欧几里得矢量空间的正交化、同构及正交群

                     

贡献者: 零穹

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  • 需说明欧几里得矢量空间和 $\mathbb{R}^n$ 的关系.
预备知识 欧几里得矢量空间

  1对欧几里得矢量空间 $V$(定义 1 ),其上任一基底都可正交标准化,而空间 $V$ 上的对称双线性型 $(*|*)$ 实际上给出了 $V$ 中的度量性质,即长度(定义 2 )和夹角(定义 3 ),这意味着就度量性质来说,欧几里得矢量空间 $V$ 和 $\mathbb{R}^n$ 没有差别.由于标准正交基底的重要作用,往往要研究不同标准正交基底之间的转换关系,即两基底对应的过渡矩阵(或转换矩阵),与两标准正交基底对应的过渡矩阵称为正交矩阵,它们将构成一个群,称之正交群.

1. 正交化过程

定理 1 标准正交化过程

   设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _m\}$ 是 $n$ 维欧几里得矢量空间 $V$ 中的一组 $m$ 个线性无关的矢量.那么,存在一个标准正交矢量组 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_m\}$,使得线性包络(或称张成空间定义 1

\begin{equation} L_i=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\rangle \end{equation}
\begin{equation} L'_i=\langle \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i\rangle \end{equation}
当 $i=1,\cdots,m$ 时都重合,$m\leq n$.

   证明:令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1=\lambda \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\;\lambda= \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{e}} _1 \right\rVert ^{-1}$,则 $L_1=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1\rangle=\langle \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1\rangle=L'_1$ 显然成立,即 $m=1$ 的情形.

   设当 $1\leq k < m$ 时,已构造出所需的矢量组 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_k\}$,使得 $L_1=L'_i,\;i=1,\cdots,k$.我们来找出 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_{k+1}$.

   首先,矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}$ 不包含在 $L_k=L'_k$ 中(否则,$ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}$ 可用 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _k$ 线性表示).令

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\lambda_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i \end{equation}
而 $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ 是任意纯量(显然 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \neq \boldsymbol{\mathbf{0}} $).于是
\begin{equation} L_{k+1}=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _k, \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}\rangle=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _k, \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle \end{equation}
如果 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \perp L'_k$,那么便找到了 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_{k+1}=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }{ \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rVert }$.而做到这一点的充要条件是,对任意 $j=1,\cdots,k$,成立
\begin{equation} \begin{aligned} &0= \left( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j \right) = \left( \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j \right) - \left(\sum_{i=1}^k\lambda_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j \right) \\ &= \left( \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j \right) -\sum_{i=1}^k\lambda_i( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j)= \left( \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j \right) -\lambda_j \end{aligned} \end{equation}
故只需取 $\lambda_j= \left( \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k+1}| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j \right) $ 即可.于是,便得到了标准正交组 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_k$,且 $L_{k+1}=L'_{k+1}$.

   由数学归纳法,定理得证

定理 2 

   设 $L$ 是有限维欧几里得矢量空间 $V$ 的一个子空间,$L^{\perp}$ 是它的正交补,那么

\begin{equation} V=L\oplus L^{\perp},\quad L^{\perp\perp}=L. \end{equation}

   证明:在 $L$ 中取任一标准正交基 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _m)$,如定理 1 中找出 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的过程一样,可知对 $\forall \boldsymbol{\mathbf{w}} \in V$,矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{w}} -\sum_{i=1}^m( \boldsymbol{\mathbf{w}} | \boldsymbol{\mathbf{e}} _i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i \end{equation}
正交于 $L$,即 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} $,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} =\sum_{i=1}^m( \boldsymbol{\mathbf{w}} | \boldsymbol{\mathbf{e}} _i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in L$,而 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in L^{\perp}$,亦即 $V=L+L^{\perp}$.

   要证 $V=L\oplus L^{\perp}$,只需证 $L\cap L^{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{0}} $.设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in L\cap L^{\perp}$,则 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} |L)=0$,又 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in L$,于是 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0$,由内积的正定性,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,从而 $V=L\oplus L^{\perp}$.

   任意 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} \in L^{\perp\perp}$,由 $V=L\oplus L^{\perp}$,有 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \in L, \boldsymbol{\mathbf{v}} \in L^{\perp})$,于是 $( \boldsymbol{\mathbf{w}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )= \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rVert ^2=0$,故 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} \in L$,于是 $L^{\perp\perp}\subset L$.其次,由 $L^{\perp\perp}=(L^{\perp})^{\perp}$,而 $(L|L^{\perp})=0$,从而 $L\subset L^{\perp\perp}$.于是 $L^{\perp\perp}=L$.

   证毕!

2. 欧几里得矢量空间的同构

定理 3 

   任意两个维数相同的欧几里得矢量空间 $V,V'$ 都是同构的.即存在矢量空间的同构映射 $f:V\rightarrow V'$,它还保持内积:

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )=(f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )|f( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))' \end{equation}
其中,$(*|*)'$ 是 $V'$ 上的内积.

   证明: 取 $V,V'$ 的标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i\}$ 和 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i\}$.则映射:

\begin{equation} f: \boldsymbol{\mathbf{x}} =\sum_{i=1}^{n}x_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i\mapsto \boldsymbol{\mathbf{x}} '=\sum_{i=1}^{n}x_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i \end{equation}
显然是个线性的双射2.并且由于选取的基底皆为标准正交基,所以内积 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 和 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} '| \boldsymbol{\mathbf{y}} ')'$ 都按同一公式进行.

   证毕!

   若固定矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则映射

\begin{equation} \varphi_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }=( \boldsymbol{\mathbf{v}} |*):V\rightarrow\mathbb{R} \end{equation}
是 $V$ 上的线性映射,即 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} |*)\in V^*$3

定理 4 

   映射 $\varphi: \boldsymbol{\mathbf{v}} \mapsto ( \boldsymbol{\mathbf{v}} |*)=\varphi_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }$ 是矢量空间 $V$ 到 $V^*$ 的自然同构4.在此同构下,$V$ 的基底 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n$ 被映射到 $V^*$ 中与其对偶的基底 $e^1,\cdots,e^n$,即 $\varphi_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e_i}}} }=e^i$.

   证明:$\varphi$ 是线性的:

\begin{equation} \varphi_{(\alpha \boldsymbol{\mathbf{u}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{v}} )}=(\alpha \boldsymbol{\mathbf{u}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{v}} |*)=\alpha( \boldsymbol{\mathbf{u}} |*)+\beta( \boldsymbol{\mathbf{v}} |*)=\alpha\varphi_{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }+\beta\varphi_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }. \end{equation}
因为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} \in \mathrm{Ker}\,\varphi\Rightarrow( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0,\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V \end{equation}
所以 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )=0\Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,故 $\mathrm{Ker}\,\varphi= \boldsymbol{\mathbf{0}} $,于是 $\varphi$ 为单射.

   $V^*$ 上任意元素必可由 $V^*$ 的基底线性表示,故若 $V^*$ 的任一基底都有 $V$ 的元与之对应,则 $\varphi$ 为满射.特别地

\begin{equation} \varphi_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i}=( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i|*)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}e^j \end{equation}
因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n$ 是标准正交基底,所以
\begin{equation} a_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}e^k( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j)=( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j)=\delta_{ij} \end{equation}
于是有 $\varphi_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i}=e^i$.这就证明了满射性.进而,$\varphi$ 是双射.显然,定义 $\varphi$ 的过程并没有选择特定的基底,即 $\varphi$ 是矢量空间 $V$ 到 $V^*$ 自然同构.

   证毕!

   由于同构的双方可认为是同一事物的不同表现形式,这意味着,欧几里得矢量空间中每一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 都可看成是一个线性函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} :V\rightarrow\mathbb{R}$.(即把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 看成 $V$ 的线性函数时,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相当于 $\varphi_{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }=( \boldsymbol{\mathbf{v}} |*)$).

3. 正交群

   设 $( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n)$ 和 $( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_n)$ 是矢量空间 $V$ 的不同标准正交基底.设 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i$ 到 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i$ 的转换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} =(a_{ij})$,即

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j=\sum_{i=1}^n a_{ij} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i \end{equation}
由于
\begin{equation} \begin{aligned} \delta_{ij}&=( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j)= \left(\sum_{k=1}^n a_{ki} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _k|\sum_{l=1}^n a_{lj} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _l \right) =\sum_{k,l}a_{ki}a_{lj}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _k| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _l)\\ &=\sum_{k}a_{ki}a_{kj} \end{aligned} \end{equation}
所以
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} . \end{equation}
从而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1}$.而 $ \boldsymbol{\mathbf{AA}} ^{-1}= \boldsymbol{\mathbf{E}} $,故又有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{AA}} ^T= \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}

定义 1 正交矩阵

   满足式 17 式 18 的任一矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 称为正交矩阵.所有 $n$ 阶正交矩阵的集合记为 $O(n)$.

   这就是说,两个标准正交基之间的转换矩阵为正交矩阵.反过来,设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是正交矩阵,那么由标准正交基底 $( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1,\cdots, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _n)$ 按式 15 得到的矢量组也是标准正交基底,即下面定理成立

定理 5 

   由一个标准正交基底到另一个标准正交基底的转换矩阵是正交矩阵,而且,所有正交矩阵都可以是这种转换矩阵.

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 是两正交矩阵,则 $ \boldsymbol{\mathbf{(AB)}} ^T \boldsymbol{\mathbf{(AB)}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ^T \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T \boldsymbol{\mathbf{AB}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} $(几何意义就是将一个标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i\}$ 通过 $B$ 转换到另一标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i\}$,再将 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_i\}$ 通过 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 转到另一标准正交基底 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} ''_i\}$),即正交矩阵的矩阵乘法也是正交矩阵(封闭性).由于矩阵乘法满足结合律,并且 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有逆元 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T$,且 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 也是正交矩阵,所以 $O(n)$ 构成一个群

定义 2 正交群

   所有正交矩阵构成的集合 $O(n)$ 称为正交群

   由式 15

\begin{equation} a_{ij}=( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i| \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j)=\cos{\theta_{ij}} \end{equation}
其中 $\theta_{ij}$ 是基底矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i$ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} '_j$ 的夹角.这便是正交矩阵元的几何解释.由正交矩阵的定义式 17 ,显然,所有正交矩阵行列式为 1 或 -1.


1. ^ 柯斯特利金,代数学引论,第二卷.
2. ^ 若线性的双射 $f$ 将矢量空间 $V$ 映到矢量空间 $W$,则 $f$ 就称为 $V$ 到 $W$ 的同构映射,而称 $V$ 和 $W$ 同构.
3. ^ $V^*$ 即 $V$ 的对偶空间.
4. ^ 即该同构不依赖于基的选择


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