薛定谔绘景和海森堡绘景

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　时间演化算符（量子力学），转移矩阵

　　薛定谔方程通常使用的是动量表象和薛定谔绘景，在海森堡绘景中，波函数（态矢）不随时间改变，而测量量的算符随时间改变。海森堡绘景相当于在薛定谔绘景的基础上做了一个基底变换，类似于位置和动量表象的关系。

　　作为一个物理理论，量子力学关心的是可观测量，包括本征值、概率、期望等，因此我们关心的不是量子态本身如何，而是量子态在可观测量的本征矢下展开的系数。随着时间流逝，这些系数会变化，而薛定谔绘景和海森堡绘景就是两种不同的解释系数变化的方法。

　　薛定谔绘景认为，可观测量不变，但是态矢量会随着时间变化，导致展开系数变化；海森堡绘景则认为，态矢量不变，但可观测量会变化，造成其本征矢量变化，从而导致态矢量的展开系数变化¹。

　　这和线性代数里情况一模一样。一个矩阵可以解释为线性变换，它把一个向量变为另一个向量，导致这个向量的坐标变化了；也可以解释为转移矩阵，向量本身没变，但是基变了，同样导致坐标变化。

　　你可以用这样一副图像来抽象地理解两个绘景的关系：薛定谔绘景中，坐标系不变，但向量在顺时针旋转；海森堡绘景中，向量不变，但坐标系在以相同的角速度逆时针旋转。这副图像已经能说明为什么海森堡绘景可以看作是基向量反向演化。

　　本文中，角标 $H$ 代表海森堡绘景，角标 $S$ 代表薛定谔绘景。例如波函数分别记为 $ψ_{H} (r)$ 和 $ψ_{S} (r, t)$ ，后者不是时间的函数，它的定义是

\begin{matrix} (1) & ψ_{H} (r) = ψ_{S} (r, 0) . \end{matrix}

　　同时，本文使用 $ℏ = 1$ 的单位制，时间演化算符按定义为 $U (t) = e^{- i H t}$ 。

1. 薛定谔绘景

　　薛定谔绘景，简而言之，是固定算符不变，研究态矢量的演化。这也是我们在量子力学的基本原理（量子力学）中使用的描述。

　　在薛定谔绘景中，算符是恒定的，从而其对应的本征矢量也是恒定的。实际的量子态 $| s ⟩$ 则随着时间 $t$ 演化为 $U (t) | s ⟩$ 。这个过程可以理解为，映射 $U (t)$ 作用在矢量 $| s ⟩$ 上，导致 $| s ⟩$ 变化，于是其关于各可观测量的本征态的基底展开系数变化——这些系数的模方就是测量后得到对应本征态的概率（概率密度），因此我们观测到的概率就会变化。

　　薛定谔绘景下，初态为 $| s ⟩$ 的量子态，其可观测量 $X$ 的期望值随时间演化：

\begin{matrix} (2) & ⟨ X ⟩ (t) = ⟨ s | U^{†} (t) X U (t) | s ⟩ . \end{matrix}

薛定谔方程

　　薛定谔绘景下，态右矢对时间的导数为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} U (t) | s ⟩ & = \frac{d}{d t} e^{- i H t} | s ⟩ \\ = - i H U (t) | s ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

如果记

| s, t ⟩ = U (t) | s ⟩

，那式 3 也就是

\begin{matrix} (4) & i \frac{d}{d t} | s, t ⟩ = H | s, t ⟩, \end{matrix}

这就是薛定谔方程。

2. 海森堡绘景

　　海森堡绘景是另一种描述量子力学的框架，量子态本身不变，但可观测量的算符以及对应的本征态则随时间变化，由此造成量子态的基底展开系数变化。海森堡绘景下计算得到的可观测量的演化规律和薛定谔绘景相同，即两个绘景下给定量子态在给定算符的特征基下展开系数恒等。

　　注意，时间演化算符 $U (t) = \exp (- i H t)$ 是一个幺正算符，即 $U^{†} (t) = U^{- 1} (t)$ 。

离散情况

　　设 $X^{(S)} (t)$ 是薛定谔绘景下的可观测量，， $X^{(H)} (t)$ 是在海森堡绘景下的同一个观测量， $| a; t ⟩$ 是任意一组基。为了方便，特别地令 $X^{(H)} (0) = X^{(S)} (t)$ 。

　　海森堡绘景要求，态右矢 $| s ⟩$ 不变，是算符的改变导致 $| s ⟩$ 在给定算符的特征基下系数变化。虽然薛定谔绘景下算子可能随时间变化，导致基也变化，但是态矢量同时也变化，记 $t$ 时刻薛定谔绘景下 $| s ⟩$ 变为 $| s (t) ⟩$ ，其中 $| s (0) ⟩ = | s ⟩$ ，于是 $| s (t) ⟩ = e^{- i H t} | s ⟩$ 。

　　设 $X^{(H)} (t)$ 的特征基为 ${| a_{i}; t ⟩}$ ， $X^{(S)} (t)$ 的特征基为 ${| b_{i}; t ⟩}$ ，其中各 $| a_{i}; t ⟩$ 和 $| b_{i}; t ⟩$ 关于 $t$ 连续，且 $| a_{i}; 0 ⟩ = | b_{i}; 0 ⟩$ 。

　　则展开系数恒等意味着

\begin{matrix} (5) & ⟨ a_{i}; t | s ⟩ = ⟨ b_{i}; t | s (t) ⟩ = ⟨ b_{i}; t | e^{- i H t} | s ⟩ . \end{matrix}

　　因此

\begin{matrix} (6) & | a_{i}; t ⟩ = e^{i H t} | b_{i}; t ⟩, \end{matrix}

即海森堡绘景下基的演化，与薛定谔绘景下态矢量的演化是反向的。这直观上很好理解和记忆：考虑一个二维实线性空间，如果说薛定谔绘景下态矢量逆时针旋转、坐标系不变，那么海森堡绘景下就应该是态矢量不变、坐标系顺时针旋转。

　　考虑到 $X^{(H)} (t)$ 和 $X^{(S)} (t)$ 的本征值一一对应且对应相等，故可设 $| a_{i}; t ⟩$ 关于 $X^{(H)} (t)$ 和 $| b_{i}; t ⟩$ 关于 $X^{(S)} (t)$ 的本征值都是 $λ_{i}$ 。用基向量展开算子即得测量算符随时间的演化为

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} X^{(H)} (t) = \sum_{i} λ_{i} | a_{i}; t ⟩ ⟨ a_{i}; t | = & e^{i H t} (\sum_{i} λ_{i} | b_{i}; t ⟩ ⟨ b_{i}; t |) e^{- i H t} \\ = & e^{i H t} X^{(S)} (t) e^{- i H t} . \end{aligned} \end{matrix}

连续情况

　　连续情况的讨论和离散情况完全相同，只是要求指标 $a$ 的取值范围为指定范围的实数，并将 $\sum_{a}$ 都替换为 $\int d a$ 。式 7 和式 6 依然成立。

海森堡方程

　　同式 4 的导出思路相同，我们可以推导海森堡绘景下算符²的运动方程：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} U (t)^{†} X U (t) & = U^{'} (t)^{†} X U (t) + U (t)^{†} X U^{'} (x) \\ = i H e^{i H t} X e^{- i H t} - e^{i H t} X i H e^{- i H t} \\ = i [H, e^{i H t} X e^{- i H t}], \end{aligned} \end{matrix}

其中

[*, *]

是李括号。

　　记 $U (t)^{†} X U (t) = X (t)$ ，整理一下式 8 ，就得到海森堡方程：

\begin{matrix} (9) & i \frac{d}{d t} X (t) = [X (t), H] . \end{matrix}

　　利用算符对易性（量子力学），可算出

\begin{matrix} (10) & [x, p^{2}] = 2 i p \end{matrix}

和

\begin{matrix} (11) & [p, V (x)] = - i \nabla V (x) . \end{matrix}

注意式 11 右边的

\nabla

已经作用在

V

上了，整体是一个函数而非微分算子。

　　将式 10 和式 11 代入式 9 ，令 $H = \frac{p^{2}}{2 m} + V (x)$ ，则有

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} \frac{d}{d t} x & = \frac{p}{m} \\ \frac{d}{d t} p & = - \nabla V (x) \end{aligned}, \end{matrix}

　　式 12 就是常用的海森堡运动方程，在狄拉克的The Principles of Quantum Mechanics中写为

\begin{matrix} (13) & {\begin{aligned} \frac{d}{d t} q_{r} & = \frac{\partial H}{\partial p_{r}} \\ \frac{d}{d t} p_{r} & = - \frac{\partial H}{\partial q_{r}} \end{aligned} . \end{matrix}

其中

q_{r}

是广义坐标，

p_{r}

是对应的共轭动量。

1. ^ 严格来说，薛定谔绘景中也有可观测量会变化的情况，比如磁场在变化，那么哈密顿量 $S \cdot B$ 就可能变化。所以这里说的是薛定谔绘景中不随时间变化的算符，到了海森堡绘景就会随时间变化。如果一个算符在薛定谔绘景中随时间变化，那么到了海森堡绘景只需要再叠加一个基底变换即可，正如本文开头所说，细节则请参见下面的小节。
2. ^ 这里的算符 $X$ 在薛定谔绘景下不随时间变化，且注意 $X$ 不一定和 $H$ 对易。

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