时间演化算符（量子力学）

贡献者： JierPeter; 叶月2_; certain_pineapple

预备知识　量子力学的基本原理（量子力学）

　　本节介绍时间演化算符，以此为切入点，引入量子态的演化方程，即薛定谔方程。

　　 “我们应当记住的首要之点是：时间在量子力学中只是一个参量而不是一个算符。特别地，时间不是前一章所说的可观测量。像谈论位置算符一样谈论时间算符是无意义的。”——樱井纯，J. 拿波里塔诺，《现代量子力学》，2.1 节。

　　量子力学中，时间不是一个算符，意味着量子力学认为时间是独立存在的，即采用经典时空观。

1. 时间演化算符的基本性质

定义 1　时间演化算符

　　设一个物理系统在时间 $t$ 时的态矢量为 $| s, t ⟩$ ，而 $t_{0} < t$ 是一个初始时间，那么定义

\begin{matrix} (1) & U (t, t_{0}) | s, t_{0} ⟩ = | s, t ⟩, \end{matrix}

其中

U (t, t_{0})

称为从

t_{0}

到

t

的时间演化算符（time evolution operator）。

　　从定义 1 可以看出来，我们只需要研究清楚时间演化算符的性质，就能从一个初始态算出之后任意时间的态。

　　那么时间演化算符应该具有什么样的性质呢？

　　首先，时间演化算符只依赖于时间长短，即

\begin{matrix} (2) & U (t_{2}, t_{1}) U (t_{1}, t_{0}) = U (t_{2}, t_{0}), \end{matrix}

这样才能确定唯一的演化结果

| s, t ⟩

。

　　于是，我们可以省略掉初始时间，而把 $U (t, t_{0})$ 简记为 $U (t - t_{0})$ ，即把自变量由 “初始时间和结束时间” 替换为 “演化所用时间”。同样，也可以把量子态 $| s, t_{0} ⟩$ 简记为 $| s ⟩$ 。此时 $| s, t_{0} + t ⟩ = U (t) | s ⟩$ 。

　　为了方便讨论，以下默认 $t_{0} = 0$ ，故 $| s, t ⟩ = U (t) | s ⟩$ 。

　　接着，我们希望量子态随时间连续地变化，因此有

\begin{matrix} (3) & lim_{t \to 0} U (t) = U (0) = 1, \end{matrix}

其中

1

是恒等变换。

　　最后，我们希望一个量子态归一化以后，在演化过程中始终保持归一化。也就是说， $⟨ s | U^{†} U | s ⟩ = ⟨ s | s ⟩ = 1$ 对任意态 $| s ⟩$ 成立，即

\begin{matrix} (4) & U^{†} U = I, \end{matrix}

I

为恒等变换。满足上式的算符被称为幺正（unitary）的。

　　有了三条规则，式 2 ，式 3 和式 4 ，就可以推导时间演化算符的具体形式了。

2. 无穷小时间演化算符

　　我们首先考虑演化用时趋于 $0$ 时，时间演化算符的极限。这是因为微分的思想即线性近似的思想，而线性的情形是最好处理的。为了方便，我们将不使用极限语言，而是用 “无穷小” 的术语，这并不失严谨性。

　　记 $d t$ 是一段无穷小时间，则由连续性式 3 ，可知应设

\begin{matrix} (5) & U (d t) = 1 + Ω d t, \end{matrix}

其中

Ω

是某个确定的算符。

　　式 5 的形式天然满足式 2 ：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} U (t_{2}) U (t_{1}) & = (1 + Ω d t_{2}) (1 + Ω d t_{1}) \\ = 1 + Ω (d t_{2} + d t_{1}) \\ = U (t_{2} + t_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　接下来要确定 $Ω$ 的形式。根据幺正性式 4 ，我们有

\begin{matrix} (7) & (1 + Ω^{†} d t) (1 + Ω d t) = 1, \end{matrix}

展开后，剔除高阶无穷小项

d t^{2}

，可得到

\begin{matrix} (8) & Ω^{†} + Ω = 0 . \end{matrix}

因此，

Ω

是一个反厄米算符（定义 13 ）。

　　现在，借用经典力学中 “哈密顿量是时间演化生成元” 的概念，令 $Ω$ 为哈密顿算符 $H$ 的某个倍数。考虑到哈密顿算符是可观测量（能量），应为厄米算符，再考虑到量纲，故可以设

\begin{matrix} (9) & Ω = - \frac{i}{ℏ} H, \end{matrix}

从而得到无穷小时间演化算符

\begin{matrix} (10) & U (d t) = 1 - \frac{i}{ℏ} H = 1 + \frac{1}{i ℏ} H, \end{matrix}

　　这里我们直接给出了调整量纲的常量 $ℏ$ 。为什么是 $ℏ$ ，而不是 $h$ 或别的什么同量纲量呢？这个问题在子节 4 中解答。

3. 一般的时间演化算符

　　将式 10 代入式 2 ，可得

\begin{matrix} (11) & U (t + d t) = U (t) U (d t) = U (t) (1 - \frac{i}{ℏ} H d t) . \end{matrix}

　　因此有¹

\begin{matrix} (12) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} U (t) = H U (t), \end{matrix}

　　式 12 被称为时间演化算符的薛定谔方程。由时间演化算符的定义，我们可以由此得到量子态的演化方程²：

\begin{matrix} (13) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | s, t ⟩ = H | s, t ⟩ . \end{matrix}

当选择

H = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (x)

时，式 13 正是我们熟知的薛定谔时间相关波动方程³。

　　我们只需要关注 $U (t)$ 的演化即可，无须求解式 13 。

　　式 12 的解需要分三个情况讨论：

哈密顿算符不依赖于时间

　　如果 $H$ 是一个不随时间改变的常量，那么根据指数映射的性质，由式 12 易得

\begin{matrix} (14) & U (t) = \exp (\frac{H}{i ℏ} t) . \end{matrix}

　　其中 $\exp (X) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} X^{i}$ 对所有算符 $X$ 成立。

不同时间的哈密顿算符彼此对易

　　如果哈密顿算符作为时间的函数 $H (t)$ ，满足 $H (t_{1}) H (t_{2}) = H (t_{2}) H (t_{1})$ ，则可类比习题 1 ，猜出形式解

\begin{matrix} (15) & U (t) = \exp (\frac{1}{i ℏ} \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} H (t^{'})), \end{matrix}

易验证式 15 确实满足式 12 。

不同时间的哈密顿算符彼此不对易

　　如果 $H (t_{1}) H (t_{2}) \neq H (t_{2}) H (t_{1})$ ，那么式 15 就不再满足式 12 了。此时形式解应为所谓的戴森（Dyson）级数：

\begin{aligned} (16) & U (t) & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{i ℏ}) \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{2}} d t_{2} \cdot \int_{t_{0}}^{t_{n - 1}} d t_{n - 1} H (t_{1}) H (t_{2}) \dots H (t_{n}) \\ (17) & = \hat{T} \exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{0}) d t_{0}), \end{aligned}

　　式中 $\hat{T}$ 为时序算符，在戴森级数中有较为详细的介绍。

4. $ℏ$ 的由来

　　这一小节回答之前遗留的问题，即为什么 $U (d t) = 1 - \frac{i}{ℏ} H d t$ 中选择 $ℏ$ 。

　　如果尚未确定 $ℏ$ ，只是用一个常数 $C$ 来取代它，即设 $U (d t) = 1 - \frac{i}{C} H d t$ ，那么式 13 变为

\begin{matrix} (18) & i C \frac{\partial}{\partial t} | s, t ⟩ = H | s, t ⟩ . \end{matrix}

　　根据德布罗意关系 $E = h ν$ 和 $p = h / λ$ ，可以取能量、动量的共同本征矢（位置表象）⁴

\begin{matrix} (19) & ψ (t, x) = \exp [2 π i (\frac{p \cdot x}{h} - \frac{E t}{h})], \end{matrix}

从而有

\begin{matrix} (20) & E | s, t ⟩ = H | s, t ⟩ = i C \frac{\partial}{\partial t} ψ (t, x) = \frac{2 π C E}{h} ψ (t, x), \end{matrix}

故

\begin{matrix} (21) & C = h / 2 π = ℏ . \end{matrix}

1. ^ $\partial U (t) / \partial t = (U (t + d t) - U (t)) / d t$ ，代入式 11 即可。
2. ^ $\partial | s, t ⟩ / \partial t = \partial (U (t) | s ⟩) / \partial t = \partial U (t) / \partial t | s ⟩$ 。
3. ^ 准确来说，为了从态右矢得到波函数，还需左乘位置算子的本征矢 $⟨ x |$ ，该本征矢在薛定谔绘景下不随时间变化。
4. ^ 注意到 $\exp [2 π i (A | x | - B t)]$ 中， $A = 1 / λ$ ， $B = ν$ 。

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