欧几里得矢量空间的正交化、同构及正交群

                     

贡献者： 零穹

　　¹对欧几里得矢量空间 $V$（定义 1 ），其上任一基底都可正交标准化，而空间 $V$ 上的对称双线性型 $(*|*)$ 实际上给出了 $V$ 中的度量性质，即长度（定义 2 ）和夹角（定义 3 ），这意味着就度量性质来说，欧几里得矢量空间 $V$ 和 $\mathbb{R}^n$ 没有差别。由于标准正交基底的重要作用，往往要研究不同标准正交基底之间的转换关系，即两基底对应的过渡矩阵（或转换矩阵），与两标准正交基底对应的过渡矩阵称为正交矩阵，它们将构成一个群，称之正交群。

1. 正交化过程

　　 证明：令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1=\lambda \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\;\lambda= \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{e}} _1 \right\rVert ^{-1}$，则 $L_1=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1\rangle=\langle \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1\rangle=L'_1$ 显然成立，即 $m=1$ 的情形。

　　 设当 $1\leq k< m$ 时，已构造出所需的矢量组 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_k\}$，使得 $L_1=L'_i,\;i=1,\cdots,k$。我们来找出 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_{k+1}$。

　　 首先，矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}$ 不包含在 $L_k=L'_k$ 中（否则，$ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}$ 可用 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _k$ 线性表示）。令

而 $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ 是任意纯量（显然 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \neq \boldsymbol{\mathbf{0}} $）。于是 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \perp L'_k$，那么便找到了 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_{k+1}=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }{ \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rVert }$。而做到这一点的充要条件是，对任意 $j=1,\cdots,k$，成立 故只需取 $\lambda_j= \left( \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j \right) $ 即可。于是，便得到了标准正交组 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_k$，且 $L_{k+1}=L'_{k+1}$。

　　 由数学归纳法，定理得证！

　　 证明：在 $L$ 中取任一标准正交基 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _m)$，如定理 1 中找出 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的过程一样，可知对 $\forall \boldsymbol{\mathbf{w}} \in V$，矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $:

正交于 $L$，即 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} $，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} =\sum_{i=1}^m( \boldsymbol{\mathbf{w}} | \boldsymbol{\mathbf{e}} _i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in L$，而 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in L^{\perp}$，亦即 $V=L+L^{\perp}$。

　　 要证 $V=L\oplus L^{\perp}$，只需证 $L\cap L^{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{0}} $。设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in L\cap L^{\perp}$，则 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} |L)=0$，又 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in L$，于是 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0$，由内积的正定性，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，从而 $V=L\oplus L^{\perp}$。

　　 任意 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} \in L^{\perp\perp}$，由 $V=L\oplus L^{\perp}$，有 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \in L, \boldsymbol{\mathbf{v}} \in L^{\perp})$，于是 $( \boldsymbol{\mathbf{w}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )= \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rVert ^2=0$，故 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} \in L$，于是 $L^{\perp\perp}\subset L$。其次，由 $L^{\perp\perp}=(L^{\perp})^{\perp}$，而 $(L|L^{\perp})=0$，从而 $L\subset L^{\perp\perp}$。于是 $L^{\perp\perp}=L$。

　　 证毕！

2. 欧几里得矢量空间的同构

　　 证明： 取 $V,V'$ 的标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i\}$ 和 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i\}$。则映射：

显然是个线性的双射²。并且由于选取的基底皆为标准正交基，所以内积 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 和 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} '| \boldsymbol{\mathbf{y}} ')'$ 都按同一公式进行。

　　 证毕!

　　 若固定矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则映射

是 $V$ 上的线性映射，即 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} |*)\in V^*$³。

　　 证明：$\varphi$ 是线性的：

因为 所以 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )=0\Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，故 $\mathrm{Ker}\,\varphi= \boldsymbol{\mathbf{0}} $，于是 $\varphi$ 为单射。

　　 $V^*$ 上任意元素必可由 $V^*$ 的基底线性表示，故若 $V^*$ 的任一基底都有 $V$ 的元与之对应，则 $\varphi$ 为满射。特别地

因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n$ 是标准正交基底，所以 于是有 $\varphi_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i}=e^i$。这就证明了满射性。进而，$\varphi$ 是双射。显然，定义 $\varphi$ 的过程并没有选择特定的基底，即 $\varphi$ 是矢量空间 $V$ 到 $V^*$ 自然同构。

　　 证毕！

　　 由于同构的双方可认为是同一事物的不同表现形式，这意味着，欧几里得矢量空间中每一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 都可看成是一个线性函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} :V\rightarrow\mathbb{R}$。（即把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 看成 $V$ 的线性函数时，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相当于 $\varphi_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }=( \boldsymbol{\mathbf{v}} |*)$）。

3. 正交群

　　 设 $( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n)$ 和 $( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_n)$ 是矢量空间 $V$ 的不同标准正交基底。设 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i$ 到 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i$ 的转换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} =(a_{ij})$，即

由于 所以 从而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1}$。而 $ \boldsymbol{\mathbf{AA}} ^{-1}= \boldsymbol{\mathbf{E}} $，故又有

　　 这就是说，两个标准正交基之间的转换矩阵为正交矩阵。反过来，设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是正交矩阵，那么由标准正交基底 $( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n)$ 按式 15 得到的矢量组也是标准正交基底，即下面定理成立

　　 设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 是两正交矩阵，则 $ \boldsymbol{\mathbf{(AB)}} ^T \boldsymbol{\mathbf{(AB)}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ^T \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T \boldsymbol{\mathbf{AB}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} $（几何意义就是将一个标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i\}$ 通过 $B$ 转换到另一标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i\}$，再将 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i\}$ 通过 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 转到另一标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} ''_i\}$），即正交矩阵的矩阵乘法也是正交矩阵（封闭性）。由于矩阵乘法满足结合律，并且 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有逆元 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T$，且 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 也是正交矩阵，所以 $O(n)$ 构成一个群。

　　 由式 15

其中 $\theta_{ij}$ 是基底矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i$ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j$ 的夹角。这便是正交矩阵元的几何解释。由正交矩阵的定义式 17 ，显然，所有正交矩阵行列式为 1 或 -1。

---

1. ^ 柯斯特利金，代数学引论，第二卷。
2. ^ 若线性的双射 $f$ 将矢量空间 $V$ 映到矢量空间 $W$，则 $f$ 就称为 $V$ 到 $W$ 的同构映射，而称 $V$ 和 $W$ 同构。
3. ^ $V^*$ 即 $V$ 的对偶空间。
4. ^ 即该同构不依赖于基的选择