泊松方程

             

预备知识 拉普拉斯方程

  1三维空间的泊松方程(Poisson's equation)可以记为

\begin{equation} \Delta u=f(x, y, z) \end{equation}
泊松方程可以看做是非齐次的拉普拉斯方程.

   泊松方程与时间无关,显然不适用冲量定理法.我们可以采用特解法.先不管边界条件,任取这泊松方程的一个特解 $v$,然后令 $u=v+w$.这就把问题转化为求解 $w$,而 $\Delta w=\Delta u-\Delta v=\Delta u-f=0$,这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程.在一定边界条件下求解拉普拉斯方程是我们之前研究过的问题.

例 1 

   在圆域 $\rho < \rho_0$ 上求解泊松方程的边值问题:

\begin{equation} \left\{\begin{array}{l}\Delta u=a+b\left(x^{2}-y^{2}\right) \\ \left.u\right|_{\rho=\rho_{0}}=c\end{array}\right. \end{equation}

   先设法找泊松方程的一个特解.显然 $\Delta (ax^2/2)=a, \Delta (ay^2/2)=a$,为了对称起见,取 $a(x^2+y^2)/4$.又 $\Delta (bx^4/12)=bx^2,\Delta (by^4/12)=by^2$.这样,找到一个特解

\begin{equation} \begin{array}{l}=\frac{a}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\frac{b}{12}\left(x^{4}-y^{4}\right)=\frac{a}{4} \rho^{2}+\frac{b}{12}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{2}-y^{2}\right) \\ =\frac{a}{4} \rho^{2}+\frac{b}{12} \rho^{4} \cos 2 \varphi\end{array} \end{equation}
\begin{equation} u=v+w=\frac{a}{4} \rho^{2}+\frac{b}{12} \rho^{4} \cos 2 \varphi+w \end{equation}
就把问题转化为 $w$ 的定解问题:
\begin{equation} \left\{\begin{array}{l}\Delta w=0 \\ \left.w\right|_{\rho=\rho_{0}}=c-\frac{a}{4} \rho_{0}^{2}-\frac{b}{12} \rho_{0}^{4} \cos 2 \varphi\end{array}\right. \end{equation}
在极坐标系中用分离变数法求解拉普拉斯方程,即
\begin{equation} \begin{aligned} w(\rho, \varphi)=& C_{0}+D_{0} \ln \rho+\sum_{m=1}^{\infty} \rho^{m}\left(A_{m} \cos m \varphi+B_{m} \sin m \varphi\right) \\ &+\sum_{i}^{\infty} \rho^{-m}\left(C_{m} \cos m \varphi+D_{m} \sin m \varphi\right) \end{aligned} \end{equation}
$w $ 在圆内应当处处有限.但上式的 $\ln \rho $ 和 $\rho^{-m}$ 在圆心为无限大,所以应当排除,就是说 $D_0=0,C_m=0,D_m=0$.于是,
\begin{equation} w(\rho, \varphi)=\sum_{m=0}^{\infty} \rho^{m}\left(A_{m} \cos m \varphi+B_{m} \sin ^{+} m \varphi\right) \end{equation}
把上式代入边界条件,
\begin{equation} \sum_{m=0}^{\infty} \rho_{0}^{m}\left(A_{m} \cos m \varphi+B_{m} \sin m \varphi\right)=c-\frac{a}{4} \rho_{0}^{2}-\frac{b}{12} \rho_{0}^{4} \cos 2 \varphi \end{equation}
比较两边系数,得
\begin{equation} A_{0}=c-\frac{a}{4} \rho_{0}^{2}, A_{2}=-\frac{b}{12} \rho_{0}^{2}, A_{m}=0(m \neq 0,2) ; B_{m}=0 \end{equation}
这样,所求解是
\begin{equation} u=v+w=c+\frac{a}{4}\left(\rho^{2}-\rho_{0}^{2}\right)+\frac{b}{12} \rho^{2}\left(\rho^{2}-\rho_{0}^{2}\right) \cos 2 \varphi \end{equation}

例 2 

   在矩形域 $0\leq x\leq a, 0\leq y\leq b$ 上求解泊松方程的边值问题

\begin{equation} \Delta_{2} u=-2 \end{equation}
\begin{equation} \left.u\right|_{x=0}=0,\left.u\right|_{x=a}=0 \end{equation}
\begin{equation} \left.u\right|_{y=0}=0,\left.u\right|_{y=b}=0 \end{equation}
先找泊松方程的一个特解 $v$,显然,$v=-x^2$ 满足 $\Delta v =-2$.其实,$v=-x^2+c_1x+c_2$($c_1$ 和 $c_2$ 是两个积分常数)也满足 $\Delta v = -2$.我们打算选择适当的 $c_1$ 和 $c_2$,使 $v$ 满足齐次边界条件式 12 .容易看出,$c_1=a,c_2 = 0$. 这样,
\begin{equation} v(x,y) = x(a-x) \end{equation}
\begin{equation} u(x,y)=v+w=x(a-x)+w(x,y) \end{equation}
把上式代入 $u$ 的定解问题,就把它转化为 $w $ 的定解问题
\begin{equation} \Delta w =0 \end{equation}
\begin{equation} \left.w\right|_{x=0}=0,\left.w\right|_{x=a}=0 \end{equation}
\begin{equation} \left.w\right|_{y=0}=x(x-a),\left.w\right|_{y=b}=x(x-a) \end{equation}
显然,满足式 16 式 17 的解可表为
\begin{equation} w(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} e^{\frac{n \pi y}{a}}+B_{n} e^{-\frac{n \pi y}{a}}\right) \sin \frac{n \pi x}{a} \end{equation}
为确定系数 $A_n$ 和 $B_n$,以式 19 代入边界条件式 18 ,有
\begin{equation} \begin{array}{l}\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n}+B_{n}\right) \sin \frac{n \pi x}{a}=x(x-a) \\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} \mathrm{e}^{\frac{n \pi b}{a}}+B_{n} \mathrm{e}^{-\frac{n \pi b}{a}}\right) \sin \frac{n \pi x}{a}=x(x-a)\end{array} \end{equation}
式 20 的右边也展为傅里叶正弦级数:
\begin{equation} x(x-a)=\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \sin \frac{n \pi x}{a} \end{equation}
其中
\begin{equation} C_{n}=\frac{2}{a} \int_{0}^{a}\left(x^{2}-a x\right) \sin \frac{n \pi x}{a} \mathrm{d} x=\frac{4 a^{2}}{n^{3} \pi^{3}}\left[(-1)^{n}-1\right] \end{equation}
式 21 代入式 20 的两边,比较两边的傅里叶系数,
\begin{equation} \begin{array}{c}A_{n}+B_{n}=C_{n} \\ A_{n} \mathrm{e}^{\frac{n \pi b}{a}}+B_{n} \mathrm{e}^{-\frac{n \pi b}{a}}=C_{n}\end{array} \end{equation}
由此可得
\begin{equation} \begin{aligned} A_n&=\frac{1-\text{e}^{-n\pi b/a}}{\text{e}^{n\pi b/a}-\text{e}^{-n\pi b/a}}C_n=\frac{\text{e}^{-n\pi b/2a}\left( \text{e}^{n\pi b/2a}-\text{e}^{-n\pi b/2a} \right)}{\text{e}^{n\pi b/a}-\text{e}^{-n\pi b/a}}\\ &=\frac{\text{e}^{-n\pi b/2a}}{\text{e}^{n\pi b/2a}+\text{e}^{-n\pi b/2a}}C_n=\frac{\text{e}^{-n\pi b/2a}}{\cosh \left( n\pi b/2a \right)}C_n\\ B_n&=\frac{\text{e}^{n\pi b/a}-1}{\text{e}^{n\pi b/a}-\text{e}^{-n\pi b/a}}C_n=\frac{\text{e}^{n\pi b/2a}\left( \text{e}^{n\pi b/2a}-\text{e}^{-n\pi b/2a} \right)}{\text{e}^{n\pi b/a}-\text{e}^{-n\pi b/a}}\\ &=\frac{\text{e}^{n\pi b/2a}}{\text{e}^{n\pi b/2a}+\text{e}^{-n\pi b/2a}}C_n=\frac{\text{e}^{n\pi b/2a}}{\cosh \left( n\pi b/2a \right)}C_n\\ \end{aligned} \end{equation}
于是代回式 19 成为
\begin{equation} w(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cosh [n \pi(y-b / 2) / a]}{ \cosh\left(n \pi b / 2 a\right) } C_{n} \sin \frac{n \pi x}{a} \end{equation}
我们又知道,对于 $n=2k(k=1,2,\ddots)$,$C_n=0$.对于 $n=2k-1(k=1,2,\ddots)$, $C_n=-8a^2/(2k-1)^3\pi^3$.这样,
\begin{equation} w(x, y)=-\frac{8 a^{2}}{\pi^{3}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cosh [(2 k-1) \pi(y-b / 2) / a]}{(2 k-1)^{3} \cosh [(2 k-1) \pi b / 2 a]} \sin \frac{(2 k-1) \pi x}{a} \end{equation}
把 $w(x,y)$ 加上 $x(x-a)$ 就是所求的 $u(x,y)$.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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