贡献者： addis
本文使用原子单位制。若初始时刻 $t_0$ 一个自由粒子的波函数是平面波，波数为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $。接下来空间中出现了随时间变化的电场 $ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t)$（我们采用偶极子近似，即假设电场不随位置变化，感生磁场可以忽略），那么我们把该电场中的含时波函数称为 Volkov 波函数。
以下我们分别在长度规范、速度规范、加速度规范中求解 Volkov 波函数。在 $t \le t_0$ 时，令 $ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。令三种规范下 $t \le t_0$ 的波函数都是平面波（不同规范仅当非零电场出现后才有区别）
\begin{equation}
\Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t \le t_0) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \mathrm{i} E t \right) ~,
\end{equation}
其中 $E = \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2/(2m)$ 是初始动能（下同）。注意以下所有规范中，算符 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla $ 都是广义动量
。
1. 加速度规范
求解 Volkov 波函数最容易的方法就是使用加速度规范，由于空间中没有净电荷，薛定谔方程（式 7 ）中 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0$
\begin{equation}
\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m}\Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^A = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^A~.
\end{equation}
显然
式 1 就是该方程的解
\begin{equation}
\Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^A( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \mathrm{i} E t \right) ~.
\end{equation}
可见在 K-H 参考系中，波函数始终保持平面波的形式。
例 1 高斯波包与电磁场
在 K-H 参考系中，若使用偶极子近似且令势能函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0$，我们会发现高斯始终是高斯波包。电磁波消失以后，K-H 系变为原来的惯性系，这是因为电场不能含有直流分量。（未完成：讲详细点？）
2. 速度规范
使用式 3 对式 3 做规范变换，得速度规范下的 Volkov 波函数为
\begin{equation}
\Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left\{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot [ \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t)] - \mathrm{i} E t \right\} ~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t)$ 对应的是一个经典点电荷在电场中的位移（
式 2 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t) = -\frac{q}{m} \int_{t_0}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} (t') \,\mathrm{d}{t'} ~.
\end{equation}
容易验证
式 4 是以下薛定谔方程（见
式 8 ）的解
\begin{equation}
\mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi^V = \left[\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \right] \Psi^V~.
\end{equation}
注意 $E$ 只是初始时的动能，电场中的粒子能量不守恒。任意时刻，波函数都是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和动能 $E_k$ 的本征矢，本征值和经典粒子的动量动能相同。
\begin{equation}
m \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{k}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} (t)~,
\end{equation}
\begin{equation}
E_k(t) = \frac{ \left[ \boldsymbol{\mathbf{k}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) \right] ^2}{2m}~,
\end{equation}
初始时刻有 $ m \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_0) = \boldsymbol{\mathbf{k}} $。
3. 长度规范
要求长度规范长度规范下的 Volkov 波函数只需要对式 4 再次做规范变换即可（式 9 ），得1
\begin{equation}
\Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left[ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{p}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \frac{ \mathrm{i} }{2m}\int_{t_0}^t \boldsymbol{\mathbf{p}} (t')^2 \,\mathrm{d}{t'} - \mathrm{i} E t_0 \right] ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} (t)$ 就是的经典粒子的动量（
式 7 ）。注意本文中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} (t)$ 都是指库仑规范或速度规范中的矢势
2，长度规范下广义动量就是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} $（
式 7 ）。
容易验证式 9 是以下薛定谔方程的解（式 10 ）
\begin{equation}
\left[\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - q \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right] \Psi^L = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi^L~.
\end{equation}
1. ^ 如果不在乎波函数的全局相位，可以把式 9 方括号最后的常数项去掉。
2. ^ 长度规范下的矢势恒为零（式 6 ）。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。