求定积分的一些方法

贡献者： ACertainUser

　　¹在实操中，定积分的计算也一般交给计算机完成（运用符号积分或者数值积分）；不过，既然考试还喜欢考定积分计算，你就不得不会做点题。

1. 微积分基本定理

　　 原则上说，因为你总能通过微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）联系不定积分（原函数）与定积分，因此你可以先找到相应的原函数再赋值计算。这使得不定积分的所有积分技巧同样适用于定积分，此处不再复述。

　　 值得注意的是，在运用分部积分法或换元法后，你必须相应的改变积分上下限。例如，$$\int^b_a uv'dx = uv|^b_a-\int^b_a vu'dx~,$$, $$\int^b_a f'(g(x))g'(x)dx = \int ^{u(b)}_{u(a)} f'(u)du~.$$

　　 然而，由于定积分有确定的积分上下限，比起不定积分，定积分有着更多样的、也更方便的求解技巧。因此，做定积分时应先化简积分式，而不要直接求原函数（这往往过于复杂）。以下介绍一些求解定积分的方法。注意，这些结论只适用于定积分（不能用他们求解不定积分！），并假定函数在区间上连续、可积。

2. 对称性

　　 运用被积函数的对称性（奇偶性）可以简化计算。 $$ \int ^a_{-a} f(x) = \left \{ \begin{aligned} 0&,\text{f 是奇函数，f(-x)=-f(x)}\\ 2\int ^a_0 f(x)&,\text{f 是偶函数，f(-x)=f(x)}\\ \end{aligned}~. \right. $$ 在实操中，运用对称性时，往往需要拆分积分区间或积分函数，从而更好地发现、运用对称性。

3. 周期性

　　 如果 T 是 f 的一个周期，那么 $\int ^{a+nT}_{a} f(x)dx= n\int^{T}_0 f(x)dx~.$

4. 几何含义

　　 有些被积函数有着特殊的几何意义，例如 $\int ^R_0 \sqrt{R^2-x^2}=\frac{\pi R^2}{4}$。（被积函数是圆的方程，那么积分的几何意义便是圆的面积的一部分。）

5. 三角函数特殊公式

　　 $\int ^\pi_0 x f( \sin\left(x\right) )dx = \frac{\pi}{2}\int ^\pi_0 f( \sin\left(x\right) )dx~.$

　　 点火公式： $ \int ^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^n(x) dx= \left \{ \begin{aligned} \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2} \frac{\pi}{2},\text{n 是偶数}\\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3},\text{n 是奇数}\\ \end{aligned}~. \right. $

1. ^ 本文参考了 [1]，[2] 与武忠祥的《考研高数》课程

[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
[2] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed