求定积分的一些方法

                     

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预备知识 牛顿—莱布尼兹公式(简明微积分),不定积分的常用技巧

  1在实操中,定积分的计算也一般交给计算机完成(运用符号积分或者数值积分);不过,既然考试还喜欢考定积分计算,你就不得不会做点题.

1. 微积分基本定理

   原则上说,因为你总能通过微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)联系不定积分(原函数)与定积分,因此你可以先找到相应的原函数再赋值计算.这使得不定积分的所有积分技巧同样适用于定积分,此处不再复述.

   值得注意的是,在运用分部积分法或换元法后,你必须相应的改变积分上下限.例如,$$\int^b_a uv'dx = uv|^b_a-\int^b_a vu'dx$$, $$\int^b_a f'(g(x))g'(x)dx = \int ^{u(b)}_{u(a)} f'(u)du$$

   然而,由于定积分有确定的积分上下限,比起不定积分,定积分有着更多样的、也更方便的求解技巧.因此,做定积分时应先化简积分式,而不要直接求原函数(这往往过于复杂).以下介绍一些求解定积分的方法.注意,这些结论只适用于定积分(不能用他们求解不定积分!),并假定函数在区间上连续、可积.

2. 对称性

   运用被积函数的对称性(奇偶性)可以简化计算. $$ \int ^a_{-a} f(x) = \left \{ \begin{aligned} 0&,\text{f 是奇函数,f(-x)=-f(x)}\\ 2\int ^a_0 f(x)&,\text{f 是偶函数,f(-x)=f(x)}\\ \end{aligned} \right. $$ 在实操中,运用对称性时,往往需要拆分积分区间或积分函数,从而更好地发现、运用对称性.

3. 周期性

   如果 T 是 f 的一个周期,那么 $\int ^{a+nT}_{a} f(x)dx= n\int^{T}_0 f(x)dx$

4. 几何含义

   有些被积函数有着特殊的几何意义,例如 $\int ^R_0 \sqrt{R^2-x^2}=\frac{\pi R^2}{4}$.(被积函数是圆的方程,那么积分的几何意义便是圆的面积的一部分.)

5. 三角函数特殊公式

   $\int ^\pi_0 x f( \sin\left(x\right) )dx = \frac{\pi}{2}\int ^\pi_0 f( \sin\left(x\right) )dx$

   点火公式: $ \int ^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^n(x) dx= \left \{ \begin{aligned} \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2} \frac{\pi}{2},\text{n 是偶数}\\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3},\text{n 是奇数}\\ \end{aligned} \right. $


1. ^ 本文参考了 [2][4] 与武忠祥的《考研高数》课程


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