幂级数(极简微积分)

                     

贡献者: addis; Giacomo

预备知识 级数(简明微积分)

   我们把形如

\begin{equation} f(x) = c_0 + c_1 (x - x_0)^1 + \dots = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n~. \end{equation}
的函数叫做幂级数(power series)。其中 $(x - x_0)^0$ 始终视为 $1$,即使取 $x = x_0$。

   幂级数是无穷级数的一种,是一个极限。如果我们把前有限项的求和记为

\begin{equation} f_m(x) = \sum_{n=0}^m c_n (x-x_0)^n~. \end{equation}
那么幂级数式 1 就是极限
\begin{equation} f(x) = \lim_{m\to\infty} f_m(x)~. \end{equation}
的简写。对给定的 $x$,当极限存在时,我们就说级数收敛(converge),反之就说级数不收敛发散(diverge)。幂级数可以定义在复数域上,即 $c_n, x, x_0$ 都可以取复数值。

1. 收敛半径

   一种极端的情况是幂级数式 1 只在 $x = x_0$ 一点处收敛。除此之外,必定存在一个收敛半径(radius of convergence) $0 \leq r \leq +\infty$,使得当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < r$ 时幂级数总是收敛,当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert > r$ 时幂级数总是发散(不收敛),当 $ \left\lvert x - x_0 \right\rvert = r$ 时幂级数可能收敛也可能不收敛;当 $r = 0$ 时,幂级数只在 $x_0$ 处收敛,当 $r = + \infty$ 时,幂级数在整个 $\mathbb{R}$(或者 $\mathbb{C}$)上收敛。当 $x$ 是复数时,复平面上收敛的区域就是以 $x_0$ 为圆心的一个圆盘。

   计算收敛半径的一种简单方法是使用比值判别法

\begin{equation} r = \lim_{n \to \infty} \left\lvert \frac{c_n}{c_{n+1}} \right\rvert ~. \end{equation}
但前提是该极限存在,普适的方法见柯西—阿达玛公式

2. 例子

例 1 

  • $f(x) = e^x = \sum {1 \over n!} x^n$,收敛半径为正无穷,它定义在整个复平面上;
  • $f(x) = {1 \over 1 - x} = \sum x^n$,收敛半径为 $1$;
  • $f(x) = \sum n^n x^n$,收敛半径为 $0$;

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