时间演化算符(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter; certain_pineapple

预备知识 量子力学的基本原理(量子力学)

   本节介绍时间演化算符,以此为切入点,引入量子态的演化方程,即薛定谔方程。

   “我们应当记住的首要之点是:时间在量子力学中只是一个参量而不是一个算符。特别地,时间不是前一章所说的可观测量。像谈论位置算符一样谈论时间算符是无意义的。”——樱井纯,J. 拿波里塔诺,《现代量子力学》,2.1 节。

   量子力学中,时间不是一个算符,意味着量子力学认为时间是独立存在的,即采用经典时空观。

1. 时间演化算符的基本性质

定义 1 时间演化算符

   设一个物理系统在时间 $t$ 时的态矢量为 $ \left\lvert s, t \right\rangle $,而 $t_0< t$ 是一个初始时间,那么定义

\begin{equation} \mathcal{U}(t, t_0) \left\lvert s, t_0 \right\rangle = \left\lvert s, t \right\rangle ~, \end{equation}
其中 $\mathcal{U}(t, t_0)$ 称为从 $t_0$ 到 $t$ 的时间演化算符(time evolution operator)

   从定义 1 可以看出来,我们只需要研究清楚时间演化算符的性质,就能从一个初始态算出之后任意时间的态。

   那么时间演化算符应该具有什么样的性质呢?

   首先,时间演化算符只依赖于时间长短,即

\begin{equation} \mathcal{U}(t_2, t_1)\mathcal{U}(t_1, t_0) = \mathcal{U}(t_2, t_0)~, \end{equation}
这样才能确定唯一的演化结果 $ \left\lvert s, t \right\rangle $。

   于是,我们可以省略掉初始时间,而把 $\mathcal{U}(t, t_0)$ 简记为 $\mathcal{U}(t-t_0)$,即把自变量由 “初始时间和结束时间” 替换为 “演化所用时间”。同样,也可以把量子态 $ \left\lvert s, t_0 \right\rangle $ 简记为 $ \left\lvert s \right\rangle $。此时 $ \left\lvert s, t_0+t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $。

   为了方便讨论,以下默认$t_0=0$,故 $ \left\lvert s, t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $。

   接着,我们希望量子态随时间连续地变化,因此有

\begin{equation} \lim_{t\to 0}\mathcal{U}(t) = \mathcal{U}(0) = 1~, \end{equation}
其中 $1$ 是恒等变换。

   最后,我们希望一个量子态归一化以后,在演化过程中始终保持归一化。也就是说,$ \left\langle s \right\rvert H^\dagger H \left\lvert s \right\rangle = \left\langle s \middle| s \right\rangle =1$ 对任意态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 成立,即

\begin{equation} H^\dagger H=1~ \end{equation}
满足式 1 的方程被称为幺正(unitary)的。

   有了三条规则,式 2 式 3 式 4 ,就可以推导时间演化算符的具体形式了。

2. 无穷小时间演化算符

   我们首先考虑演化用时趋于 $0$ 时,时间演化算符的极限。这是因为微分的思想即线性近似的思想,而线性的情形是最好处理的。为了方便,我们将不使用极限语言,而是用 “无穷小” 的术语,这并不失严谨性。

   记 $ \,\mathrm{d}{t} $ 是一段无穷小时间,则由连续性式 3 ,可知应设

\begin{equation} \mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1+\Omega \,\mathrm{d}{t} ~, \end{equation}
其中 $\Omega$ 是某个确定的算符。

   式 5 的形式天然满足式 2

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{U}(t_2)\mathcal{U}(t_1)&=(1+\Omega \,\mathrm{d}{t} _2)(1+\Omega \,\mathrm{d}{t} _1)\\ &=1+\Omega( \,\mathrm{d}{t} _2+ \,\mathrm{d}{t} _1)\\ &=\mathcal{U}(t_2+t_1)~. \end{aligned} \end{equation}

   接下来要确定 $\Omega$ 的形式。根据幺正性式 4 ,我们有

\begin{equation} (1+\Omega^\dagger \,\mathrm{d}{t} )(1+\Omega \,\mathrm{d}{t} )=1~, \end{equation}
展开后,剔除高阶无穷小项 $ \,\mathrm{d}{t} ^2$,可得到
\begin{equation} \Omega^\dagger + \Omega = 0~. \end{equation}
因此,$\Omega$ 是一个反厄米算符定义 13 )。

   现在,借用经典力学中 “哈密顿量是时间演化生成元” 的概念,令 $\Omega$ 为哈密顿算符 $H$ 的某个倍数。考虑到哈密顿算符是可观测量(能量),应为厄米算符,再考虑到量纲,故可以设

\begin{equation} \Omega=-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}H~, \end{equation}
从而得到无穷小时间演化算符
\begin{equation} \mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} )= 1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}H=1+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}H~, \end{equation}

   这里我们直接给出了调整量纲的常量 $\hbar$。为什么是 $\hbar$,而不是 $h$ 或别的什么同量纲量呢?这个问题在子节 4 中解答。

3. 一般的时间演化算符

   将式 10 代入式 2 ,可得

\begin{equation} \mathcal{U}(t+ \,\mathrm{d}{t} ) = \mathcal{U}(t)\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = \mathcal{U}(t)(1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}H \,\mathrm{d}{t} )~. \end{equation}

   因此有1

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{U}(t) = H\mathcal{U}(t)~, \end{equation}

   式 12 被称为时间演化算符的薛定谔方程。由时间演化算符的定义,我们可以由此得到量子态的演化方程2

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t} \left\lvert s, t \right\rangle = H \left\lvert s, t \right\rangle ~. \end{equation}
当选择 $H=\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2m}+V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 时,式 13 正是我们熟知的薛定谔时间相关波动方程3

   我们只需要关注 $\mathcal{U}(t)$ 的演化即可,无须求解式 13

   式 12 的解需要分三个情况讨论:

哈密顿算符不依赖于时间

   如果 $H$ 是一个不随时间改变的常量,那么根据指数映射的性质,由式 12 易得

\begin{equation} \mathcal{U}(t) = \exp \left(\frac{H}{ \mathrm{i} \hbar}t \right) ~. \end{equation}

   其中 $ \exp\left(X\right) =\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}X^i$ 对所有算符 $X$ 成立。

不同时间的哈密顿算符彼此对易

   如果哈密顿算符作为时间的函数 $H(t)$,满足 $H(t_1)H(t_2)=H(t_2)H(t_1)$,则可类比习题 1 ,猜出形式解

\begin{equation} \mathcal{U}(t)=\exp \left(\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\int^t_{t_0} \,\mathrm{d}{t} ' H(t') \right) ~, \end{equation}
易验证式 15 确实满足式 12

不同时间的哈密顿算符彼此不对易

   如果 $H(t_1)H(t_2)\not=H(t_2)H(t_1)$,那么式 15 就不再满足式 12 了。此时形式解应为所谓的戴森(Dyson)级数

\begin{align} \mathcal{U}(t) &= 1+\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \right) \int^{t_1}_{t_0} \,\mathrm{d}{t} _1\int^{t_2}_{t_0} \,\mathrm{d}{t} _2\cdot \int^{t_{n-1}}_{t_0} \,\mathrm{d}{t} _{n-1}H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n) \\ &=\hat T \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int^t_{t_0}\hat H(t_0)dt_0\right) ~, \end{align}

   式中 $\hat T$ 为时序算符,在 戴森级数中有较为详细的介绍。

4. $\hbar$ 的由来

   这一小节回答之前遗留的问题,即为什么 $\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar} H \,\mathrm{d}{t} $ 中选择 $\hbar$。

   如果尚未确定 $\hbar$,只是用一个常数 $C$ 来取代它,即设 $\mathcal{U}( \,\mathrm{d}{t} ) = 1-\frac{ \mathrm{i} }{C} H \,\mathrm{d}{t} $,那么式 13 变为

\begin{equation} \mathrm{i} C\frac{\partial}{\partial t} \left\lvert s, t \right\rangle =H \left\lvert s, t \right\rangle ~. \end{equation}

   根据德布罗意关系 $E=h\nu$ 和 $p=h/\lambda$,可以取能量、动量的共同本征矢(位置表象)4

\begin{equation} \psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \exp\left[2\pi \mathrm{i} \left(\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }{h}-\frac{Et}{h} \right) \right] ~, \end{equation}
从而有
\begin{equation} E \left\lvert s, t \right\rangle =H \left\lvert s, t \right\rangle = \mathrm{i} C\frac{\partial}{\partial t}\psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \frac{2\pi C E}{h} \psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )~, \end{equation}
\begin{equation} C=h/2\pi=\hbar~. \end{equation}


1. ^ $\partial\mathcal{U}(t)/\partial t=(\mathcal{U}(t+ \,\mathrm{d}{t} )-\mathcal{U}(t))/ \,\mathrm{d}{t} $,代入式 11 即可。
2. ^ $\partial \left\lvert s, t \right\rangle /\partial t=\partial(\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle )/\partial t=\partial \mathcal{U}(t)/\partial t \left\lvert s \right\rangle $。
3. ^ 准确来说,为了从态右矢得到波函数,还需左乘位置算子的本征矢 $ \left\langle x \right\rvert $,该本征矢在薛定谔绘景下不随时间变化。
4. ^ 注意到 $\exp \left[2\pi \mathrm{i} \left(A \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert -Bt \right) \right] $ 中,$A=1/\lambda$,$B=\nu$。


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