绳结的受力分析

             

预备知识 力的分解与合成

   作为力的分解与合成的一个应用,考虑 $N$ 根质量和粗细不计的绳子的末端连接到一个质量不计的绳结,假设每根绳子拉绳结的力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$,那么绳结受力平衡的充分必要条件是合力为零

\begin{equation} \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
显然,当 $N = 2$ 时,两个拉力必须等大反向.

例 1 三点拉绳

   从给定的 $P_1,P_2,P_3$ 三点以固定大小的力 $F_1, F_2, F_3$ 拉一个绳结,求绳结平衡的条件以及平衡位置.

图
图 1:三点拉绳

   解:首先绳结的平衡位置必定在三角形 $P_1 P_2 P_3$ 内,否则仅分析三个力的方向就不可能平衡.令绳结到三点的单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _3$,那么

\begin{equation} F_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1 + F_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2 + F_3 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _3 = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
根据该关系以及矢量相加的平行四边形法则,容易求出 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _3$ 两两之间的夹角,记为 $\theta_{12}, \theta_{23}, \theta_{13}$.注意这三个角和 $P_1, P_2, P_3$ 的位置没有关系,完全由三个力的大小唯一确定.注意 $F_1, F_2, F_3$ 必须满足任意两个之和大于第三个才可能有解,即三角不等式.

   令线段 $P_1P_2$ 的长度为 $l_{12}$,为了保证 $\theta_{12}$ 为定值,过 $P_1, P_2$ 作一条弧线,半径为(式 1

\begin{equation} R = \frac{l_{12}}{\sin\theta_{12}} \end{equation}
那么绳结必定落在弧线上.同理,过 $P_2, P_3$ 再做一条弧线满足 $R = l_{23}/\sin\theta_{23}$,两条弧线的交点若在三角形内就是平衡点,否则不存在平衡点.

   另一个例题见例 1

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利