时间演化算符(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 量子力学的基本原理(量子力学)

   本节介绍时间演化算符,以此为切入点,引入量子态的演化方程,即薛定谔方程.

   “我们应当记住的首要之点是:时间在量子力学中只是一个参量而不是一个算符.特别地,时间不是前一章所说的可观测量.像谈论位置算符一样谈论时间算符是无意义的.”——樱井纯,J. 拿波里塔诺,《现代量子力学》,2.1 节.

   量子力学中,时间不是一个算符,意味着量子力学认为时间是独立存在的,即采用经典时空观.

1. 时间演化算符的基本性质

定义 1 时间演化算符

   设一个物理系统在时间 $t$ 时的态矢量为 $ \left\lvert s, t \right\rangle $,而 $t_0 < t$ 是一个初始时间,那么定义

\begin{equation} \mathcal{U}(t, t_0) \left\lvert s, t_0 \right\rangle = \left\lvert s, t \right\rangle \end{equation}
其中 $\mathcal{U}(t, t_0)$ 称为从 $t_0$ 到 $t$ 的时间演化算符(time evolution operator)

   从定义 1 可以看出来,我们只需要研究清楚时间演化算符的性质,就能从一个初始态算出之后任意时间的态.

   那么时间演化算符应该具有什么样的性质呢?

   首先,时间演化算符只依赖于时间长短,即

\begin{equation} \mathcal{U}(t_2, t_1)\mathcal{U}(t_1, t_0) = \mathcal{U}(t_2, t_0) \end{equation}
这样才能确定唯一的演化结果 $ \left\lvert s, t \right\rangle $.

   于是,我们可以省略掉初始时间,而把 $\mathcal{U}(t, t_0)$ 简记为 $\mathcal{U}(t-t_0)$,即把自变量由 “初始时间和结束时间” 替换为 “演化所用时间”.同样,也可以把量子态 $ \left\lvert s, t_0 \right\rangle $ 简记为 $ \left\lvert s \right\rangle $.此时 $ \left\lvert s, t_0+t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $.

   为了方便讨论,以下默认$t_0=0$,故 $ \left\lvert s, t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $.

   接着,我们希望量子态随时间连续地变化,因此有

\begin{equation} \lim_{t\to 0}\mathcal{U}(t) = \mathcal{U}(0) = 1 \end{equation}
其中 $1$ 是恒等变换.

   最后,我们希望一个量子态归一化以后,在演化过程中始终保持归一化.也就是说,$ \left\langle s \right\rvert H^\dagger H \left\lvert s \right\rangle = \left\langle s \middle| s \right\rangle =1$ 对任意态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 成立,即

\begin{equation} H^\dagger H=1 \end{equation}
满足式 1 的方程被称为幺正(unitary)的.

   有了三条规则,式 2 式 3 式 4 ,就可以推导时间演化算符的具体形式了.

2. 无穷小时间演化算符

   我们首先考虑演化用时趋于 $0$ 时,时间演化算符的极限.这是因为微分的思想即线性近似的思想,而线性的情形是最好处理的.为了方便,我们将不使用极限语言,而是用 “无穷小” 的术语,这并不失严谨性.

   记 $ \,\mathrm{d}{t} $ 是一段无穷小时间,则由连续性式 3 ,可知应设

\begin{equation} \mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1+\Omega \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
其中 $\Omega$ 是某个确定的算符.

   式 5 的形式天然满足式 2

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{U}(t_2)\mathcal{U}(t_1)&=(1+\Omega \,\mathrm{d}{t} _2)(1+\Omega \,\mathrm{d}{t} _1)\\ &=1+\Omega( \,\mathrm{d}{t} _2+ \,\mathrm{d}{t} _1)\\ &=\mathcal{U}(t_2+t_1) \end{aligned} \end{equation}

   接下来要确定 $\Omega$ 的形式.根据幺正性式 4 ,我们有

\begin{equation} (1+\Omega^\dagger \,\mathrm{d}{t} )(1+\Omega \,\mathrm{d}{t} )=1 \end{equation}
展开后,剔除高阶无穷小项 $ \,\mathrm{d}{t} ^2$,可得到
\begin{equation} \Omega^\dagger + \Omega = 0 \end{equation}
因此,$\Omega$ 是一个反厄米算符定义 13 ).

   现在,借用经典力学中 “哈密顿量是时间演化生成元” 的概念,令 $\Omega$ 为哈密顿算符 $H$ 的某个倍数.考虑到哈密顿算符是可观测量(能量),应为厄米算符,再考虑到量纲,故可以设

\begin{equation} \Omega=-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}H \end{equation}
从而得到无穷小时间演化算符
\begin{equation} \mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} )= 1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}H=1+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}H \end{equation}

   这里我们直接给出了调整量纲的常量 $\hbar$.为什么是 $\hbar$,而不是 $h$ 或别的什么同量纲量呢?这个问题在子节 4 中解答.

3. 一般的时间演化算符

   将式 10 代入式 2 ,可得

\begin{equation} \mathcal{U}(t+ \,\mathrm{d}{t} ) = \mathcal{U}(t)\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = \mathcal{U}(t)(1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}H \,\mathrm{d}{t} ) \end{equation}

   因此有1

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{U}(t) = H\mathcal{U}(t) \end{equation}

   式 12 被称为时间演化算符的薛定谔方程.由时间演化算符的定义,我们可以由此得到量子态的演化方程2

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t} \left\lvert s, t \right\rangle = H \left\lvert s, t \right\rangle \end{equation}
当选择 $H=\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2m}+V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 时,式 13 正是我们熟知的薛定谔时间相关波动方程3

   我们只需要关注 $\mathcal{U}(t)$ 的演化即可,无须求解式 13

   式 12 的解需要分三个情况讨论:

哈密顿算符不依赖于时间

   如果 $H$ 是一个不随时间改变的常量,那么根据指数映射的性质,由式 12 易得

\begin{equation} \mathcal{U}(t) = \exp \left(\frac{H}{ \mathrm{i} \hbar}t \right) \end{equation}

   其中 $ \exp\left(X\right) =\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}X^i$ 对所有算符 $X$ 成立.

不同时间的哈密顿算符彼此对易

   如果哈密顿算符作为时间的函数 $H(t)$,满足 $H(t_1)H(t_2)=H(t_2)H(t_1)$,则可类比习题 1 ,猜出形式解

\begin{equation} \mathcal{U}(t)=\exp \left(\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\int^t_{t_0} \,\mathrm{d}{t} ' H(t') \right) \end{equation}
易验证式 15 确实满足式 12

不同时间的哈密顿算符彼此不对易

   如果 $H(t_1)H(t_2)\not=H(t_2)H(t_1)$,那么式 15 就不再满足式 12 了.此时形式解应为所谓的戴森(Dyson)级数

\begin{equation} \mathcal{U}(t) = 1+\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \right) \int^{t_1}_{t_0} \,\mathrm{d}{t} _1\int^{t_2}_{t_0} \,\mathrm{d}{t} _2\cdot \int^{t_{n-1}}_{t_0} \,\mathrm{d}{t} _{n-1}H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n) \end{equation}
未完成:引用戴森级数相关词条.

4. $\hbar$ 的由来

   这一小节回答之前遗留的问题,即为什么 $\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar} H \,\mathrm{d}{t} $ 中选择 $\hbar$.

   如果尚未确定 $\hbar$,只是用一个常数 $C$ 来取代它,即设 $\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1-\frac{ \mathrm{i} }{C} H \,\mathrm{d}{t} $,那么式 13 变为

\begin{equation} \mathrm{i} C\frac{\partial}{\partial t} \left\lvert s, t \right\rangle =H \left\lvert s, t \right\rangle \end{equation}

   根据德布罗意关系 $E=h\nu$ 和 $p=h/\lambda$,可以取能量、动量的共同本征矢(位置表象)4

\begin{equation} \psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \exp\left[2\pi \mathrm{i} \left(\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }{h}-\frac{Et}{h} \right) \right] \end{equation}
从而有
\begin{equation} E \left\lvert s, t \right\rangle =H \left\lvert s, t \right\rangle = \mathrm{i} C\frac{\partial}{\partial t}\psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \frac{2\pi C E}{h} \psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \end{equation}
\begin{equation} C=h/2\pi=\hbar \end{equation}


1. ^ $\partial\mathcal{U}(t)/\partial t=(\mathcal{U}(t+ \,\mathrm{d}{t} )-\mathcal{U}(t))/ \,\mathrm{d}{t} $,代入式 11 即可.
2. ^ $\partial \left\lvert s, t \right\rangle /\partial t=\partial(\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle )/\partial t=\partial \mathcal{U}(t)/\partial t \left\lvert s \right\rangle $.
3. ^ 准确来说,为了从态右矢得到波函数,还需左乘位置算子的本征矢 $ \left\langle x \right\rvert $,该本征矢在薛定谔绘景下不随时间变化.
4. ^ 注意到 $\exp \left[2\pi \mathrm{i} \left(A \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert -Bt \right) \right] $ 中,$A=1/\lambda$,$B=\nu$.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利