一维波动方程

             

预备知识 导数与差分,平面波,偏导数

1. 横波

   我们假设有一根无限长的弦,质量线密度为 $\lambda$,弦的张力(即拉力)为 $T$,弦静止时与 $x$ 轴重合.假设 $t$ 时刻的波函数(即弦的形状)为 $y(x, t)$,且弦的振幅较小,下面我们来求波函数所满足的微分方程,称为一维波动方程

图
图 1:“微元法” 分析弦的波动

   我们用 “微元法” 的思想,把弦划分为许多小线段,每段长度为 $h$,质量为 $m_i = \lambda h$,且质量都集中在左端的端点 $x_i$ 处.下面我们来考察质点 $m_i$ 的受力情况(图 1 ).令 $m_{i+1}$ 对 $m_i$ 的拉力方向与 $x$ 轴夹角为 $\theta$,由于弦的波动较小,可以认为 $\theta$ 很小,这样来自 $m_{i+1}$ 的拉力的两个分量为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} F_x &= T\cos\theta \approx T\\ F_y &= T\sin\theta \approx T\tan\theta = T\frac{y(x_i+h) -y(x_i)}{h} \end{aligned}\right. \end{equation}
同理,来自 $m_{i-1}$ 的拉力的两个分量为
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} F'_x &\approx -T\\ F'_y &\approx T\frac{y(x_i - h) -y(x_i)}{h} \end{aligned}\right. \end{equation}
式 1 式 2 相加,得 $m_i$ 受 $x$ 方向的合力为零,$y$ 方向的合力为
\begin{equation} F_y = T\frac{y(x_i+h) - 2y(x_i) + y(x_i-h)}{h} \end{equation}
结合牛顿定律,并代入 $m_i = \lambda h$,有
\begin{equation} \lambda \frac{\partial^{2}{y}}{\partial{t}^{2}} = T\frac{y(x_i+h) - 2y(x_i) + y(x_i-h)}{h^2} \end{equation}
注意到 $h$ 很小,由式 5 可得等式右边为 $T \partial^{2} y/\partial {x}^{2} $.于是我们得到波动方程为
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{y}}{\partial{x}^{2}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}{y}}{\partial{t}^{2}} = 0 \end{equation}
其中
\begin{equation} v = \sqrt{\frac{T}{\lambda}} \end{equation}
我们稍后会看到 $v$ 就是波的速度1

   由于这个方程中未知函数 $y(x,t)$ 是一个多元函数,且出现了偏微分,我们把它叫做偏微分方程

2. 纵波

图
图 2:一个常见的纵波模型

   以上弦模型中的波动显然是一个横波,我们也可以建立一个纵波的模型.如图 2 ,我们假设一条无限长的弹簧上的质量都集中于等间距的 $x_i$,间距为 $h$.若弹簧的平均线密度为 $\lambda$,则每个质点的质量为 $m_i = \lambda h$.为了描述弹簧的弹性,我们令单位长度弹簧的弹性系数为 $k$,则长为 $h$ 的一小段弹簧弹性系数为 $k/h$.若用 $\xi_i$ 来描述 $m_i$ 在 $x$ 方向的位移,我们可以列出 $m_i$ 的运动方程为

\begin{equation} \lambda h \frac{\partial^{2}{\xi}}{\partial{t}^{2}} = F_i = \frac kh [\xi(x_i + h) - 2\xi(x_i) + \xi(x_i - h)] \end{equation}
同样利用式 5 得波动方程为
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{\xi}}{\partial{x}^{2}} - \frac{\lambda}{k} \frac{\partial^{2}{\xi}}{\partial{t}^{2}} = 0 \end{equation}

3. 方程的解

预备知识 偏微分算符

算符分解法

   我们可以先把式 5 记为算符的形式,即

\begin{equation} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \right) y(x, t) = 0 \end{equation}
也可以记为
\begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) \left( \frac{\partial}{\partial{x}} - \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) y(x, t) = 0 \end{equation}
注意两个括号的顺序可以互换.所以我们可以先寻找一阶偏微分方程
\begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial{x}} \pm\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) y(x, t) = 0 \end{equation}
的解得通解为
\begin{equation} y(x, t) = c_1 f_1(x - ct) + c_2 f_2(x + ct) \end{equation}
其中 $f_i(x)$ 是任意函数.这个通解的物理意义很明确.即一个向右平移的波和一个向左平移的波,速度大小均为 $v$.

傅里叶变换法

  

未完成:通解可以写成平面波的叠加(积分).


1. ^ 有些教材也会把式 5 乘以 $-1$ 或者乘以 $c^2$,导致读者分不清系数到底是 $1/c^2$ 还是 $c^2$.一个简单的办法是看量纲,$ \partial/\partial x $ 的量纲是长度分之一,$ \partial/\partial t $ 是时间分之一,而 $v$ 的量纲是速度(长度除以时间).

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