牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展

             

预备知识 散度 散度定理

   作为牛顿—莱布尼兹公式的一个高维拓展,有

\begin{equation} \int \boldsymbol\nabla f \,\mathrm{d}{V} = \oint f \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
该公式类似于散度定理,但被积函数变为标量而不是矢量.对于一维情况,该式就是牛顿—莱布尼兹公式.

   事实上梯度定理(式 17 )也可以看作是另一种拓展高维拓展.

证明

   我们可以对每个分量依次证明.两边乘以第 $i$ 个分量的单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 得

\begin{equation} \int \frac{\partial}{\partial{x_i}} f \,\mathrm{d}{V} = \oint (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
由散度定理得
\begin{equation} \oint (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \,\mathrm{d}{V} = \int \frac{\partial}{\partial{x_i}} f \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
证毕.

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