牛顿—莱布尼兹公式（矢量分析）
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作为牛顿—莱布尼兹公式的一个高维拓展，有
\begin{equation}
\int \boldsymbol\nabla f \,\mathrm{d}{V} = \oint f \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
该公式类似于
散度定理，但被积函数变为标量而不是矢量。对于一维情况，该式就是牛顿—莱布尼兹公式。
事实上梯度定理（式 17 ）也可以看作是另一种拓展高维拓展。
证明
我们可以对每个分量依次证明。两边乘以第 $i$ 个分量的单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 得
\begin{equation}
\int \frac{\partial}{\partial{x_i}} f \,\mathrm{d}{V} = \oint (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
由散度定理得
\begin{equation}
\oint (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \,\mathrm{d}{V} = \int \frac{\partial}{\partial{x_i}} f \,\mathrm{d}{V} ~,
\end{equation}
证毕。
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