相互作用绘景

贡献者： certain_pineapple; 叶月2_

预备知识　薛定谔绘景和海森堡绘景

　　在本章节中，使用上角标为 $(s)$ 代表薛定谔绘景，上角标为 $(I)$ 代表相互作用绘景，例如 $H^{(s)}$ , $H^{(I)}$ 。

定义 1　

　　不同于海森堡绘景和薛定谔绘景，在相互作用绘景里，态矢和算符都随时间而改变。薛定谔绘景中的哈密顿量可以分割为：

\begin{matrix} (1) & H^{(S)} = H_{0}^{(S)} + V^{(S)} . \end{matrix}

分别定义

U^{(S)} (t)

为

H^{(S)}

对应的时间演化算符，

U_{0}^{(S)} (t)

为

H_{0}^{(S)}

对应的时间演化算符，具体定义方法参考时间演化算符。

　　定义：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} | ψ^{(I)} (t) ⟩ & = U_{0}^{(S)} (t)^{†} | ψ^{(S)} (t) ⟩ = U_{0}^{(S)} (t)^{†} U^{(S)} (t) | ψ^{(S)} (0) ⟩, \\ A^{(I)} (t) & = U_{0}^{(S)} (t)^{†} A^{(S)} (t) U_{0}^{(S)} (t) . \end{aligned} \end{matrix}

上式中

A

为任意算符。容易验证，在如此定义的相互作用绘景中算符平均值与在薛定谔绘景中相同。

　　考虑时间演化算符满足:

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} U^{(S)} (t) = H^{(S)} (t) U^{(S)} (t) \\ i ℏ \frac{\partial}{\partial t} U_{0}^{(S)} (t) = H_{0}^{(S)} (t) U_{0}^{(S)} (t) . \end{aligned} \end{matrix}

　　计算相互作用绘景中算符与态矢的演化方法,（为了简洁，在推导算符随时间的变化时省略(t)，不应该忘记的是，以下涉及的所有算符都是含时的。）：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} A^{(I)} & = \frac{\partial}{\partial t} (U_{0}^{(S) †} A^{(S)} U_{0}^{(S)}) \\ = (\frac{\partial}{\partial t} U_{0}^{(S) †}) A^{(S)} U_{0}^{(S)} + U_{0}^{(S) †} (\frac{\partial}{\partial t} A^{(S)}) U_{0}^{(S)} + U_{0}^{(S) †} A^{(S)} (\frac{\partial}{\partial t} U_{0}^{(S)}) \\ = - \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S) †} H_{0}^{(S)} A^{(S)} U_{0}^{(S)} + \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S) †} A^{(S)} H_{0}^{(S)} U_{0}^{(S)} + U_{0}^{(S) †} \frac{\partial}{\partial t} (A^{(S)}) U_{0}^{(S)} \\ = - \frac{1}{i ℏ} (U_{0}^{(S) †} H_{0}^{(S)} U_{0}^{(S)}) (U_{0}^{(S) †} A^{(S)} U_{0}^{(S)}) + \frac{1}{i ℏ} (U_{0}^{(S) †} A^{(S)} U_{0}^{(S)}) (U_{0}^{(S) †} H_{0}^{(S)} U_{0}^{(S)}) + {(\frac{\partial}{\partial t} A)}^{(I)} \\ = - \frac{1}{i ℏ} H_{0}^{(I)} A^{(I)} + \frac{1}{i ℏ} A^{(I)} H_{0}^{(I)} + {(\frac{\partial}{\partial t} A)}^{(I)} \\ = \frac{1}{i ℏ} [A^{(I)}, H_{0}^{(I)}] + {(\frac{\partial}{\partial t} A)}^{(I)} . \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} | ψ^{(I)} (t) ⟩ & = \frac{\partial}{\partial t} (U_{0}^{(S)} (t)^{†} U^{(S)} (t)) | ψ^{(S)} (0) ⟩ \\ = (\frac{\partial}{\partial t} U_{0}^{(S)} (t)^{†}) U^{(S)} (t) | ψ^{(S)} (0) ⟩ + U_{0}^{(S)} (t)^{†} (\frac{\partial}{\partial t} U^{(S)} (t)) | ψ^{(S)} (0) ⟩ \\ = - \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S)} (t)^{†} H_{0}^{(S)} (t) U^{(S)} (t) | ψ^{(S)} (0) ⟩ + \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S)} (t)^{†} H^{(S)} (t) U^{(S)} (t) | ψ^{(S)} (0) ⟩ \\ = \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S)} (t)^{†} V^{(S)} (t) U^{(S)} (t) | ψ^{(S)} (0) ⟩ \\ = \frac{1}{i ℏ} (U_{0}^{(S)} (t)^{†} V^{(S)} (t) U_{0}^{(S)} (t)) (U_{0}^{(S)} (t)^{†} U^{(S)} (t) | ψ^{(S)} (0) ⟩) \\ = \frac{1}{i ℏ} V^{(I)} (t) | ψ^{(I)} (t) ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

　　由此可见，在相互作用绘景下算符与态矢都随时间演化，且算符和态矢分别依据哈密顿量的两部分（ $H_{0}^{(I)}$ 和 $V^{(I)}$ ）演化。

　　同样也可以计算相互作用绘景下的时间演化算符 $U^{(I)} (t) = U_{0}^{(S)} (t)^{†} U^{(S)} (t)$ 随时间的演化。：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} U^{(I)} (t) & = \frac{\partial}{\partial t} (U_{0}^{(S)} (t)^{†} U^{(S)} (t)) \\ = (\frac{\partial}{\partial t} U_{0}^{(S)} (t)^{†}) U^{(S)} (t) + U_{0}^{(S)} (t)^{†} (\frac{\partial}{\partial t} U^{(S)} (t)) \\ = - \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S)} (t)^{†} H_{0}^{(S)} (t) U^{(S)} (t) + \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S)} (t)^{†} H^{(S)} (t) U^{(S)} (t) \\ = \frac{1}{i ℏ} U_{0}^{(S)} (t)^{†} V^{(S)} (t) U^{(S)} (t) \\ = \frac{1}{i ℏ} (U_{0}^{(S)} (t)^{†} V^{(S)} (t) U_{0}^{(S)} (t)) (U_{0}^{(S)} (t)^{†} U^{(S)} (t)) \\ = \frac{1}{i ℏ} V^{(I)} (t) U^{(I)} (t) . \end{aligned} \end{matrix}

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