复变函数的导数、柯西—黎曼条件

                     

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预备知识 1 复变函数,复合函数的偏导、链式法则(多元微积分)全微分,复合命题(高中)

定义 1 

   类似实函数的导数,定义复变函数 w=f(z)f:CC)的导数为

(1)f(z)=limh0f(z+h)f(z)h .
其中 h 也是一个复数。极限 h0 在这里是指 h 可以在复平面上以任意方式趋近于 0 都得到同一个极限值,否则极限不存在。

   对于一元实函数 y=f(x)x 只能沿正负两个方向趋于零; 但对于复函数 w=f(z)=f(x+iy)z 可以沿复平面 xy 上的任意路径趋于零,因此复变函数可导的条件更复杂。这(式 1 )会让我们联想到二元函数的方向导数, 但由于式 1 中的除法是复数的除法,所以它比方向导数要更复杂一些。

   在复平面的一个开集 D 上,如果函数 f(z) 处处复可微,那么它就是一个全纯函数(holomorphic function)也叫做解析函数(analytical function);如果除了一些孤立点外处处复可微,就叫亚纯函数(meromorphic function)

1. 计算复函数的导数

2. 复函数的可导性

定理 1 柯西—黎曼条件

   令 z=x+yi

(3)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ,
那么 f(z) 在该点可导的充分必要条件是:实函数 u,v 在复平面的某点 z 可微,且
(4)ux=vy ,uy=vx .
该式被称为柯西—黎曼条件(Cauchy-Riemann condition),有时简称 C-R 条件。

例 1 指数函数 w=ez 的可导性

预备知识 2 指数函数(复数)

   w=ez=ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny)  u=excosy,v=exsiny  ux=excosyuy=exsinyvx=exsinyvy=excosy  可见

(5)ux=vy=excosyuy=vx=exsiny .
又由于 u,v 均可微,因此 w=ez 可导。

   若柯西—黎曼条件成立、复函数可导,函数 u,v 的四个偏导数中只有两个是独立的;函数的 u,v 间也存在某种关联,可以由 u 求出 v,或由 v 求出 u(存在待定系数)。

推导必要性

   其实复变函数并没有什么神秘之处,我们完全可以把它看成两个二元函数,用已经熟悉的多元微积分来处理。根据全微分

(6)dw=du+idv=(uxdx+uydy)+(vxdx+vydy)i .
该式告诉我们 z 在复平面上朝着某方向 dz=dx+idy 移动一小步,函数值 w 会如何变化。既然要求各个方向的 “方向导数” 都相等,我们不妨先考虑两个最简单的方向即 x 方向和 y 方向。当式 1 hx 方向移动时,令式中 dy=0,即 dz=dx,有
(7)dwdz=uxdx+ivxdxdx=ux+ivx .
同理,当 hy 方向移动时,令式中 dx=0,即 dz=idy,有
(8)dwdz=uydy+ivydyidy=vyiuy .
令以上两式相等,即实部虚部分别相等,就得到柯西黎曼条件式 4

   注意我们只通过两个方向的 “方向导数” 相等就得到了柯西黎曼条件,所以这只能说明柯西黎曼条件是可导的必要条件。下面会用更一般的方法说明它是充分必要条件。

推导充分必要性

   如果直接由式 6 计算 dw/dz=(du+idv)/(dx+idy) 会发现结果和 dy/dx 有关,即与式 1 h 趋近于零点的方向有关。所以我们换一种思路,先假设导数存在,那么导数函数总可以表示为

(9)f(z)=a(z)+b(z)i .
写成微分形式
(10)dw=f(z)dz .
注意 dz 无论取什么方向上式都成立。拆分实部虚部得
(11)dw=du+idv=(a+bi)(dx+idy)=(adxbdy)+(bdx+ady)i .
所以如果 f(z) 存在(与方向无关的)导数,式 6 必然具有式 11 的形式,二者对比可得
(12)a(z)=ux=vy,b(z)=uy=vx .
这样,不仅得到了柯西—黎曼条件,也得到了导数的表达式
(13)f(z)=uxuyi=vy+vxi .
可见我们仅需要 u,v 中的一个就可以求出导数,因为它们在柯西—黎曼条件下并不是独立的。

  

未完成:举例子,例如 exp, za 等都满足柯西—黎曼


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