Volkov 波函数

贡献者： addis

预备知识 1　一维自由高斯波包（量子）

　　本文使用原子单位制。若初始时刻 $t_{0}$ 一个自由粒子的三维空间波函数 $Ψ (r, t)$ 已知，接下来空间中出现了随时间变化的电场 $E (t)$ （我们采用偶极子近似，即假设电场不随位置变化，感生磁场可以忽略），那么接下来波函数会如何变化呢？

　　要求解该问题，可以用 “一维自由粒子高斯波包” 相似的思路，先把初始波函数拆解为无数平面波，再分别把每个平面波在电场 $E (t)$ 中演化到任意时间 $t$ ，最后重新组合成为 $Ψ (r, t)$ 。该过程中，把平面波在电场中演化到某时刻的结果就称为 Volkov 波函数。

　　在 $t \leq t_{0}$ 时，令 $E (t) = 0$ ，且波函数是如下平面波

\begin{matrix} (1) & Ψ_{k_{0}} (r, t \leq t_{0}) = (2 π)^{- 3 / 2} \exp (i k_{0} \cdot r - i E_{0} t) (t \leq t_{0}), \end{matrix}

其中

E_{0} = k_{0}^{2} / (2 m)

是初始动能。那么施加电场后，波函数阿那照薛定谔方程（式 9 ）

\begin{matrix} (2) & [- \frac{\nabla^{2}}{2 m} - q E (t) \cdot r] Ψ (r, t) = i \frac{\partial}{\partial t} Ψ (r, t) \end{matrix}

演化，解得 Volkov 波函数为

\begin{matrix} (3) & Ψ_{k_{0}} (r, t) = (2 π)^{- 3 / 2} \exp [i k (t) \cdot r - i \int_{t_{0}}^{t} E (t^{'}) d t^{'} - i E_{0} t_{0}] (t > t_{0}) . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4) & k (t) = k_{0} + q \int_{t_{0}}^{t} E (t^{'}) d t^{'}, E (t) = \frac{k^{2} (t)}{2 m} \end{matrix}

是一个初始动量为

k_{0}

的经典的点电荷在同一电场下的动量和动能。可见，平面波经过电场作用后，仍然是平面波，只是波矢和相位都会发生相应的改变。

　　一维 Volkov 函数的 Matlab 代码如下，需要提供 t 和一列 x，以及 $k (t)$ 的函数句柄 k_fun。

代码 1：volkov_1d.m

% Volkov wave function in 1D
% supports 1d vector x and t
% output psi(i,j), k(j), E(j), phi(j) for x(i), t(j)
function [psi, k, E, phi] = volkov_1d(k_fun, x, t)
Nt = numel(t);
x = x(:); t = t(:).';
k = k_fun(t);
E_fun = @(t) 0.5*k_fun(t).^2;
E = E_fun(t);
phi = zeros(1, Nt); phi(1) = E(1)*t(1);
for i = 2:Nt
    phi(i) = phi(i-1) + integral(E_fun, t(i-1), t(i));
end
psi = (2*pi)^(-1.5) .* exp(1i*k.*x - 1i*phi);
end

　　下面是一个做简谐运动的小球对应的 Volkov 波函数的动画程序

未完成：插入动画截图，链接到动画

代码 2：volkov_test.m

% === params ===
tmin = 0; tmax = 2*pi; Nt = 201;
xmin = -15; xmax = 20; Nx = 1000;
x00 = -5;
k00 = 0; % center of wave packet
sigma_x = 1; % width of wave packet
Nk0 = 101; % # of Volkov waves
% ==============

sigma_k = 1/(2*sigma_x);
k0min = k00-4*sigma_k;
k0max = k00+4*sigma_k;

k0 = linspace(k0min, k0max, Nk0);
dk0 = (k0max-k0min) / Nk0;
coeffs = 1/(2*pi*sigma_k^2)^0.25 *...
    exp(-(k0-k00).^2./(2*sigma_k).^2) .*...
    exp(-1i*x00*(k0-k00))* dk0;

x = linspace(xmin, xmax, Nx);
t = linspace(tmin, tmax, Nt);
force = 5*cos(t);
x_ball = x00 + 5*(1-cos(t));
psi_v = zeros(Nx, Nt, Nk0);
for i0 = 1:Nk0
    k_fun = @(t) k0(i0) + 5*sin(t);
    psi_v(:,:,i0) = volkov_1d(k_fun, x, t);
end

% wave packet
psi = zeros(Nx, Nt);
for it = 1:Nt
    for ik0 = 1:Nk0
        psi(:, it) = psi(:, it) + ...
            coeffs(ik0) * psi_v(:, it, ik0);
    end
end

% plot animation
i0 = (Nk0+1)/2;
for i = 1:Nt
    % central Volkov wave
    figure(1); clf;
    subplot(2, 1, 1);
    y = psi_v(:,i,i0);
    plot(x, [real(y), imag(y)]);
    hold on;
    axis([xmin,xmax,[-1,1]*0.08]);
    grid on;
    title('central Volkov wave');

    % Wave packet
    subplot(2, 1, 2);
    y = psi(:,i);
    plot(x, [real(y), imag(y)]); hold on;
    plot(x, abs(y), 'k');
    axis([xmin,xmax,-0.11,0.15]);
    grid on;
    title('Wave packet');

    % electric field
    plot([0, force(i)], [1,1]*0.13, 'LineWidth', 3);
    % classical ball
    scatter(x_ball(i), 0.11, 'k');

    saveas(gcf, [sprintf('%03d', i) '.png']);
end

未完成：不要引用式 9 ，预备知识太多，需要一个信仰版

速度规范和加速度规范

预备知识 2　速度规范，加速度规范

　　注意以下所有规范中，算符 $p = - i \nabla$ 都是广义动量。

　　注意本文中的 $A (t)$ 都是指速度规范中的矢势，长度规范下的矢势恒为零（式 5 ），广义动量就是 $m v$ （式 6 ）。

　　 ========== 回收 ==============

　　（不同规范仅当电场出现后才会不同）

　　以下我们分别在长度规范、速度规范、加速度规范中求解 Volkov 波函数。在 $t \leq t_{0}$ 时，令 $E (t) = A (t) = 0$ 。令三种规范下

1. 加速度规范

　　求解 Volkov 波函数最容易的方法就是使用所谓加速度规范，由于空间中没有净电荷，薛定谔方程（式 7 ）中 $V (r) = 0$

\begin{matrix} (5) & \frac{p^{2}}{2 m} Ψ_{k_{0}}^{A} = i \frac{\partial}{\partial t} Ψ_{k_{0}}^{A} . \end{matrix}

显然式 1 就是该方程在

t > t_{0}

的解

\begin{matrix} (6) & Ψ_{k_{0}}^{A} (r, t) = (2 π)^{- 3 / 2} \exp (i k_{0} \cdot r - i E_{0} t) . \end{matrix}

可见在 K-H 参考系中，波函数始终保持平面波的形式。

例 1　高斯波包与电磁场

　　在 K-H 参考系中，若使用偶极子近似且令势能函数 $V (r) = 0$ ，我们会发现高斯始终是高斯波包。电磁波消失以后，K-H 系变为原来的惯性系，这是因为电场不能含有直流分量。（未完成：讲详细点？）

2. 速度规范

　　使用式 3 对式 6 做规范变换，得速度规范下的 Volkov 波函数为

\begin{matrix} (7) & Ψ_{k_{0}}^{V} (r, t) = (2 π)^{- 3 / 2} \exp {i k_{0} \cdot [r - α (t)] - i E_{0} t}, \end{matrix}

其中

α (t)

对应的是一个经典点电荷在电场中的位移（式 2 ）

\begin{matrix} (8) & α (t) = - \frac{q}{m} \int_{t_{0}}^{t} A (t^{'}) d t^{'} . \end{matrix}

该波函数空间频率不发生改变而只是以经典粒子的方式进行平移。这是因为速度规范中，由外电场产生的粒子速度变化不会体现在波函数中。

　　容易验证式 7 是速度规范薛定谔方程（见式 8 ）的解

\begin{matrix} (9) & i \frac{\partial}{\partial t} Ψ^{V} = [\frac{p^{2}}{2 m} - \frac{q}{m} A (t) \cdot p] Ψ^{V} . \end{matrix}

注意

E_{0}

只是初始时间的动能

E (t_{0})

，电场中的粒子能量不守恒。任意时刻，波函数都是

m v (t)

和动能

E (t)

的本征矢，本征值和经典粒子的动量动能相同。

\begin{matrix} (10) & m v (t) = k_{0} - q A (t), \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & E (t) = \frac{{[k_{0} - q A (t)]}^{2}}{2 m} . \end{matrix}

初始时刻有

A (0) = 0

，

m v (t_{0}) = k_{0}

。

3. 长度规范

　　要求长度规范长度规范下的 Volkov 波函数只需要对式 7 再次做规范变换即可（式 9 ），得式 3 。¹

1. ^ 如果不在乎波函数的全局相位，可以把式 3 方括号最后的常数项去掉。