半双线性形式

                     

贡献者: addis; 零穹

  • 本词条处于草稿阶段.

  1半双线性形式(sesquilinear form)是双线性映射的一个变形.它关于第一个变量是反线性(也叫共轭线性 conjugate linear)的,关于第二个变量是线性的.

定义 1 

   复数域上的线性空间 $V$ 中,若映射 $f:V\times V\to \mathbb C$ 对任意 $u, v, w\in V$,$a,b\in \mathbb C$ 满足($a^*$ 表示 $a$ 的复共轭

\begin{equation} f(au+bv, w) = a^*f(u, w) + b^*f(v, w) \end{equation}
\begin{equation} f(u, av+bw) = af(u, v) + bf(u, w) \end{equation}
那么就说该映射是半双线性的(sesquilinear)

   如果满足 $f(u, v) = f(v, u)^*$,就说它是对称的

   可以发现,若把式 1 中的共轭符号去掉,那么该定义就是双线性的定义(式 2 ).

   任意半双线性形式 $f(u, v)$ 可以唯一地由 $g(v) = f(v, v)$ 确定:

\begin{equation} f(u, v) =\frac{1}{2}[g(u+v)-g(u)-g(v)] -\frac{ \mathrm{i} }{2}[g(u+ \mathrm{i} v)-g(u)-g( \mathrm{i} v)] \end{equation}
这叫做极化恒等式(polarization identity).这可以由定义直接证明.

   和双线性函数(定义 2 )一样,半双线性形式也可以用矩阵表示,若两个 $V$ 空间的基底分别为 $\{e_i\}$ 和 $\{e'_i\}$(当然也可以使用同一组基底),那么表示为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 后,矩阵元就是 $F_{i,j} = f(e_i, e'_j)$,且有

\begin{equation} f(u, v) = \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}

例 1 半双线性型对应矩阵在不同基底下的转换规则

   和二次型同理,若半双线性形式 $f(u, v)$ 在不同基底下的矩阵分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '$,即 $F_{i,j} = f(e_i, e_j)$,$F'_{i,j} = f(e'_i, e'_j)$,且任意 $u, v\in V$ 关于基底 $\{e_i\}$ 的坐标列矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} $,关于基底 $\{e'_i\}$ 的坐标列矢量记为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$.那么

\begin{equation} f(u, v) = \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} ' \end{equation}
令两组基底的变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,即 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{u}} '$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '$,那么代入上式得
\begin{equation} f(u, v) = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} ' \end{equation}
由于这对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 都成立,所以对比得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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