薛定谔绘景和海森堡绘景

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 时间演化算符(量子力学),转移矩阵

   薛定谔方程通常使用的是动量表象薛定谔绘景,在海森堡绘景中,波函数(态矢)不随时间改变,而测量量的算符随时间改变.海森堡绘景相当于在薛定谔绘景的基础上做了一个基底变换,类似于位置和动量表象的关系.

   作为一个物理理论,量子力学关心的是可观测量,包括本征值、概率、期望等,因此我们关心的不是量子态本身如何,而是量子态在可观测量的本征矢下展开的系数.随着时间流逝,这些系数会变化,而薛定谔绘景和海森堡绘景就是两种不同的解释系数变化的方法.

   薛定谔绘景认为,可观测量不变,但是态矢量会随着时间变化,导致展开系数变化;海森堡绘景则认为,态矢量不变,但可观测量会变化,造成其本征矢量变化,从而导致态矢量的展开系数变化1

   这和线性代数里情况一模一样.一个矩阵可以解释为线性变换,它把一个向量变为另一个向量,导致这个向量的坐标变化了;也可以解释为转移矩阵,向量本身没变,但是基变了,同样导致坐标变化.

   你可以用这样一副图像来抽象地理解两个绘景的关系:薛定谔绘景中,坐标系不变,但向量在顺时针旋转;海森堡绘景中,向量不变,但坐标系在以相同的角速度逆时针旋转.这副图像已经能说明为什么海森堡绘景可以看作是基向量反向演化.

   本文中,角标 $H$ 代表海森堡绘景,角标 $S$ 代表薛定谔绘景.例如波函数分别记为 $\psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $\psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$,后者不是时间的函数,它的定义是

\begin{equation} \psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} , 0) \end{equation}

   同时,本文使用 $\hbar=1$ 的单位制,时间演化算符按定义为 $\mathcal{U}(t)= \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}$.

1. 薛定谔绘景

   薛定谔绘景,简而言之,是固定算符不变,研究态矢量的演化.这也是我们在量子力学的基本原理(量子力学)中使用的描述.

   在薛定谔绘景中,算符是恒定的,从而其对应的本征矢量也是恒定的.实际的量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 则随着时间 $t$ 演化为 $\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $.这个过程可以理解为,映射 $\mathcal{U}(t)$ 作用在矢量 $ \left\lvert s \right\rangle $ 上,导致 $ \left\lvert s \right\rangle $ 变化,于是其关于各可观测量的本征态的基底展开系数变化——这些系数的模方就是测量后得到对应本征态的概率(概率密度),因此我们观测到的概率就会变化.

   薛定谔绘景下,初态为 $ \left\lvert s \right\rangle $ 的量子态,其可观测量 $X$ 的期望值随时间演化:

\begin{equation} \langle X \rangle(t) = \left\langle s \right\rvert \mathcal{U}^\dagger(t)X\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle \end{equation}

薛定谔方程

   薛定谔绘景下,态右矢对时间的导数为

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle &= \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \left\lvert s \right\rangle \\ &= - \mathrm{i} H \mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
如果记 $ \left\lvert s, t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $,那式 3 也就是
\begin{equation} \mathrm{i} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert s, t \right\rangle = H \left\lvert s, t \right\rangle \end{equation}
这就是薛定谔方程

2. 海森堡绘景

   海森堡绘景是另一种描述量子力学的框架,量子态本身不变,但可观测量的算符以及对应的本征态则随时间变化,由此造成量子态的基底展开系数变化.海森堡绘景下计算得到的可观测量的演化规律和薛定谔绘景相同.

   注意,时间演化算符 $\mathcal{U}(t)= \exp\left(- \mathrm{i} Ht\right) $ 是一个幺正算符,即 $\mathcal{U}^\dagger(t)=\mathcal{U}^{-1}(t)$.

离散情况

   设 $X^{(S)}$ 是薛定谔绘景下的可观测量2,$X^{(H)}(t)$ 是在海森堡绘景下的同一个观测量,$ \left\lvert a; t \right\rangle $ 是任意一组基.为了方便,特别地令 $X^{(H)}(0)=X^{(S)}$.

   海森堡绘景要求,态右矢 $ \left\lvert s \right\rangle $ 不变,是基在改变,并且同一个算符在给定基下的矩阵与薛定谔绘景中相同,即

\begin{equation} \left\langle a_i; 0 \right\rvert X^{(H)}(0) \left\lvert a_j; 0 \right\rangle = \left\langle a_i; t \right\rvert X^{(H)}(t) \left\lvert a_j; t \right\rangle \end{equation}

   我们断言:$ \left\lvert a_i; t \right\rangle = \mathcal{U}^\dagger(t) \left\lvert a_i; 0 \right\rangle = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t} \left\lvert a_i; 0 \right\rangle $,即海森堡绘景下基的演化,与薛定谔绘景下态矢量的演化是反向的.这直观上很好理解和记忆:考虑一个二维实线性空间,如果说薛定谔绘景下态矢量逆时针旋转、坐标系不变,那么海森堡绘景下就应该是态矢量不变、坐标系顺时针旋转.详细证明如下.

   由于可观测量的本征矢能构成一组基,因此任意量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 可以用这组基展开3

\begin{equation} \left\lvert s \right\rangle = \sum_i c^i(t) \left\lvert a_i; t \right\rangle \end{equation}

   其中系数 $c^i(t)= \left\langle s \middle| a_i; t \right\rangle $.

   基的变换由一个新的时间演化算符$\mathcal{\Omega}(t)$ 表征:

\begin{equation} \left\lvert a_i; t \right\rangle = \mathcal{\Omega}(t) \left\lvert a_i; 0 \right\rangle \end{equation}
于是有
\begin{equation} c^i(t) = \left(\mathcal{\Omega}(t) \left\lvert a_i; 0 \right\rangle \right) ^\dagger \left\lvert s \right\rangle = \left\langle a_i; 0 \right\rvert \mathcal{\Omega}^\dagger(t) \left\lvert s \right\rangle \end{equation}

   在薛定谔绘景中,态右矢 $ \left\lvert s \right\rangle $ 按时间演化算符 $\mathcal{U}(t)$ 演化而基不变,因此系数为:

\begin{equation} c^i(t) = \left\langle a_i; 0 \right\rvert \mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle \end{equation}

   联立式 8 式 9

\begin{equation} \mathcal{\Omega}(t)=\mathcal{U}^\dagger(t) \end{equation}

   于是,海森堡绘景下,基右矢随时间的演化

\begin{equation} \left\lvert a_i; t \right\rangle = \mathcal{U}^\dagger(t) \left\lvert a_i; 0 \right\rangle = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t} \left\lvert a_i; 0 \right\rangle \end{equation}

   又利用式 5 可得

\begin{equation} \left\langle a_i; 0 \right\rvert X^{(H)}(0) \left\lvert a_j; 0 \right\rangle = \left\langle a_i; 0 \right\rvert \mathcal{U}(t)X^{(H)}(t)\mathcal{U}^\dagger(t) \left\lvert a_j; 0 \right\rangle \end{equation}

   因此测量算符随时间的演化

\begin{equation} X^{(H)}(t) = \mathcal{U}(t)^\dagger X^{(H)}(0) \mathcal{U}(t) \end{equation}

连续情况

   连续情况的讨论和离散情况完全相同,只是要求指标 $a$ 的取值范围为指定范围的实数,并将 $\sum_a$ 都替换为 $\int \,\mathrm{d}{a} $.式 13 式 11 依然成立.

  

未完成:时间相关算符的海森堡绘景?

海森堡方程

   同式 4 的导出思路相同,我们可以推导海森堡绘景下算符4的运动方程:

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathcal{U}(t)^\dagger X \mathcal{U}(t) &= \mathcal{U}'(t)^\dagger X \mathcal{U}(t)+\mathcal{U}(t)^\dagger X \mathcal{U}'(x)\\ &= \mathrm{i} H \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t}X \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}- \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t}X \mathrm{i} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}\\ &= \mathrm{i} [H, \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t}X \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}] \end{aligned} \end{equation}
其中 $[*, *]$ 是李括号.

   记 $\mathcal{U}(t)^\dagger X \mathcal{U}(t)=X(t)$,整理一下式 14 ,就得到海森堡方程

\begin{equation} \mathrm{i} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }X(t) = [X(t), H] \end{equation}

   利用算符对易性(量子力学),可算出

\begin{equation} [ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2] = 2 \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{p}} \end{equation}
\begin{equation} [ \boldsymbol{\mathbf{p}} , V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )] = - \mathrm{i} \nabla V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \end{equation}
注意式 17 右边的 $\nabla$ 已经作用在 $V$ 上了,整体是一个函数而非微分算子.

   将式 16 式 17 代入式 15 ,令 $H=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m}+V(x)$,则有

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{x}} &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }{m}\\ \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{p}} &= -\nabla V(x) \end{aligned}\right. \end{equation}

   式 18 就是常用的海森堡运动方程,在狄拉克的The Principles of Quantum Mechanics中写为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } q_r &= \frac{\partial H}{\partial p_r}\\ \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } p_r &= -\frac{\partial H}{\partial q_r} \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $q_r$ 是广义坐标,$p_r$ 是对应的共轭动量.


1. ^ 严格来说,薛定谔绘景中也有可观测量会变化的情况,比如磁场在变化,那么哈密顿量 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 就可能变化.所以这里说的是薛定谔绘景中不随时间变化的算符,到了海森堡绘景就会随时间变化.如果一个算符在薛定谔绘景中随时间变化,那么到了海森堡绘景只需要再叠加一个基底变换即可,正如本文开头所说,细节则请参见下面的小节.
2. ^ 注意,$X^{(S)}$ 本身也可能随时间变化.
3. ^ $c^i$ 中的 $i$ 是上标,功能类似下标,不是次方.这么写是为了配合爱因斯坦求和约定,但该预备知识并非必要.
4. ^ 这里的算符 $X$ 在薛定谔绘景下不随时间变化,且注意 $X$ 不一定和 $H$ 对易.


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