泊松方程

贡献者： addis

预备知识　拉普拉斯方程

　　¹三维空间的泊松方程（Poisson's equation）可以记为

\begin{matrix} (1) & Δ u = f (x, y, z), \end{matrix}

泊松方程可以看做是非齐次的拉普拉斯方程。

　　泊松方程与时间无关，显然不适用冲量定理法。我们可以采用特解法。先不管边界条件，任取这泊松方程的一个特解 $v$ ，然后令 $u = v + w$ 。这就把问题转化为求解 $w$ ，而 $Δ w = Δ u - Δ v = Δ u - f = 0$ ，这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。在一定边界条件下求解拉普拉斯方程是我们之前研究过的问题。

例 1　

　　在圆域 $ρ < ρ_{0}$ 上求解泊松方程的边值问题：

\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} Δ u = a + b (x^{2} - y^{2}) \\ {u |}_{ρ = ρ_{0}} = c . \end{cases} \end{matrix}

　　先设法找泊松方程的一个特解。显然 $Δ (a x^{2} / 2) = a, Δ (a y^{2} / 2) = a$ ，为了对称起见，取 $a (x^{2} + y^{2}) / 4$ 。又 $Δ (b x^{4} / 12) = b x^{2}, Δ (b y^{4} / 12) = b y^{2}$ 。这样，找到一个特解

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{l} = \frac{a}{4} (x^{2} + y^{2}) + \frac{b}{12} (x^{4} - y^{4}) = \frac{a}{4} ρ^{2} + \frac{b}{12} (x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2}) \\ = \frac{a}{4} ρ^{2} + \frac{b}{12} ρ^{4} \cos 2 φ, \end{array} \end{matrix}

令

\begin{matrix} (4) & u = v + w = \frac{a}{4} ρ^{2} + \frac{b}{12} ρ^{4} \cos 2 φ + w . \end{matrix}

就把问题转化为

w

的定解问题：

\begin{matrix} (5) & {\begin{cases} Δ w = 0 \\ {w |}_{ρ = ρ_{0}} = c - \frac{a}{4} ρ_{0}^{2} - \frac{b}{12} ρ_{0}^{4} \cos 2 φ . \end{cases} \end{matrix}

在极坐标系中用分离变数法求解拉普拉斯方程，即

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} w (ρ, φ) = & C_{0} + D_{0} \ln ρ + \sum_{m = 1}^{\infty} ρ^{m} (A_{m} \cos m φ + B_{m} \sin m φ) \\ + \sum_{i}^{\infty} ρ^{- m} (C_{m} \cos m φ + D_{m} \sin m φ) . \end{aligned} \end{matrix}

w

在圆内应当处处有限。但上式的

\ln ρ

和

ρ^{- m}

在圆心为无限大，所以应当排除，就是说

D_{0} = 0, C_{m} = 0, D_{m} = 0

。于是，

\begin{matrix} (7) & w (ρ, φ) = \sum_{m = 0}^{\infty} ρ^{m} (A_{m} \cos m φ + B_{m} \sin^{+} m φ) . \end{matrix}

把上式代入边界条件，

\begin{matrix} (8) & \sum_{m = 0}^{\infty} ρ_{0}^{m} (A_{m} \cos m φ + B_{m} \sin m φ) = c - \frac{a}{4} ρ_{0}^{2} - \frac{b}{12} ρ_{0}^{4} \cos 2 φ, \end{matrix}

比较两边系数，得

\begin{matrix} (9) & A_{0} = c - \frac{a}{4} ρ_{0}^{2}, A_{2} = - \frac{b}{12} ρ_{0}^{2}, A_{m} = 0 (m \neq 0, 2); B_{m} = 0 . \end{matrix}

这样，所求解是

\begin{matrix} (10) & u = v + w = c + \frac{a}{4} (ρ^{2} - ρ_{0}^{2}) + \frac{b}{12} ρ^{2} (ρ^{2} - ρ_{0}^{2}) \cos 2 φ . \end{matrix}

例 2　

　　在矩形域 $0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b$ 上求解泊松方程的边值问题

\begin{matrix} (11) & Δ_{2} u = - 2, \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & {u |}_{x = 0} = 0, {u |}_{x = a} = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & {u |}_{y = 0} = 0, {u |}_{y = b} = 0 . \end{matrix}

先找泊松方程的一个特解

v

，显然，

v = - x^{2}

满足

Δ v = - 2

。其实，

v = - x^{2} + c_{1} x + c_{2}

（

c_{1}

和

c_{2}

是两个积分常数）也满足

Δ v = - 2

。我们打算选择适当的

c_{1}

和

c_{2}

，使

v

满足齐次边界条件式 12 。容易看出，

c_{1} = a, c_{2} = 0

. 这样，

\begin{matrix} (14) & v (x, y) = x (a - x), \end{matrix}

令

\begin{matrix} (15) & u (x, y) = v + w = x (a - x) + w (x, y), \end{matrix}

把上式代入

u

的定解问题，就把它转化为

w

的定解问题

\begin{matrix} (16) & Δ w = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (17) & {w |}_{x = 0} = 0, {w |}_{x = a} = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (18) & {w |}_{y = 0} = x (x - a), {w |}_{y = b} = x (x - a) . \end{matrix}

显然，满足式 16 和式 17 的解可表为

\begin{matrix} (19) & w (x, y) = \sum_{n = 1}^{\infty} (A_{n} e^{\frac{n π y}{a}} + B_{n} e^{- \frac{n π y}{a}}) \sin \frac{n π x}{a} . \end{matrix}

为确定系数

A_{n}

和

B_{n}

，以式 19 代入边界条件式 18 ，有

\begin{matrix} (20) & \begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (A_{n} + B_{n}) \sin \frac{n π x}{a} = x (x - a), \\ \sum_{n = 1}^{\infty} (A_{n} e^{\frac{n π b}{a}} + B_{n} e^{- \frac{n π b}{a}}) \sin \frac{n π x}{a} = x (x - a) . \end{array} \end{matrix}

把式 20 的右边也展为傅里叶正弦级数：

\begin{matrix} (21) & x (x - a) = \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \sin \frac{n π x}{a} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (22) & C_{n} = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} (x^{2} - a x) \sin \frac{n π x}{a} d x = \frac{4 a^{2}}{n^{3} π^{3}} [(- 1)^{n} - 1], \end{matrix}

以式 21 代入式 20 的两边，比较两边的傅里叶系数，

\begin{matrix} (23) & \begin{matrix} A_{n} + B_{n} = C_{n}, \\ A_{n} e^{\frac{n π b}{a}} + B_{n} e^{- \frac{n π b}{a}} = C_{n} . \end{matrix} \end{matrix}

由此可得

\begin{matrix} (24) & \begin{aligned} A_{n} & = \frac{1 - e^{- n π b / a}}{e^{n π b / a} - e^{- n π b / a}} C_{n} = \frac{e^{- n π b / 2 a} (e^{n π b / 2 a} - e^{- n π b / 2 a})}{e^{n π b / a} - e^{- n π b / a}} \\ = \frac{e^{- n π b / 2 a}}{e^{n π b / 2 a} + e^{- n π b / 2 a}} C_{n} = \frac{e^{- n π b / 2 a}}{\cosh (n π b / 2 a)} C_{n} . \\ B_{n} & = \frac{e^{n π b / a} - 1}{e^{n π b / a} - e^{- n π b / a}} C_{n} = \frac{e^{n π b / 2 a} (e^{n π b / 2 a} - e^{- n π b / 2 a})}{e^{n π b / a} - e^{- n π b / a}} \\ = \frac{e^{n π b / 2 a}}{e^{n π b / 2 a} + e^{- n π b / 2 a}} C_{n} = \frac{e^{n π b / 2 a}}{\cosh (n π b / 2 a)} C_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

于是代回式 19 成为

\begin{matrix} (25) & w (x, y) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cosh [n π (y - b / 2) / a]}{\cosh (n π b / 2 a)} C_{n} \sin \frac{n π x}{a} . \end{matrix}

我们又知道，对于

n = 2 k (k = 1, 2, ⋱)

，

C_{n} = 0

。对于

n = 2 k - 1 (k = 1, 2, ⋱)

C_{n} = - 8 a^{2} / (2 k - 1)^{3} π^{3}

。这样，

\begin{matrix} (26) & w (x, y) = - \frac{8 a^{2}}{π^{3}} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh [(2 k - 1) π (y - b / 2) / a]}{(2 k - 1)^{3} \cosh [(2 k - 1) π b / 2 a]} \sin \frac{(2 k - 1) π x}{a}, \end{matrix}

把

w (x, y)

加上

x (x - a)

就是所求的

u (x, y)

。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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