薛定谔绘景和海森堡绘景

                     

贡献者: addis

预备知识 时间演化算符(量子力学),转移矩阵

   薛定谔方程通常使用的是动量表象薛定谔绘景,在海森堡绘景中,波函数(态矢)不随时间改变,而测量量的算符随时间改变.海森堡绘景相当于在薛定谔绘景的基础上做了一个基底变换,类似于位置和动量表象的关系.

   作为一个物理理论,量子力学关心的是可观测量,包括本征值、概率、期望等,因此我们关心的不是量子态本身如何,而是量子态在可观测量的本征矢下展开的系数.随着时间流逝,这些系数会变化,而薛定谔绘景和海森堡绘景就是两种不同的解释系数变化的方法.

   薛定谔绘景认为,可观测量不变,但是态矢量会随着时间变化,导致展开系数变化;海森堡绘景则认为,态矢量不变,但可观测量会变化,造成其本征矢量变化,从而导致态矢量的展开系数变化.

   这和线性代数里情况一模一样.一个矩阵可以解释为线性变换,它把一个向量变为另一个向量,导致这个向量的坐标变化了;也可以解释为转移矩阵,向量本身没变,但是基变了,同样导致坐标变化.

   你可以用这样一副图像来抽象地理解两个绘景的关系:薛定谔绘景中,坐标系不变,但向量在顺时针旋转;海森堡绘景中,向量不变,但坐标系在以相同的角速度逆时针旋转.这副图像已经能说明为什么海森堡绘景可以看作是基向量反向演化.

   本文中,角标 $H$ 代表海森堡绘景,角标 $S$ 代表薛定谔绘景.例如波函数分别记为 $\psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 和 $\psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,后者不是时间的函数,它的定义是

\begin{equation} \psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} , 0) \end{equation}

1. 薛定谔绘景

   薛定谔绘景,简而言之,是固定算符不变,研究态矢量的演化.这也是我们在量子力学的基本原理(量子力学)中使用的描述.

   在薛定谔绘景中,算符是恒定的,从而其对应的本征矢量也是恒定的.实际的量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 则随着时间 $t$ 演化为 $\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $.这个过程可以理解为,映射 $\mathcal{U}(t)$ 作用在矢量 $ \left\lvert s \right\rangle $ 上,导致 $ \left\lvert s \right\rangle $ 变化,于是其关于各可观测量的本征态的基底展开系数变化——这些系数的模方就是测量后得到对应本征态的概率(概率密度),因此我们观测到的概率就会变化.

   薛定谔绘景下,初态为 $ \left\lvert s \right\rangle $ 的量子态,其可观测量 $X$ 的期望值随时间演化:

\begin{equation} \langle X \rangle(t) = \left\langle s \right\rvert \mathcal{U}^\dagger(t)X\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle \end{equation}

2. 海森堡绘景

   海森堡绘景是另一种描述量子力学的框架,量子态本身不变,但可观测量的算符以及对应的本征态则随时间变化,由此造成量子态的基底展开系数变化.海森堡绘景下计算得到的可观测量的演化规律和薛定谔绘景相同.

   注意,时间演化算符 $\mathcal{U}(t)= \exp\left(- \mathrm{i} Ht\right) $ 是一个幺正算符,即 $\mathcal{U}^\dagger(t)=\mathcal{U}(t)^{-1}$.

离散情况

   设 $X^{(S)}$ 是薛定谔绘景下不随时间改变的可观测量.设能量算子 $H^{(S)}$ 的本征值 $E_a$ 的本征矢为 $ \left\lvert a \right\rangle $,其中 $a$ 是正整数;$H^{(H)}(t)$ 的对应本征值 $E_a$ 的本征矢则记为 $ \left\lvert a; t \right\rangle $.规定在 $t=0$ 时,$ \left\lvert a; 0 \right\rangle $.

   现在,固定 $ \left\lvert s \right\rangle $ 不变,而让可观测量算符 $X^{(H)}(0)$ 变为 $X^{(H)}(t)$.我们通过转移矩阵 $\Omega(t)=\omega^i_j(t)$ 实现这个变化:$X^{(H)}(t)=X^{(H)}(0)$,这也可以理解为通过改变基来改变测量算符.如果所用的基是测量算符的本征矢构成的,那改变后的基就是海森堡绘景中改变后的本征矢构成的.

   设有一初始量子态 $ \left\lvert s \right\rangle =\sum_a c^a \left\lvert a \right\rangle =\sum_a c^a \left\lvert a; 0 \right\rangle $1.在薛定谔绘景中,一段时间 $t$ 后,这个态变为 $\sum_a c^a\mathcal{U}(t) \left\lvert a \right\rangle =\sum_ac^a \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} at} \left\lvert a \right\rangle $,即系数的变化是 $c^a\to c^a \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} at}$.

   根据转移矩阵子节 2 ,如果固定 $ \left\lvert s \right\rangle $ 不变,而基根据转移矩阵 $\Omega(t)$ 改变,那么 $ \left\lvert s \right\rangle $ 的系数变化是 $c^a \to \sum_{j}\omega^a_j(t)c^j$.

   因此,薛定谔绘景和海森堡绘景的统一性要求,在能量本征态为基时有

\begin{equation} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} at}c^a = \sum_{j}\omega^a_j(t)c^j \end{equation}
由于能量本征态随时间的演化依旧是能量本征态,因此 $\Omega(t)$ 在能量本征态下的矩阵是对角矩阵,于是式 3 简化为
\begin{equation} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} at} = \omega^a_a(t) \end{equation}
这意味着 $\Omega(t)$ 就是 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}=\mathcal{U}(t)$.

   于是,海森堡绘景下,测量算符随时间的演化为

\begin{equation} X\to \mathcal{U}(t)^\dagger X \mathcal{U}(t) \end{equation}
相当于测量算符的本征矢量 $ \left\lvert a \right\rangle $ 随时间的演化为
\begin{equation} \left\lvert a; 0 \right\rangle \to \left\lvert a; t \right\rangle =\mathcal{U}(t)^\dagger \left\lvert a \right\rangle = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} Ht} \left\lvert a \right\rangle \end{equation}

连续情况

   连续情况的讨论和离散情况完全相同,只是要求指标 $a$ 的取值范围为指定范围的实数,并将 $\sum_a$ 都替换为 $\int \,\mathrm{d}{a} $.式 5 式 6 依然成立.

  

未完成:时间相关算符的海森堡绘景?


1. ^ 这里的 $a$ 是上标,功能类似下标,不是次方.这么写是为了配合爱因斯坦求和约定,但该预备知识并非必要.


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