幂级数(简明微积分)

                     

贡献者: addis; Giacomo

预备知识 级数(简明微积分)

   我们把形如

\begin{equation} f(x) = c_0 + c_1 (x - x_0)^1 + \dots = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n \end{equation}
的函数叫做幂级数(power series).其中 $(x - x_0)^0$ 始终视为 $1$,即使取 $x = x_0$.

   幂级数是无穷级数的一种,是一个极限.如果我们把前有限项的求和记为

\begin{equation} f_m(x) = \sum_{n=0}^m c_n (x-x_0)^n \end{equation}
那么幂级数式 1 就是极限
\begin{equation} f(x) = \lim_{m\to\infty} f_m(x) \end{equation}
的简写.对给定的 $x$,当极限存在时,我们就说级数收敛(converge),反之就说级数不收敛发散(diverge).幂级数可以定义在复数域上,即 $c_n, x, x_0$ 都可以取复数值.

1. 收敛半径

   一种极端的情况是幂级数式 1 只在 $x = x_0$ 一点处收敛(例如 $c_n = n^n$).除此之外,必定存在一个收敛半径(radius of convergence) $0 \leq r \leq +\infty$,使得当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < r$ 时幂级数总是收敛,当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert > r$ 时幂级数总是发散(不收敛),当 $ \left\lvert x - x_0 \right\rvert = r$ 时幂级数可能收敛也可能不收敛;当 $r = 0$ 时,幂级数只在 $x_0$ 处收敛,当 $r = + \infty$,幂级数在整个 $\mathbb{R}$(或者 $\mathbb{C}$)上收敛.当 $x$ 是复数时,复平面上收敛的区域就是以 $x_0$ 为圆心的一个圆盘.

   计算收敛半径的一种简单方法是使用比值判别法

\begin{equation} r = \lim_{n \to \infty} \left\lvert \frac{c_n}{c_{n+1}} \right\rvert \end{equation}
但前提是该极限存在,普适的方法见柯西—阿达玛公式

2. 例子

例 1 

  • $f(x) = e^x = \sum {1 \over n!} x^n$,收敛半径为正无穷,它定义在整个复平面上;
  • $f(x) = {1 \over 1 - x} = \sum x^n$,收敛半径为 $1$;
  • $f(x) = \sum n^n x^n$,收敛半径为 $0$;

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利