双曲函数

贡献者： addis

预备知识　指数函数

　　¹这里介绍三种双曲函数（hyperbolic function）：双曲正弦函数，双曲余弦函数和双曲正切函数。本文只讨论实数自变量的情况。他们的定义分别为

\begin{align} \sinh x &= \frac{ \mathrm{e} ^x - \mathrm{e} ^{-x}}{2}~,\\ \cosh x &= \frac{ \mathrm{e} ^x + \mathrm{e} ^{-x}}{2}~,\\ \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{ \mathrm{e} ^x - \mathrm{e} ^{-x}}{ \mathrm{e} ^x + \mathrm{e} ^{-x}}~. \end{align}

其中 $ \mathrm{e} $ 是一个高等数学中常见的常数，叫做自然对数底。这三个函数的图像如图 1 。

图 1：三种双曲函数的图像

　　注意 $\sinh x$ 和 $\tanh x$ 是奇函数，$\cosh x$ 是偶函数。

1. 恒等式

　　以下恒等式中，$x,y$ 可以取任意复数

\begin{equation} \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1~, \end{equation}

\begin{equation} \sinh\left(x+y\right) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y~, \end{equation}

\begin{equation} \cosh\left(x+y\right) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y~. \end{equation}

2. 反函数

\begin{equation} \tanh^{-1} x = \frac12 \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \qquad ( \left\lvert x \right\rvert < 1)~. \end{equation}

例 1　反双曲正弦函数

　　要求 $\sinh x$ 的反函数，我们令

\begin{equation} x = \sinh y = \frac{ \mathrm{e} ^y - \mathrm{e} ^{-y}}{2}~. \end{equation}

整理成关于 $ \mathrm{e} ^y$ 的二次方程，得

\begin{equation} ( \mathrm{e} ^y)^2 - 2x \mathrm{e} ^y - 1 = 0~. \end{equation}

解出 $ \mathrm{e} ^y$ 为

\begin{equation} \mathrm{e} ^y = x \pm \sqrt{x^2 + 1}~. \end{equation}

由于 $ \mathrm{e} ^y > 0$，上式取正号。两边取自然对数，得

\begin{equation} y = \sinh^{-1} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) ~. \end{equation}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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双曲函数

1. 恒等式

2. 反函数

例 1 反双曲正弦函数

例 1　反双曲正弦函数