幂级数

             

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预备知识 极限,复数

   我们把形如

\begin{equation} s = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n \end{equation}
的表达式叫做幂级数(power series).其中 $(x-x_0)^0$ 始终视为 $1$,即使 $x-x_0 = 0$.

   幂级数是无穷级数的一种,是一个极限.如果我们把前有限项的求和记为

\begin{equation} s_m = \sum_{n=0}^m c_n (x-x_0)^n \end{equation}
那么式 1 幂级数就是
\begin{equation} s = \lim_{m\to\infty} s_m \end{equation}
的简写.对给定的 $x$,当极限存在时,我们就说级数收敛(converge),反之就说级数不收敛发散(diverge).广义来说,幂级数中的 $c_n, x, x_0$ 都可以是复数复数

1. 收敛半径

   一种极端的情况是幂级数式 1 只在 $x = x_0$ 一点处收敛(例如 $c_n = n^n$).除此之外,必定存在一个收敛半径(radius of convergence) $0 < r < 1$,使得当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < r$ 时级数总是收敛,而 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert > r$ 时总是发散(不收敛).当 $x$ 是复数时,复平面上收敛的区域就是以 $x_0$ 为圆心的一个开圆盘.当 $ \left\lvert x - x_0 \right\rvert = r$ 时,幂级数可能收敛也可能不收敛.

   计算收敛半径的一种简单方法是使用比值判别法

\begin{equation} r = \lim_{n \to \infty} \left\lvert \frac{c_n}{c_{n+1}} \right\rvert \end{equation}
但前提是该极限存在,普适的方法见柯西—阿达玛公式

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