海森堡绘景

             

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预备知识 薛定谔方程

  1薛定谔方程通常使用的是动量表象薛定谔绘景,在海森堡绘景中,波函数(态矢)不随时间改变,而测量量的算符随时间改变.海森堡绘景相当于在薛定谔绘景的基础上做了一个基底变换,类似于位置和动量表象的关系.

   本文中,角标 $H$ 代表海森堡绘景,角标 $S$ 代表薛定谔绘景.例如波函数分别记为 $\psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 和 $\psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,后者不是时间的函数,它的定义是

\begin{equation} \psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} , 0) \end{equation}

  

未完成:演化子是什么?链接

   使用演化子(propagator)$U(t)$,波函数之间的关系为

\begin{equation} \psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = U(t) \psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} , 0) = U(t) \psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
薛定谔方程在海森堡绘景中可以记为
\begin{equation} H(U\psi_H) = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} (U\psi_H) \end{equation}
由于 $\psi_H$ 不含时,两边抵消,得演化子满足方程
\begin{equation} H U(t) = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} U(t) \end{equation}

   定义海森堡绘景中的算符为

\begin{equation} Q_H(t) = U ^\dagger (t) Q_S(t) U(t) \end{equation}
对时间求导得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} Q_H = \frac{ \mathrm{i} }{\hbar} [H_H, Q_H(t)] + \left( \frac{\partial Q_S}{\partial t} \right) _H \end{equation}
平均值公式仍然和薛定谔绘景相同
\begin{equation} \left\langle \psi_H \middle| Q_H \middle| \psi_H \right\rangle = \left\langle \psi_S \middle| Q_S \middle| \psi_S \right\rangle \end{equation}
证明:
\begin{equation} \left\langle \psi_S \middle| Q_S \middle| \psi_S \right\rangle = \left\langle \psi_H \middle| U ^\dagger (t)Q_SU(t) \middle| \psi_H \right\rangle = \left\langle \psi_H \middle| Q_H \middle| \psi_H \right\rangle \end{equation}
证毕.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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