复变函数的导数 柯西—黎曼条件

             

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预备知识 复变函数,全微分

定义 1 

   类似实函数的导数,定义复变函数 $w = f(z)$($f:\mathbb C\to \mathbb C$)的导数为

\begin{equation} f'(z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} \end{equation}
其中 $h$ 也是一个复数.极限 $h \to 0$ 在这里是指 $h$ 可以在复平面上以任意方式趋近于 $0$ 都得到同一个极限值,否则极限不存在.

   对于实变量的函数,只有正负两个方向趋于零,所以复变函数可导的条件更复杂.

定理 1 柯西—黎曼条件

   令 $z = x + y \mathrm{i} $ 且

\begin{equation} f(z) = u(x, y) + \mathrm{i} v(x, y) \end{equation}
那么 $f(z)$ 在该点可导的充分必要条件是:实函数 $u,v$ 在复平面的某点 $z$ 可微,且
\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \end{equation}
该式被称为柯西—黎曼条件(Cauchy-Riemann condition)

   可见若柯西—黎曼条件成立,函数 $u,v$ 的四个偏导数中只有两个是独立的.

   在复平面的一个开集(链接未完成)$D$ 上,如果函数 $f(z)$ 处处复可微,那么它就是一个全纯函数(holomorphic function)也叫做解析函数(analytical function);如果除了一些孤立点外处处复可微,就叫亚纯函数(meromorphic function)

推导

   根据全微分

\begin{equation} \,\mathrm{d}{w} = \,\mathrm{d}{u} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{v} = \left( \frac{\partial u}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial u}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \right) + \left( \frac{\partial v}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial v}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \right) \mathrm{i} \end{equation}
如果直接由此计算 $ \mathrm{d}{w}/\mathrm{d}{z} = ( \,\mathrm{d}{u} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{v} )/( \,\mathrm{d}{x} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{y} )$ 会发现结果和 $ \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $ 有关,即与式 1 中 $h$ 趋近于零点的方向有关.所以我们换一种思路,直接令导数为
\begin{equation} f'(z) = a(z) + b(z) \mathrm{i} \end{equation}
写成微分形式
\begin{equation} \,\mathrm{d}{w} = f'(z) \,\mathrm{d}{z} \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{u} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{v} = (a + b \mathrm{i} )( \,\mathrm{d}{x} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{y} ) = (a \,\mathrm{d}{x} - b \,\mathrm{d}{y} ) + \mathrm{i} (b \,\mathrm{d}{x} + a \,\mathrm{d}{y} ) \end{equation}
该式对比式 4
\begin{equation} a = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad b = - \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} \end{equation}
这样,不仅得到了柯西—黎曼条件,也得到了导数的表达式
\begin{equation} f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{i} = \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathrm{i} \end{equation}
可见我们仅需要 $u, v$ 中的一个就可以求出导数,因为它们并不是独立的.

  

未完成:举例子,例如 $\exp$, $z^a$ 等都满足柯西—黎曼

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