半双线性形式

                     

贡献者: addis; 零穹

  • 本文处于草稿阶段。

  1半双线性形式(sesquilinear form)是双线性映射的一个变形。它关于第一个变量是反线性(也叫共轭线性 conjugate linear)的,关于第二个变量是线性的。

定义 1 

   复数域上的线性空间 V 中,若映射 f:V×VC 对任意 u,v,wVa,bC 满足(a 表示 a复共轭

(1)f(au+bv,w)=af(u,w)+bf(v,w) ,
(2)f(u,av+bw)=af(u,v)+bf(u,w) ,
那么就说该映射是半双线性的(sesquilinear)

   如果满足 f(u,v)=f(v,u),就说它是对称的

   可以发现,若把式 1 中的共轭符号去掉,那么该定义就是双线性的定义(式 2 )。

   任意半双线性形式 f(u,v) 可以唯一地由 g(v)=f(v,v) 确定:

(3)f(u,v)=12[g(u+v)g(u)g(v)]i2[g(u+iv)g(u)g(iv)] ,
这叫做极化恒等式(polarization identity)。这可以由定义直接证明。

   和双线性函数(定义 2 )一样,半双线性形式也可以用矩阵表示,若两个 V 空间的基底分别为 {ei}{ei}(当然也可以使用同一组基底),那么表示为矩阵 F 后,矩阵元就是 Fi,j=f(ei,ej),且有

(4)f(u,v)=uFv .

例 1 半双线性型对应矩阵在不同基底下的转换规则

   和二次型同理,若半双线性形式 f(u,v) 在不同基底下的矩阵分别为 FF,即 Fi,j=f(ei,ej)Fi,j=f(ei,ej),且任意 u,vV 关于基底 {ei} 的坐标列矢量为 u,v,关于基底 {ei} 的坐标列矢量记为 u,v。那么

(5)f(u,v)=uFv=uFv .
令两组基底的变换矩阵为 A,即 u=Auv=Av,那么代入上式得
(6)f(u,v)=u(AFA)v=uFv .
由于这对任意 u,v 都成立,所以对比得
(7)F=AFA .


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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