贡献者： addis; 零穹
1半双线性形式（sesquilinear form）是双线性映射的一个变形。它关于第一个变量是反线性（也叫共轭线性 conjugate linear）的，关于第二个变量是线性的。
定义 1
复数域上的线性空间 $V$ 中，若映射 $f:V\times V\to \mathbb C$ 对任意 $u, v, w\in V$，$a,b\in \mathbb C$ 满足（$a^*$ 表示 $a$ 的复共轭）
\begin{equation}
f(au+bv, w) = a^*f(u, w) + b^*f(v, w)~,
\end{equation}
\begin{equation}
f(u, av+bw) = af(u, v) + bf(u, w)~,
\end{equation}
那么就说该映射是
半双线性的（sesquilinear）。
如果满足 $f(u, v) = f(v, u)^*$，就说它是对称的。
可以发现，若把式 1 中的共轭符号去掉，那么该定义就是双线性的定义（式 2 ）。
任意半双线性形式 $f(u, v)$ 可以唯一地由 $g(v) = f(v, v)$ 确定：
\begin{equation}
f(u, v) =\frac{1}{2}[g(u+v)-g(u)-g(v)]
-\frac{ \mathrm{i} }{2}[g(u+ \mathrm{i} v)-g(u)-g( \mathrm{i} v)]~,
\end{equation}
这叫做
极化恒等式（polarization identity）。这可以由定义直接证明。
和双线性函数（定义 2 ）一样，半双线性形式也可以用矩阵表示，若两个 $V$ 空间的基底分别为 $\{e_i\}$ 和 $\{e'_i\}$（当然也可以使用同一组基底），那么表示为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 后，矩阵元就是 $F_{i,j} = f(e_i, e'_j)$，且有
\begin{equation}
f(u, v) = \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
例 1 半双线性型对应矩阵在不同基底下的转换规则
和二次型同理，若半双线性形式 $f(u, v)$ 在不同基底下的矩阵分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '$，即 $F_{i,j} = f(e_i, e_j)$，$F'_{i,j} = f(e'_i, e'_j)$，且任意 $u, v\in V$ 关于基底 $\{e_i\}$ 的坐标列矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} $，关于基底 $\{e'_i\}$ 的坐标列矢量记为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$。那么
\begin{equation}
f(u, v) = \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} '~.
\end{equation}
令两组基底的变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，即 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{u}} '$，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '$，那么代入上式得
\begin{equation}
f(u, v) = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} '~.
\end{equation}
由于这对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 都成立，所以对比得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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