欧几里得矢量空间的正交化、同构及正交群

贡献者：零穹

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R^{n}

预备知识　欧几里得矢量空间

　　¹对欧几里得矢量空间 $V$ （定义 1 ），其上任一基底都可正交标准化，而空间 $V$ 上的对称双线性型 $(* | *)$ 实际上给出了 $V$ 中的度量性质，即长度（定义 2 ）和夹角（定义 3 ），这意味着就度量性质来说，欧几里得矢量空间 $V$ 和 $R^{n}$ 没有差别。由于标准正交基底的重要作用，往往要研究不同标准正交基底之间的转换关系，即两基底对应的过渡矩阵（或转换矩阵），与两标准正交基底对应的过渡矩阵称为正交矩阵，它们将构成一个群，称之正交群。

1. 正交化过程

定理 1　标准正交化过程

　　设 ${e_{1}, \dots, e_{m}}$ 是 $n$ 维欧几里得矢量空间 $V$ 中的一组 $m$ 个线性无关的矢量。那么，存在一个标准正交矢量组 ${{\hat{e}}_{1}^{'}, \dots, {\hat{e}}_{m}^{'}}$ ，使得线性包络（或称张成空间定义 1 ）

\begin{matrix} (1) & L_{i} = ⟨ e_{1}, \dots, e_{i} ⟩ \end{matrix}

和

\begin{matrix} (2) & L_{i}^{'} = ⟨ {\hat{e}}_{1}^{'}, \dots, {\hat{e}}_{i}^{'} ⟩ . \end{matrix}

当

i = 1, \dots, m

时都重合，

m \leq n

。

　　 证明：令 ${\hat{e}}_{1}^{'} = λ e_{1}, λ = {‖ e_{1} ‖}^{- 1}$ ，则 $L_{1} = ⟨ e_{1} ⟩ = ⟨ {\hat{e}}_{1}^{'} ⟩ = L_{1}^{'}$ 显然成立，即 $m = 1$ 的情形。

　　设当 $1 \leq k < m$ 时，已构造出所需的矢量组 ${{\hat{e}}_{1}^{'}, \dots, {\hat{e}}_{k}^{'}}$ ，使得 $L_{1} = L_{i}^{'}, i = 1, \dots, k$ 。我们来找出 ${\hat{e}}_{k + 1}^{'}$ 。

　　首先，矢量 $e_{k + 1}$ 不包含在 $L_{k} = L_{k}^{'}$ 中（否则， $e_{k + 1}$ 可用 $e_{1}, \dots, e_{k}$ 线性表示）。令

\begin{matrix} (3) & v = e_{k + 1} - \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} {\hat{e}}_{i}^{'}, \end{matrix}

而

λ_{1}, \dots, λ_{k}

是任意纯量（显然

v \neq 0

）。于是

\begin{matrix} (4) & L_{k + 1} = ⟨ e_{1}, \dots, e_{k}, e_{k + 1} ⟩ = ⟨ e_{1}, \dots, e_{k}, v ⟩ . \end{matrix}

如果

v ⊥ L_{k}^{'}

，那么便找到了

{\hat{e}}_{k + 1}^{'} = \frac{v}{‖ v ‖}

。而做到这一点的充要条件是，对任意

j = 1, \dots, k

，成立

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} 0 = (v | {\hat{e}}_{j}^{'}) = (e_{k + 1} | {\hat{e}}_{j}^{'}) - (\sum_{i = 1}^{k} λ_{i} {\hat{e}}_{i}^{'} | {\hat{e}}_{j}^{'}) \\ = (e_{k + 1} | {\hat{e}}_{j}^{'}) - \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} ({\hat{e}}_{i}^{'} | {\hat{e}}_{j}^{'}) = (e_{k + 1} | {\hat{e}}_{j}^{'}) - λ_{j}, \end{aligned} \end{matrix}

故只需取

λ_{j} = (e_{k + 1} | {\hat{e}}_{j}^{'})

即可。于是，便得到了标准正交组

{\hat{e}}_{1}^{'}, \dots, {\hat{e}}_{k}^{'}

，且

L_{k + 1} = L_{k + 1}^{'}

。

　　由数学归纳法，定理得证！

定理 2　

　　设 $L$ 是有限维欧几里得矢量空间 $V$ 的一个子空间， $L^{⊥}$ 是它的正交补，那么

\begin{matrix} (6) & V = L \oplus L^{⊥}, L^{⊥⊥} = L . \end{matrix}

　　 证明：在 $L$ 中取任一标准正交基 $(e_{1}, \dots, e_{m})$ ，如定理 1 中找出 $v$ 的过程一样，可知对 $\forall w \in V$ ，矢量 $v$ :

\begin{matrix} (7) & v = w - \sum_{i = 1}^{m} (w | e_{i}) e_{i} . \end{matrix}

正交于

L

，即

w = u + v

，其中

u = \sum_{i = 1}^{m} (w | e_{i}) e_{i} \in L

，而

v \in L^{⊥}

，亦即

V = L + L^{⊥}

。

　　要证 $V = L \oplus L^{⊥}$ ，只需证 $L \cap L^{⊥} = 0$ 。设 $x \in L \cap L^{⊥}$ ，则 $(x | L) = 0$ ，又 $x \in L$ ，于是 $(x | x) = 0$ ，由内积的正定性， $x = 0$ ，从而 $V = L \oplus L^{⊥}$ 。

　　任意 $w \in L^{⊥⊥}$ ，由 $V = L \oplus L^{⊥}$ ，有 $w = u + v (u \in L, v \in L^{⊥})$ ，于是 $(w | v) = {‖ v ‖}^{2} = 0$ ，故 $w = u \in L$ ，于是 $L^{⊥⊥} \subset L$ 。其次，由 $L^{⊥⊥} = (L^{⊥})^{⊥}$ ，而 $(L | L^{⊥}) = 0$ ，从而 $L \subset L^{⊥⊥}$ 。于是 $L^{⊥⊥} = L$ 。

　　 证毕！

2. 欧几里得矢量空间的同构

定理 3　

　　任意两个维数相同的欧几里得矢量空间 $V, V^{'}$ 都是同构的。即存在矢量空间的同构映射 $f : V \to V^{'}$ ，它还保持内积：

\begin{matrix} (8) & (x | y) = (f (x) | f (y))^{'} . \end{matrix}

其中，

(* | *)^{'}

是

V^{'}

上的内积。

　　 证明： 取 $V, V^{'}$ 的标准正交基底 ${{\hat{e}}_{i}}$ 和 ${{\hat{e}}_{i}^{'}}$ 。则映射：

\begin{matrix} (9) & f : x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} {\hat{e}}_{i} \mapsto x^{'} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} {\hat{e}}_{i}^{'}, \end{matrix}

显然是个线性的双射²。并且由于选取的基底皆为标准正交基，所以内积

(x | y)

和

(x^{'} | y^{'})^{'}

都按同一公式进行。

　　 证毕!

　　若固定矢量 $v$ ，则映射

\begin{matrix} (10) & φ_{v} = (v | *) : V \to R \end{matrix}

是

V

上的线性映射，即

(v | *) \in V^{*}

³。

定理 4　

　　映射 $φ : v \mapsto (v | *) = φ_{v}$ 是矢量空间 $V$ 到 $V^{*}$ 的自然同构⁴。在此同构下， $V$ 的基底 ${\hat{e}}_{1}, \dots, {\hat{e}}_{n}$ 被映射到 $V^{*}$ 中与其对偶的基底 $e^{1}, \dots, e^{n}$ ，即 $φ_{\hat{e_{i}}} = e^{i}$ 。

　　 证明： $φ$ 是线性的：

\begin{matrix} (11) & φ_{(α u + β v)} = (α u + β v | *) = α (u | *) + β (v | *) = α φ_{u} + β φ_{v} . \end{matrix}

因为

\begin{matrix} (12) & v \in Ker φ \Rightarrow (v | x) = 0, \forall x \in V, \end{matrix}

所以

(v | v) = 0 \Rightarrow v = 0

，故

Ker φ = 0

，于是

φ

为单射。

　　 $V^{*}$ 上任意元素必可由 $V^{*}$ 的基底线性表示，故若 $V^{*}$ 的任一基底都有 $V$ 的元与之对应，则 $φ$ 为满射。特别地

\begin{matrix} (13) & φ_{{\hat{e}}_{i}} = ({\hat{e}}_{i} | *) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} e^{j} . \end{matrix}

因为

{\hat{e}}_{1}, \dots, {\hat{e}}_{n}

是标准正交基底，所以

\begin{matrix} (14) & a_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} e^{k} ({\hat{e}}_{j}) = ({\hat{e}}_{i} | {\hat{e}}_{j}) = δ_{i j}, \end{matrix}

于是有

φ_{{\hat{e}}_{i}} = e^{i}

。这就证明了满射性。进而，

φ

是双射。显然，定义

φ

的过程并没有选择特定的基底，即

φ

是矢量空间

V

到

V^{*}

自然同构。

　　 证毕！

　　由于同构的双方可认为是同一事物的不同表现形式，这意味着，欧几里得矢量空间中每一矢量 $v$ 都可看成是一个线性函数 $v : V \to R$ 。（即把 $v$ 看成 $V$ 的线性函数时， $v$ 相当于 $φ_{v} = (v | *)$ ）。

3. 正交群

　　设 $({\hat{e}}_{1}, \dots, {\hat{e}}_{n})$ 和 $({\hat{e}}_{1}^{'}, \dots, {\hat{e}}_{n}^{'})$ 是矢量空间 $V$ 的不同标准正交基底。设 ${\hat{e}}_{i}^{'}$ 到 ${\hat{e}}_{i}$ 的转换矩阵为 $A = (a_{i j})$ ，即

\begin{matrix} (15) & {\hat{e}}_{j}^{'} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} {\hat{e}}_{i} . \end{matrix}

由于

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} δ_{i j} & = ({\hat{e}}_{i}^{'} | {\hat{e}}_{j}^{'}) = (\sum_{k = 1}^{n} a_{k i} {\hat{e}}_{k} | \sum_{l = 1}^{n} a_{l j} {\hat{e}}_{l}) = \sum_{k, l} a_{k i} a_{l j} ({\hat{e}}_{k} | {\hat{e}}_{l}) \\ = \sum_{k} a_{k i} a_{k j}, \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (17) & A^{T} A = E . \end{matrix}

从而

A^{T} = A^{- 1}

。而

{AA}^{- 1} = E

，故又有

\begin{matrix} (18) & {AA}^{T} = E . \end{matrix}

定义 1　正交矩阵

　　满足式 17 和式 18 的任一矩阵 $A$ 称为正交矩阵。所有 $n$ 阶正交矩阵的集合记为 $O (n)$ 。

　　这就是说，两个标准正交基之间的转换矩阵为正交矩阵。反过来，设 $A$ 是正交矩阵，那么由标准正交基底 $({\hat{e}}_{1}, \dots, {\hat{e}}_{n})$ 按式 15 得到的矢量组也是标准正交基底，即下面定理成立

定理 5　

　　由一个标准正交基底到另一个标准正交基底的转换矩阵是正交矩阵，而且，所有正交矩阵都可以是这种转换矩阵。

　　设 $A, B$ 是两正交矩阵，则 ${(AB)}^{T} (AB) = B^{T} A^{T} AB = E$ （几何意义就是将一个标准正交基底 ${{\hat{e}}_{i}}$ 通过 $B$ 转换到另一标准正交基底 ${{\hat{e}}_{i}^{'}}$ ，再将 ${{\hat{e}}_{i}^{'}}$ 通过 $A$ 转到另一标准正交基底 ${{\hat{e}}_{i}^{″}}$ ），即正交矩阵的矩阵乘法也是正交矩阵（封闭性）。由于矩阵乘法满足结合律，并且 $A$ 有逆元 $A^{T}$ ，且 $E$ 也是正交矩阵，所以 $O (n)$ 构成一个群。

定义 2　正交群

　　所有正交矩阵构成的集合 $O (n)$ 称为正交群。

　　由式 15

\begin{matrix} (19) & a_{i j} = ({\hat{e}}_{i} | {\hat{e}}_{j}^{'}) = \cos θ_{i j}, \end{matrix}

其中

θ_{i j}

是基底矢量

{\hat{e}}_{i}

和

{\hat{e}}_{j}^{'}

的夹角。这便是正交矩阵元的几何解释。由正交矩阵的定义式 17 ，显然，所有正交矩阵行列式为 1 或 -1。

1. ^ 柯斯特利金，代数学引论，第二卷。
2. ^ 若线性的双射 $f$ 将矢量空间 $V$ 映到矢量空间 $W$ ，则 $f$ 就称为 $V$ 到 $W$ 的同构映射，而称 $V$ 和 $W$ 同构。
3. ^ $V^{*}$ 即 $V$ 的对偶空间。
4. ^ 即该同构不依赖于基的选择

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欧几里得矢量空间的正交化、同构及正交群

1. 正交化过程

定理 1 标准正交化过程

定理 2

2. 欧几里得矢量空间的同构

定理 3

定理 4

3. 正交群

定义 1 正交矩阵

定理 5

定义 2 正交群

定理 1　标准正交化过程

定理 2　

定理 3　

定理 4　

定义 1　正交矩阵

定理 5　

定义 2　正交群