绳结的受力分析

贡献者： addis

预备知识　力的分解与合成

　　作为力的分解与合成的一个应用，考虑 $N$ 根质量和粗细不计的绳子的末端连接到一个质量不计的绳结，假设每根绳子拉绳结的力为 $F_{i}$ ，那么绳结受力平衡的充分必要条件是合力为零

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 1}^{N} F_{i} = 0 . \end{matrix}

显然，当

N = 2

时，两个拉力必须等大反向。

例 1　三点拉绳

　　从给定的 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 三点以固定大小的力 $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ 拉一个绳结，求绳结平衡的条件以及平衡位置。

图 1：三点拉绳

　　解：首先绳结的平衡位置必定在三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ 内，否则仅分析三个力的方向就不可能平衡。令绳结到三点的单位矢量分别为 ${\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}, {\hat{r}}_{3}$ ，那么

\begin{matrix} (2) & F_{1} {\hat{r}}_{1} + F_{2} {\hat{r}}_{2} + F_{3} {\hat{r}}_{3} = 0 . \end{matrix}

根据该关系以及矢量相加的平行四边形法则，容易求出

{\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}, {\hat{r}}_{3}

两两之间的夹角，记为

θ_{12}, θ_{23}, θ_{13}

。注意这三个角和

P_{1}, P_{2}, P_{3}

的位置没有关系，完全由三个力的大小唯一确定。注意

F_{1}, F_{2}, F_{3}

必须满足任意两个之和大于第三个才可能有解，即三角不等式。

　　令线段 $P_{1} P_{2}$ 的长度为 $l_{12}$ ，为了保证 $θ_{12}$ 为定值，过 $P_{1}, P_{2}$ 作一条弧线，半径为（式 1 ）

\begin{matrix} (3) & R = \frac{l_{12}}{\sin θ_{12}}, \end{matrix}

那么绳结必定落在弧线上。同理，过

P_{2}, P_{3}

再做一条弧线满足

R = l_{23} / \sin θ_{23}

，两条弧线的交点若在三角形内就是平衡点，否则不存在平衡点。

　　另一个例题见例 1 。

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绳结的受力分析

例 1 三点拉绳

例 1　三点拉绳