二次多项式与二次型

贡献者： addis

预备知识　二次型，正定矩阵（实数）

　　所有的 $N$ 元二次（齐次）多项式都可以表示为

\begin{matrix} (1) & P (x_{1}, \dots, x_{N}) = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a_{i, j} x_{i} x_{j} (a_{i, j}, x_{k} \in R), \end{matrix}

其中

a_{i, j}

是对称矩阵

A

的矩阵元。这是一个二次型在某组基底下的对称矩阵表示（

x^{T} A x

）。由于

x_{i} x_{j} = x_{j} x_{i}

，所以规定

A

为对称矩阵并不影响一般性，反而可以简化运算。

极值

　　要求二次多项式的极值，先求驻点：

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial}{\partial x_{i}} P (x_{1}, \dots, x_{N}) = 2 \sum_{j} a_{i j} x_{j} = 0 (i = 1, \dots, N) . \end{matrix}

所以这相当于解齐次线性方程组

\begin{matrix} (3) & A x = 0 . \end{matrix}

可见它的解集要么是

x = 0

一个点，要么是一个子空间（零空间）。

　　若矩阵 $A$ 是正定的，那么当 $x \neq 0$ 时 $x^{T} A x > 0$ ，即 $A x \neq 0$ ，可以马上得到只有 $x = 0$ 一点是齐次方程组的解，且该点是全局最小值，也是唯一一个极值点。若 $A$ 是负定的，那么同理 $x = 0$ 就是全局最大值。

1. 非齐次二次多项式的极值

\begin{matrix} (4) & P (x_{1}, \dots, x_{N}) = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a_{i, j} x_{i} x_{j} + \sum_{i = 1}^{N} b_{i} x_{i} + C . \end{matrix}

求驻点相当于求解非齐次方程组

\begin{matrix} (5) & A x = - b . \end{matrix}

当

A

是正定（负定）时，由于矩阵是满秩的，有且仅有一个解，这个点就是最小（最大）值。

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