绳结的受力分析

贡献者： addis

预备知识　力的分解与合成

　　作为力的分解与合成的一个应用，考虑 $N$ 根质量和粗细不计的绳子的末端连接到一个质量不计的绳结，假设每根绳子拉绳结的力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$，那么绳结受力平衡的充分必要条件是合力为零

\begin{equation} \sum_{i=1}^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

显然，当 $N = 2$ 时，两个拉力必须等大反向。

例 1　三点拉绳

　　从给定的 $P_1,P_2,P_3$ 三点以固定大小的力 $F_1, F_2, F_3$ 拉一个绳结，求绳结平衡的条件以及平衡位置。

图 1：三点拉绳

　　解：首先绳结的平衡位置必定在三角形 $P_1 P_2 P_3$ 内，否则仅分析三个力的方向就不可能平衡。令绳结到三点的单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _3$，那么

\begin{equation} F_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1 + F_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2 + F_3 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _3 = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

根据该关系以及矢量相加的平行四边形法则，容易求出 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _3$ 两两之间的夹角，记为 $\theta_{12}, \theta_{23}, \theta_{13}$。注意这三个角和 $P_1, P_2, P_3$ 的位置没有关系，完全由三个力的大小唯一确定。注意 $F_1, F_2, F_3$ 必须满足任意两个之和大于第三个才可能有解，即三角不等式。

　　令线段 $P_1P_2$ 的长度为 $l_{12}$，为了保证 $\theta_{12}$ 为定值，过 $P_1, P_2$ 作一条弧线，半径为（式 1 ）

\begin{equation} R = \frac{l_{12}}{\sin\theta_{12}}~, \end{equation}

那么绳结必定落在弧线上。同理，过 $P_2, P_3$ 再做一条弧线满足 $R = l_{23}/\sin\theta_{23}$，两条弧线的交点若在三角形内就是平衡点，否则不存在平衡点。

　　另一个例题见例 1 。

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绳结的受力分析

例 1 三点拉绳

例 1　三点拉绳