绝热过程

                     

贡献者: addis; _Eden_

预备知识 热容量

   在系统状态变化过程中,如果和外界没有热量和粒子交换,这个过程就叫做绝热过程(adiabatic process)

\begin{equation} \Delta Q = 0 \end{equation}
根据熵增(式 5 )的定义,绝热过程是一个等熵过程.

   由热力学第一定律式 1

\begin{equation} W + \Delta E = 0 \end{equation}
即系统对外做功和内能增加之和为零.

   理想气体的绝热过程中压强体积曲线为

\begin{equation} P V^\gamma = C \end{equation}
其中 $C$ 为常数,$\gamma$ 为绝热指数($i$ 是气体分子)
\begin{equation} \gamma = \frac{i+2}{i} \end{equation}
绝热指数也可以用等体热容(式 4 )和等压热容(式 5 )表示为
\begin{equation} \gamma = \frac{C_P}{C_V} \end{equation}

1. 推导

   考虑一个极短的过程,式 2 变为微分形式

\begin{equation} \,\mathrm{d}{W} + \,\mathrm{d}{E} = 0 \end{equation}
其中(式 1
\begin{equation} \,\mathrm{d}{W} = P \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
将理想气体状态方程(式 1 )两边微分得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{P} V + P \,\mathrm{d}{V} = nRdT \end{equation}
将气体的内能公式(式 2 )两边微分得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{E} = \frac{i}{2}n R \,\mathrm{d}{T} = \frac{i}{2} (V \,\mathrm{d}{P} + P \,\mathrm{d}{V} ) \end{equation}

   $i$ 是气体分子自由度.把式 7 式 9 代入式 6 得 $P$ 和 $V$ 之间得微分方程

\begin{equation} \gamma P \,\mathrm{d}{V} + V \,\mathrm{d}{P} = 0 \end{equation}
其中 $\gamma$ 为绝热指数
\begin{equation} \gamma = \frac{i+2}{i} \end{equation}
绝热

\begin{equation} P V^\gamma = C \end{equation}

例 1 声速

   推导声波在空气中传播的速度.

   空气的热导率很小,膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程.可以推出声波的传播速度为(注意绝热过程就是等熵过程)

\begin{equation} a=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_S} \end{equation}
将空气近似地看成理想气体,再带入相关数据,就可以得到和实验测量结果非常接近的速度值.
未完成:具体计算过程

例 2 绝热大气模型

   假设大气是理想气体,其热导率很小,所以大气的对流过程可以近似考虑成绝热过程(实验表明随着高度的增加大气温度下降,这说明不宜用等温大气模型),即

\begin{equation} \begin{aligned} &\begin{cases} &PV_m^\gamma=C\\ &V_m=\frac{RT}{P},P=\frac{\rho R T}{\mu} \end{cases} \\ &\Rightarrow \rho^{1-\gamma}T=C'\\ &\Rightarrow (1-\gamma)T \,\mathrm{d}{\rho} +\rho \,\mathrm{d}{T} =0 \end{aligned} \end{equation}

   那么式 5 变为

\begin{equation} \frac{\gamma}{\gamma-1}T'(z)=-\frac{\mu g}{R} \end{equation}
大气温度 $T$ 总是 $ > 0$ 的,且大气的绝热指数 $\gamma > 1$,上式右侧 $ < 0$,左侧 $ < 0$,这意味着温度随高度的增加而降低.再根据气体热容量公式式 9 约去 $\gamma$,积分得:
\begin{equation} T=T_0-\int_{z_0}\frac{\mu g}{c_{p,m}} \,\mathrm{d}{z} \end{equation}

   大气的摩尔质量为 $29 \rm{g\cdot mol^{-1}}$,摩尔定压热容约为 $29 \rm{J\cdot mol^{-1}K^{-1}}$,因此计算得

\begin{equation} T\approx T_0-z\cdot 10 \rm{K/km} \end{equation}
即每升高一千米,温度降低约 $10$ 摄氏度.该数值称为干绝热递减率.


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