正交曲线坐标系中的矢量算符

             

预备知识 正交曲线坐标系中的重积分,旋度,拉普拉斯算符

  1我们以三维正交曲线坐标系为例讨论.该坐标系中,位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是三个坐标 $u, v, w$ 的(矢量)函数.那么位置矢量的全微分

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial u} \,\mathrm{d}{u} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial v} \,\mathrm{d}{v} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial w} \,\mathrm{d}{w} \end{equation}
根据正交曲线坐标系中单位矢量的定义(式 1 ),上式中三个偏微分分别指向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} $ 方向,令他们的模长为
\begin{equation} f(u,v,w) = \left\lvert \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial u} \right\rvert \qquad g(u,v,w) = \left\lvert \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial v} \right\rvert \qquad h(u,v,w) = \left\lvert \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial w} \right\rvert \end{equation}
那么式 1 变为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = f \,\mathrm{d}{u} \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} + g \,\mathrm{d}{v} \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} + h \,\mathrm{d}{w} \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} \end{equation}

  

未完成:以上内容应该移动到 “正交曲线坐标系” 中,因为 “正交曲线坐标系中的重积分” 也需要使用.

   令 $s(u, v, w)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} (u, v, w)$ 分别为一阶可微的标量函数和矢量函数,且

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} (u, v, w) = A_x(u, v, w) \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} + A_y(u, v, w) \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} + A_z(u, v, w) \hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} \end{equation}
那么该坐标系中的梯度,散度,旋度和拉普拉斯算符 分别为
\begin{equation} \boldsymbol\nabla s = \frac{1}{f} \frac{\partial s}{\partial u} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} + \frac{1}{g} \frac{\partial s}{\partial v} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} + \frac{1}{h} \frac{\partial s}{\partial w} \hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{1}{fgh} \left[ \frac{\partial}{\partial{u}} (ghA_u) + \frac{\partial}{\partial{v}} (fhA_v) + \frac{\partial}{\partial{w}} (fgA_w) \right] \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{1}{gh} \left[ \frac{\partial}{\partial{v}} (hA_w) - \frac{\partial}{\partial{w}} (gA_v) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} \\ &\quad + \frac{1}{fh} \left[ \frac{\partial}{\partial{w}} (fA_u) - \frac{\partial}{\partial{u}} (hA_w) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} + \frac{1}{fg} \left[ \frac{\partial}{\partial{u}} (gA_v) - \frac{\partial}{\partial{v}} (fA_u) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 s = \frac{1}{fgh} \left[ \frac{\partial}{\partial{u}} \left(\frac{gh}{f} \frac{\partial s}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial{v}} \left(\frac{fh}{g} \frac{\partial s}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial{w}} \left(\frac{fg}{h} \frac{\partial s}{\partial w} \right) \right] \end{equation}

1. 梯度的推导

   球坐标和柱坐标的具体推导见子节 1 .由于正交曲线坐标系中任意一点处 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} $ 都互相垂直,所以求该点处梯度的方法和直角坐标系类似:求出三个方向的方向导数,并把他们作为梯度的三个分量.和直角坐标系不同的是,$u$ 坐标增加 $ \,\mathrm{d}{u} $ 时,位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 并不是沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $ 移动 $ \,\mathrm{d}{u} $ 而是移动 $f \,\mathrm{d}{u} $,所以 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $ 方向的方向导数是 $( \partial s/\partial u )/f$.

   当然这只是粗略的推导,我们也可以直接把式 3 乘以式 5

\begin{equation} \boldsymbol\nabla s \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial s}{\partial u} \,\mathrm{d}{u} + \frac{\partial s}{\partial v} \,\mathrm{d}{v} + \frac{\partial s}{\partial w} \,\mathrm{d}{w} = \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
这符合梯度的定义(式 5 ).

2. 散度的推导

   一种幼稚的想法是:类比上面梯度的推导,根据直角坐标系中的散度公式(式 7 )得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{1}{f} \frac{\partial A_x}{\partial u} + \frac{1}{g} \frac{\partial A_y}{\partial v} + \frac{1}{h} \frac{\partial A_z}{\partial w} \qquad (\text{错}) \end{equation}
这是错误的,因为在直角坐标系的推导过程中,我们假设小长方体的相对两个面的表面积完全相等,而在正交曲线坐标系中这不成立.例如球坐标中的体积元 $r \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} $ 中,垂直于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的两个面的表面积为 $r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} $,显然与 $r$ 有关,即对 $r$ 求导不为零.

   所以我们重新按照直角坐标系的推导过程再推导一次,只不过这回考虑上表面积的变化:体积元的体积为 $f \,\mathrm{d}{u} \cdot g \,\mathrm{d}{v} \cdot h \,\mathrm{d}{w} $,三个方向的表面积分别为 $g \,\mathrm{d}{v} \cdot h \,\mathrm{d}{w} $,$h \,\mathrm{d}{w} \cdot f \,\mathrm{d}{u} $,$f \,\mathrm{d}{u} \cdot g \,\mathrm{d}{v} $. $A_u$ 在两个与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $ 垂直的表面上的通量为

\begin{equation} \begin{aligned} &A_u(u+ \,\mathrm{d}{u} , v, w)\cdot g(u+ \,\mathrm{d}{u} , v, w) \,\mathrm{d}{v} \cdot h(u+ \,\mathrm{d}{u} , v, w) \,\mathrm{d}{w} \\ &-A_u(u, v, w)\cdot g(u, v, w) \,\mathrm{d}{v} \cdot h(u, v, w) \,\mathrm{d}{w} = \frac{\partial}{\partial{u}} (A_u g h) \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} \,\mathrm{d}{w} \end{aligned} \end{equation}
同理,总通量为
\begin{equation} \Phi = \frac{\partial}{\partial{u}} (A_u g h) \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} \,\mathrm{d}{w} + \frac{\partial}{\partial{v}} (A_v fh) \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} \,\mathrm{d}{w} + \frac{\partial}{\partial{w}} (A_w fg) \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} \,\mathrm{d}{w} \end{equation}
最后除以体积元的体积,就得到式 6

3. 旋度和拉普拉斯算子的推导

   旋度的推导同样不能直接把直角坐标系公式(式 9 )中的偏微分替换为方向导数.原因和散度的推导一样:在正交曲线坐标系中取一个小四边形,同样无法保证相对的两条边的边长完全相等.同样地,在直角坐标系中的推导过程中考虑边长的变化,就可以得到式 7

   拉普拉斯算符 $ \boldsymbol{\nabla}^2 s$ 可以看作梯度的散度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla s)$.把式 5 代入式 6 即可.

习题 1 

   完成式 7 式 8 的推导.


1. ^ 参考 [15] 附录.

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