相互作用绘景
贡献者： certain_pineapple; 叶月2_
在本章节中，使用上角标为 $(s)$ 代表薛定谔绘景，上角标为 $(I)$ 代表相互作用绘景，例如 $H^{(s)}$,$H^{(I)}$。
定义 1
不同于海森堡绘景和薛定谔绘景，在相互作用绘景里，态矢和算符都随时间而改变。薛定谔绘景中的哈密顿量可以分割为：
\begin{equation}
H^{(S)}=H^{(S)}_0+V^{(S)}~.
\end{equation}
分别定义 $\mathcal U^{(S)}(t)$ 为 $H^{(S)}$ 对应的时间演化算符，$\mathcal U^{(S)}_0(t)$ 为 $H^{(S)}_0$ 对应的时间演化算符，具体定义方法参考
时间演化算符。
定义：
\begin{equation}
\begin{aligned}
|\psi^{(I)}(t)\rangle&=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger|\psi^{(S)}(t)\rangle=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)|\psi^{(S)}(0)\rangle~, \\
A^{(I)}(t)&=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger A^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}_0 (t)~.
\end{aligned}
\end{equation}
上式中 $A$ 为任意算符。容易验证，在如此定义的相互作用绘景中算符平均值与在薛定谔绘景中相同。
考虑时间演化算符满足:
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{U}^{(S)}(t) = H^{(S)}(t)\mathcal{U}^{(S)}(t) \\
& \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{U}_0^{(S)}(t) = H^{(S)}_0(t)\mathcal{U}_0^{(S)}(t)~.
\end{aligned}
\end{equation}
计算相互作用绘景中算符与态矢的演化方法,（为了简洁，在推导算符随时间的变化时省略(t)，不应该忘记的是，以下涉及的所有算符都是含时的。）：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}A^{(I)}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0 \right)\\
&=\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)\dagger}_0\right) A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0 +\mathcal U^{(S)\dagger}_0 \left(\frac{\partial}{\partial t}A^{(S)}\right)\mathcal U^{(S)}_0+\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}_0\right)\\
&=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)\dagger}_0 H^{(S)}_0A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0 +\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}H^{(S)}_0\mathcal U^{(S)}_0+\mathcal U^{(S)\dagger}_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(A^{(S)}\right)\mathcal U^{(S)}_0 \\
&=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 H^{(S)}_0 \mathcal U^{(S)}_0\right)\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0\right) +\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0\right)\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 H^{(S)}_0\mathcal U^{(S)}_0\right)+\left(\frac{\partial}{\partial t}A\right)^{(I)} \\
&=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} H^{(I)}_0 A^{(I)}+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} A^{(I)} H^{(I)}_0+\left(\frac{\partial}{\partial t}A\right)^{(I)} \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left[A^{(I)},H_0^{(I)}\right]+\left(\frac{\partial}{\partial t}A\right)^{(I)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}|\psi^{(I)}(t)\rangle&=
\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)\right)|\psi^{(S)}(0)\rangle \\
&=\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\right)\mathcal U^{(S)}(t)|\psi^{(S)}(0)\rangle+\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}(t)\right)|\psi^{(S)}(0)\rangle \\
&=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}_0(t)\mathcal U^{(S)}(t)|\psi^{(S)}(0)\rangle+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) |\psi^{(S)}(0)\rangle \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) |\psi^{(S)}(0)\rangle \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}_0(t)\right)\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t) |\psi^{(S)}(0)\rangle\right) \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}V^{(I)}(t)|\psi^{(I)}(t)\rangle~.
\end{aligned}
\end{equation}
由此可见，在相互作用绘景下算符与态矢都随时间演化，且算符和态矢分别依据哈密顿量的两部分（$H_0^{(I)}$ 和 $V^{(I)}$）演化。
同样也可以计算相互作用绘景下的时间演化算符 $\mathcal U^{(I)}(t)=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)$ 随时间的演化。：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(I)}(t)&=
\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)\right)\\
&=\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\right)\mathcal U^{(S)}(t)+\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}(t)\right) \\
&=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}_0(t)\mathcal U^{(S)}(t)+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}_0(t)\right)\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t) \right) \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}V^{(I)}(t)U^{(I)}(t)~.
\end{aligned}
\end{equation}
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