复变函数的导数、柯西—黎曼条件
贡献者: addis; ACertainUser
预备知识 1 复变函数
,复合函数的偏导、链式法则(多元微积分)
,
全微分,复合命题(高中)
定义 1
类似实函数的导数,定义复变函数 ()的导数为
其中 也是一个复数。极限 在这里是指 可以在复平面上以任意方式趋近于 都得到同一个极限值,否则极限不存在。
对于一元实函数 , 只能沿正负两个方向趋于零; 但对于复函数 , 可以沿复平面 上的任意路径趋于零,因此复变函数可导的条件更复杂。这(式 1 )会让我们联想到二元函数的方向导数, 但由于式 1 中的除法是复数的除法,所以它比方向导数要更复杂一些。
在复平面的一个开集 上,如果函数 处处复可微,那么它就是一个全纯函数(holomorphic function)也叫做解析函数(analytical function);如果除了一些孤立点外处处复可微,就叫亚纯函数(meromorphic function)。
1. 计算复函数的导数
- 若写为 形式,则求导法则、方式完全类似于一元实函数。例如 .
- 若写为 形式,则由柯西—黎曼条件(子节 2 )
2. 复函数的可导性
定理 1 柯西—黎曼条件
令 且
那么 在该点可导的充分必要条件是:实函数 在复平面的某点 可微,且
该式被称为
柯西—黎曼条件(Cauchy-Riemann condition),有时简称 C-R 条件。
例 1 指数函数 的可导性
可见
又由于 u,v 均可微,因此 可导。
若柯西—黎曼条件成立、复函数可导,函数 的四个偏导数中只有两个是独立的;函数的 间也存在某种关联,可以由 求出 ,或由 求出 (存在待定系数)。
推导必要性
其实复变函数并没有什么神秘之处,我们完全可以把它看成两个二元函数,用已经熟悉的多元微积分来处理。根据全微分
该式告诉我们 在复平面上朝着某方向 移动一小步,函数值 会如何变化。既然要求各个方向的 “方向导数” 都相等,我们不妨先考虑两个最简单的方向即 方向和 方向。当
式 1 中 延 方向移动时,令式中 ,即 ,有
同理,当 延 方向移动时,令式中 ,即 ,有
令以上两式相等,即实部虚部分别相等,就得到柯西黎曼条件
式 4 。
注意我们只通过两个方向的 “方向导数” 相等就得到了柯西黎曼条件,所以这只能说明柯西黎曼条件是可导的必要条件。下面会用更一般的方法说明它是充分必要条件。
推导充分必要性
如果直接由式 6 计算 会发现结果和 有关,即与式 1 中 趋近于零点的方向有关。所以我们换一种思路,先假设导数存在,那么导数函数总可以表示为
写成微分形式
注意 无论取什么方向上式都成立。拆分实部虚部得
所以如果 存在(与方向无关的)导数,
式 6 必然具有
式 11 的形式,二者对比可得
这样,不仅得到了柯西—黎曼条件,也得到了导数的表达式
可见我们仅需要 中的一个就可以求出导数,因为它们在柯西—黎曼条件下并不是独立的。
未完成:举例子,例如 , 等都满足柯西—黎曼
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