时间演化算符（量子力学）

                     

贡献者： JierPeter; certain_pineapple

　　 本节介绍时间演化算符，以此为切入点，引入量子态的演化方程，即薛定谔方程。

　　 “我们应当记住的首要之点是：时间在量子力学中只是一个参量而不是一个算符。特别地，时间不是前一章所说的可观测量。像谈论位置算符一样谈论时间算符是无意义的。”——樱井纯，J. 拿波里塔诺，《现代量子力学》，2.1 节。

　　 量子力学中，时间不是一个算符，意味着量子力学认为时间是独立存在的，即采用经典时空观。

1. 时间演化算符的基本性质

　　 从定义 1 可以看出来，我们只需要研究清楚时间演化算符的性质，就能从一个初始态算出之后任意时间的态。

　　 那么时间演化算符应该具有什么样的性质呢？

　　 首先，时间演化算符只依赖于时间长短，即

这样才能确定唯一的演化结果 $ \left\lvert s, t \right\rangle $。

　　 于是，我们可以省略掉初始时间，而把 $\mathcal{U}(t, t_0)$ 简记为 $\mathcal{U}(t-t_0)$，即把自变量由 “初始时间和结束时间” 替换为 “演化所用时间”。同样，也可以把量子态 $ \left\lvert s, t_0 \right\rangle $ 简记为 $ \left\lvert s \right\rangle $。此时 $ \left\lvert s, t_0+t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $。

　　 为了方便讨论，以下默认$t_0=0$，故 $ \left\lvert s, t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $。

　　 接着，我们希望量子态随时间连续地变化，因此有

其中 $1$ 是恒等变换。

　　 最后，我们希望一个量子态归一化以后，在演化过程中始终保持归一化。也就是说，$ \left\langle s \right\rvert H^\dagger H \left\lvert s \right\rangle = \left\langle s \middle| s \right\rangle =1$ 对任意态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 成立，即

满足式 1 的方程被称为幺正（unitary）的。

　　 有了三条规则，式 2 ，式 3 和式 4 ，就可以推导时间演化算符的具体形式了。

2. 无穷小时间演化算符

　　 我们首先考虑演化用时趋于 $0$ 时，时间演化算符的极限。这是因为微分的思想即线性近似的思想，而线性的情形是最好处理的。为了方便，我们将不使用极限语言，而是用 “无穷小” 的术语，这并不失严谨性。

　　 记 $ \,\mathrm{d}{t} $ 是一段无穷小时间，则由连续性式 3 ，可知应设

其中 $\Omega$ 是某个确定的算符。

　　 式 5 的形式天然满足式 2 ：

　　 接下来要确定 $\Omega$ 的形式。根据幺正性式 4 ，我们有

展开后，剔除高阶无穷小项 $ \,\mathrm{d}{t} ^2$，可得到 因此，$\Omega$ 是一个反厄米算符（定义 13 ）。

　　 现在，借用经典力学中 “哈密顿量是时间演化生成元” 的概念，令 $\Omega$ 为哈密顿算符 $H$ 的某个倍数。考虑到哈密顿算符是可观测量（能量），应为厄米算符，再考虑到量纲，故可以设

从而得到无穷小时间演化算符

　　 这里我们直接给出了调整量纲的常量 $\hbar$。为什么是 $\hbar$，而不是 $h$ 或别的什么同量纲量呢？这个问题在子节 4 中解答。

3. 一般的时间演化算符

　　 将式 10 代入式 2 ，可得

　　 因此有¹

　　 式 12 被称为时间演化算符的薛定谔方程。由时间演化算符的定义，我们可以由此得到量子态的演化方程²：

当选择 $H=\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2m}+V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 时，式 13 正是我们熟知的薛定谔时间相关波动方程³。

　　 我们只需要关注 $\mathcal{U}(t)$ 的演化即可，无须求解式 13 。

　　 式 12 的解需要分三个情况讨论：

哈密顿算符不依赖于时间

　　 如果 $H$ 是一个不随时间改变的常量，那么根据指数映射的性质，由式 12 易得

　　 其中 $ \exp\left(X\right) =\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}X^i$ 对所有算符 $X$ 成立。

不同时间的哈密顿算符彼此对易

　　 如果哈密顿算符作为时间的函数 $H(t)$，满足 $H(t_1)H(t_2)=H(t_2)H(t_1)$，则可类比习题 1 ，猜出形式解

易验证式 15 确实满足式 12 。

不同时间的哈密顿算符彼此不对易

　　 如果 $H(t_1)H(t_2)\not=H(t_2)H(t_1)$，那么式 15 就不再满足式 12 了。此时形式解应为所谓的戴森（Dyson）级数：

　　 式中 $\hat T$ 为时序算符，在 戴森级数中有较为详细的介绍。

4. $\hbar$ 的由来

　　 这一小节回答之前遗留的问题，即为什么 $\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar} H \,\mathrm{d}{t} $ 中选择 $\hbar$。

　　 如果尚未确定 $\hbar$，只是用一个常数 $C$ 来取代它，即设 $\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1-\frac{ \mathrm{i} }{C} H \,\mathrm{d}{t} $，那么式 13 变为

　　 根据德布罗意关系 $E=h\nu$ 和 $p=h/\lambda$，可以取能量、动量的共同本征矢（位置表象）⁴

从而有 故

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1. ^ $\partial\mathcal{U}(t)/\partial t=(\mathcal{U}(t+ \,\mathrm{d}{t} )-\mathcal{U}(t))/ \,\mathrm{d}{t} $，代入式 11 即可。
2. ^ $\partial \left\lvert s, t \right\rangle /\partial t=\partial(\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle )/\partial t=\partial \mathcal{U}(t)/\partial t \left\lvert s \right\rangle $。
3. ^ 准确来说，为了从态右矢得到波函数，还需左乘位置算子的本征矢 $ \left\langle x \right\rvert $，该本征矢在薛定谔绘景下不随时间变化。
4. ^ 注意到 $\exp \left[2\pi \mathrm{i} \left(A \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert -Bt \right) \right] $ 中，$A=1/\lambda$，$B=\nu$。