解析函数与散度旋度

贡献者：待更新

预备知识　复变函数的导数柯西—黎曼条件

　　解析函数和矢量分析有紧密的关联，如果把复平面对应到 $x$ - $y$ 直角坐标系，那么 $f (z)$ 的实部和虚部 $u (z), v (z)$ 看作矢量的 $x, y$ 分量，那么 $f (z)$ 就定义了一个复平面上的矢量场

\begin{matrix} (1) & f (x, y) = u (x, y) \hat{x} + v (x, y) \hat{y}, \end{matrix}

而

f (z)

的复共轭

f^{*} (z)

对应的二维矢量场为

\begin{matrix} (2) & g (x, y) = u (x, y) \hat{x} - v (x, y) \hat{y} . \end{matrix}

定理 1　

　　函数 $f : C \to C$ 在某区域解析的充分必要条件是： $g (x, y)$ 是二维调和场，即散度和旋度都为零。

　　证明留做习题。由于 $g$ 的旋度为零，必定存在势函数 $ϕ$ ，使

\begin{matrix} (3) & u = \frac{\partial ϕ}{\partial x} - v = \frac{\partial ϕ}{\partial y}, \end{matrix}

且满足

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} ϕ = 0 . \end{matrix}

即

g

必定可以表示为调和函数的梯度。

　　我们再来看 $i f^{*} (z)$ 代表的矢量场 $h (x, y)$ 。

\begin{matrix} (5) & i f^{*} (z) = i (u - v i) = v + u i, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (6) & h (x, y) = v (x, y) \hat{x} + u (x, y) \hat{y} . \end{matrix}

由柯西公式易得

\nabla \times h = 0

。

定理 2　

　　函数 $f : C \to C$ 在某区域解析的充分必要条件是： $g (x, y), h (x, y)$ 旋度都为零。

　　证明留做习题。

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