半双线性形式
贡献者: addis; 零穹
1半双线性形式(sesquilinear form)是双线性映射的一个变形。它关于第一个变量是反线性(也叫共轭线性 conjugate linear)的,关于第二个变量是线性的。
定义 1
复数域上的线性空间 中,若映射 对任意 , 满足( 表示 的复共轭)
那么就说该映射是
半双线性的(sesquilinear)。
如果满足 ,就说它是对称的。
可以发现,若把式 1 中的共轭符号去掉,那么该定义就是双线性的定义(式 2 )。
任意半双线性形式 可以唯一地由 确定:
这叫做
极化恒等式(polarization identity)。这可以由定义直接证明。
和双线性函数(定义 2 )一样,半双线性形式也可以用矩阵表示,若两个 空间的基底分别为 和 (当然也可以使用同一组基底),那么表示为矩阵 后,矩阵元就是 ,且有
例 1 半双线性型对应矩阵在不同基底下的转换规则
和二次型同理,若半双线性形式 在不同基底下的矩阵分别为 和 ,即 ,,且任意 关于基底 的坐标列矢量为 ,关于基底 的坐标列矢量记为 。那么
令两组基底的变换矩阵为 ,即 ,,那么代入上式得
由于这对任意 都成立,所以对比得
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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