正交曲线坐标系中的矢量算符

                     

贡献者： addis

　　¹我们以三维正交曲线坐标系为例讨论。该坐标系中，位置矢量 $\mathbf{r}$ 是三个坐标 $u,v,w$ 的（矢量）函数。那么位置矢量的全微分为

根据正交曲线坐标系中单位矢量的定义（式 1 ），上式中三个偏微分分别指向 $\hat{\mathbf{u}},\hat{\mathbf{v}},\hat{\mathbf{w}}$ 方向，令他们的模长为 那么式 1 变为

　　

　　 令 $s(u,v,w)$ 和 $\mathbf{A}(u,v,w)$ 分别为一阶可微的标量函数和矢量函数，且

那么该坐标系中的梯度，散度，旋度和拉普拉斯算符 分别为

1. 梯度的推导

　　 球坐标和柱坐标的具体推导见子节 1 。由于正交曲线坐标系中任意一点处 $\hat{\mathbf{u}},\hat{\mathbf{v}},\hat{\mathbf{w}}$ 都互相垂直，所以求该点处梯度的方法和直角坐标系类似：求出三个方向的方向导数，并把他们作为梯度的三个分量。和直角坐标系不同的是，$u$ 坐标增加 $\mathrm{d}u$ 时，位矢 $\mathbf{r}$ 并不是沿 $\hat{\mathbf{u}}$ 移动 $\mathrm{d}u$ 而是移动 $f\mathrm{d}u$，所以 $\hat{\mathbf{u}}$ 方向的方向导数是 $(\partial s/\partial u)/f$。

　　 当然这只是粗略的推导，我们也可以直接把式 3 乘以式 5 得

这符合梯度的定义（式 5 ）。

2. 散度的推导

　　 一种幼稚的想法是：类比上面梯度的推导，根据直角坐标系中的散度公式（式 7 ）得

这是错误的，因为在直角坐标系的推导过程中，我们假设小长方体的相对两个面的表面积完全相等，而在正交曲线坐标系中这不成立。例如球坐标中的体积元 $r\mathrm{d}r\cdot r\mathrm{d}\theta \cdot r\sin \theta \mathrm{d}\varphi$ 中，垂直于 $\hat{\mathbf{r}}$ 的两个面的表面积为 $r\mathrm{d}\theta \cdot r\sin \theta \mathrm{d}\varphi$，显然与 $r$ 有关，即对 $r$ 求导不为零。

　　 所以我们重新按照直角坐标系的推导过程再推导一次，只不过这回考虑上表面积的变化：体积元的体积为 $f\mathrm{d}u\cdot g\mathrm{d}v\cdot h\mathrm{d}w$，三个方向的表面积分别为 $g\mathrm{d}v\cdot h\mathrm{d}w$，$h\mathrm{d}w\cdot f\mathrm{d}u$，$f\mathrm{d}u\cdot g\mathrm{d}v$。 $A_u$ 在两个与 $\hat{\mathbf{u}}$ 垂直的表面上的通量为

同理，总通量为 最后除以体积元的体积，就得到式 6 。

3. 旋度和拉普拉斯算子的推导

　　 旋度的推导同样不能直接把直角坐标系公式（式 9 ）中的偏微分替换为方向导数。原因和散度的推导一样：在正交曲线坐标系中取一个小四边形，同样无法保证相对的两条边的边长完全相等。同样地，在直角坐标系中的推导过程中考虑边长的变化，就可以得到式 7 。

　　 拉普拉斯算符 ${\mathbf{\nabla }}^{2}s$ 可以看作梯度的散度 $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }(\mathbf{\nabla }s)$。把式 5 代入式 6 即可。

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1. ^ 参考 [1] 附录。

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[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed