t = 0} = E$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，故 $tr X = n \neq 0$ ，故根据定理 1 ， $| X |$ 的行列式不为零，故各解向量线性无关。这样，线性无关的一组解就构成了基解矩阵。

　　基解矩阵的地位和基本解组一样，都能用来线性组合出所有的解。我们看一个实例：

例 1　

　　考虑方程组

\begin{matrix} (6) & {\begin{aligned} \frac{d}{d t} x_{1} & = x_{1} + x_{2} \\ \frac{d}{d t} x_{2} & = x_{2}, \end{aligned} \end{matrix}

且已知初值

\begin{matrix} (7) & {\begin{aligned} x_{1} (0) & = 3 \\ x_{1} (0) & = 2 . \end{aligned} \end{matrix}

如何求解此方程呢？

　　首先我们要求出其基解矩阵：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} X = e^{(\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}) t} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (\begin{array}{c} 1 & n \\ 0 & 1 \end{array}) t^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (\begin{array}{c} t^{n} & n t^{n} \\ 0 & t^{n} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} e^{t} & t e^{t} \\ 0 & e^{t} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　容易验证，

\begin{matrix} (9) & x_{1} = e^{t}, x_{2} = 0 \end{matrix}

和

\begin{matrix} (10) & x_{1} = t e^{t}, x_{2} = e^{t} \end{matrix}

都是式 6 的解，且它们彼此在任何区间上都线性无关，因此

X

确实是式 6 的基解矩阵。

　　现在设

\begin{matrix} (11) & {\begin{aligned} x_{1} & = A e^{t} + B t e^{t} \\ x_{2} & = B e^{t}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

A, B

是待定常数。

　　将式 11 代入初值条件式 7 ，解出 $A, B$ ，最终得到满足初值条件的特解

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} x_{1} & = 3 e^{t} + 2 t e^{t} \\ x_{2} & = 2 e^{t} . \end{aligned} \end{matrix}

本征向量解法

　　如果 $n \times n$ 矩阵 $M$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量 $v_{i}$ ，其本征值分别为 $λ_{i}$ ，那么式 5 的另一种基解矩阵就可以写为

\begin{matrix} (13) & X = (\begin{matrix} e^{λ_{1} t} v_{1} & e^{λ_{2} t} v_{2} & \dots & e^{λ_{n} t} v_{n} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　验证是很容易的： $\frac{d}{d t} e^{λ_{i} t} v_{i} = λ_{i} e^{λ_{i} t} v_{i} = M e^{λ_{i} t} v_{i}$ 。

　　如果 $M$ 没那么多线性无关的本征向量（换句话来说，就是无法对角化），那么式 13 虽然仍旧是解，却不够全面，从而不是基解矩阵。我们接下来讨论这种情况下的基解矩阵求法。

　　我们的目标是脱离无穷级数来计算矩阵指数 $e^{M t}$ ，这是因为无穷级数常常难以计算。虽然接下来使用的方法也常有很大计算量，但这也是没办法的事， $M$ 无法对角化导致过程不会像式 13 那么简单了。

　　首先注意到，如果设列向量 ${\hat{e}}_{i}$ 为 “第 $i$ 行为 $1$ ，其余为 $0$ ”，那么我们应该有

\begin{matrix} (14) & e^{M t} = (\begin{matrix} e^{M t} {\hat{e}}_{1} & e^{M t} {\hat{e}}_{2} & \dots & e^{M t} {\hat{e}}_{n} \end{matrix}), \end{matrix}

　　问题转化为计算 $e^{M t} {\hat{e}}_{i}$ 。

　　设 $E$ 是单位矩阵，那么我们有

\begin{matrix} (15) & e^{λ_{i} t} e^{- λ_{i} E t} = E . \end{matrix}

　　因此，

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} e^{M t} {\hat{e}}_{j} & = e^{M t} E {\hat{e}}_{j} \\ = e^{M t} e^{λ_{i} t} e^{- λ_{i} E t} {\hat{e}}_{j} \\ = e^{λ_{i} t} e^{(M - λ_{i} E) t} {\hat{e}}_{j} \\ = e^{λ_{i} t} (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!} (M - λ_{i} E)^{k}) {\hat{e}}_{j}, \end{aligned} \end{matrix}

　　式 16 里仍有无穷级数。

　　将 ${\hat{e}}_{j}$ 进行特征分解，则对于其每一个特征分量 $v$ ，设其重数为 $m$ ，都有

未完成：引用特征向量与特征分解相关文章。

\begin{matrix} (17) & (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!} (M - λ_{i} E)^{k}) v = (\sum_{k = 0}^{n} \frac{t^{k}}{k!} (M - λ_{i} E)^{k}) v, \end{matrix}

　　这样就把无穷级数计算化为多个有限和计算了。

　　这种计算方式规避了直接计算无穷级数，但复杂点在于要先关于 $M$ 对各 ${\hat{e}}_{j}$ 进行特征分解，再分别计算用特征分解计算式 17 ，最后再利用式 16 、式 14 组合成整个 $e^{M t}$ 。

1. ^ 于是有了 $n$ 个线性无关解，根据方程组的存在与唯一性定理，任何一个解都可以用基解矩阵里的列向量线性组合得出。

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一阶常系数线性微分方程组（常微分方程）

1. 齐次方程

矩阵指数解法

定义 1 基解矩阵

定理 1

例 1

本征向量解法

定义 1　基解矩阵

定理 1　

例 1　