半双线性形式

贡献者： addis; 零穹

本文处于草稿阶段。

　　¹半双线性形式（sesquilinear form）是双线性映射的一个变形。它关于第一个变量是反线性（也叫共轭线性 conjugate linear）的，关于第二个变量是线性的。

定义 1　

　　复数域上的线性空间 $V$ 中，若映射 $f : V \times V \to C$ 对任意 $u, v, w \in V$ ， $a, b \in C$ 满足（ $a^{*}$ 表示 $a$ 的复共轭）

\begin{matrix} (1) & f (a u + b v, w) = a^{*} f (u, w) + b^{*} f (v, w), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & f (u, a v + b w) = a f (u, v) + b f (u, w), \end{matrix}

那么就说该映射是半双线性的（sesquilinear）。

　　如果满足 $f (u, v) = f (v, u)^{*}$ ，就说它是对称的。

　　可以发现，若把式 1 中的共轭符号去掉，那么该定义就是双线性的定义（式 2 ）。

　　任意半双线性形式 $f (u, v)$ 可以唯一地由 $g (v) = f (v, v)$ 确定：

\begin{matrix} (3) & f (u, v) = \frac{1}{2} [g (u + v) - g (u) - g (v)] - \frac{i}{2} [g (u + i v) - g (u) - g (i v)], \end{matrix}

这叫做极化恒等式（polarization identity）。这可以由定义直接证明。

　　和双线性函数（定义 2 ）一样，半双线性形式也可以用矩阵表示，若两个 $V$ 空间的基底分别为 ${e_{i}}$ 和 ${e_{i}^{'}}$ （当然也可以使用同一组基底），那么表示为矩阵 $F$ 后，矩阵元就是 $F_{i, j} = f (e_{i}, e_{j}^{'})$ ，且有

\begin{matrix} (4) & f (u, v) = u^{†} F v . \end{matrix}

例 1　半双线性型对应矩阵在不同基底下的转换规则

　　和二次型同理，若半双线性形式 $f (u, v)$ 在不同基底下的矩阵分别为 $F$ 和 $F^{'}$ ，即 $F_{i, j} = f (e_{i}, e_{j})$ ， $F_{i, j}^{'} = f (e_{i}^{'}, e_{j}^{'})$ ，且任意 $u, v \in V$ 关于基底 ${e_{i}}$ 的坐标列矢量为 $u, v$ ，关于基底 ${e_{i}^{'}}$ 的坐标列矢量记为 $u^{'}, v^{'}$ 。那么

\begin{matrix} (5) & f (u, v) = u^{†} F v = {u^{'}}^{†} F^{'} v^{'} . \end{matrix}

令两组基底的变换矩阵为

A

，即

u = A u^{'}

，

v = A v^{'}

，那么代入上式得

\begin{matrix} (6) & f (u, v) = {u^{'}}^{†} (A^{†} F A) v^{'} = {u^{'}}^{†} F^{'} v^{'} . \end{matrix}

由于这对任意

u^{'}, v^{'}

都成立，所以对比得

\begin{matrix} (7) & F^{'} = A^{†} F A . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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半双线性形式

定义 1

例 1 半双线性型对应矩阵在不同基底下的转换规则

定义 1　

例 1　半双线性型对应矩阵在不同基底下的转换规则