绝热过程

贡献者： addis; _Eden_

预备知识　热容量

　　在系统状态变化过程中，如果和外界没有热量和粒子交换，这个过程就叫做绝热过程（adiabatic process）

\begin{matrix} (1) & Δ Q = 0 . \end{matrix}

根据熵增（式 5 ）的定义，绝热过程是一个等熵过程。

　　由热力学第一定律式 1 ，

\begin{matrix} (2) & W + Δ E = 0, \end{matrix}

即系统对外做功和内能增加之和为零。

　　理想气体的绝热过程中压强体积曲线为

\begin{matrix} (3) & P V^{γ} = C, \end{matrix}

其中

C

为常数，

γ

为绝热指数（

i

是气体分子）

\begin{matrix} (4) & γ = \frac{i + 2}{i} . \end{matrix}

绝热指数也可以用等体热容（式 4 ）和等压热容（式 5 ）表示为

\begin{matrix} (5) & γ = \frac{C_{P}}{C_{V}} . \end{matrix}

1. 推导

　　考虑一个极短的过程，式 2 变为微分形式

\begin{matrix} (6) & d W + d E = 0, \end{matrix}

其中（式 1 ）

\begin{matrix} (7) & d W = P d V . \end{matrix}

将理想气体状态方程（式 1 ）两边微分得

\begin{matrix} (8) & d P V + P d V = n R d T, \end{matrix}

将气体的内能公式（式 2 ）两边微分得

\begin{matrix} (9) & d E = \frac{i}{2} n R d T = \frac{i}{2} (V d P + P d V), \end{matrix}

　　 $i$ 是气体分子自由度。把式 7 和式 9 代入式 6 得 $P$ 和 $V$ 之间得微分方程

\begin{matrix} (10) & γ P d V + V d P = 0 . \end{matrix}

其中

γ

为绝热指数

\begin{matrix} (11) & γ = \frac{i + 2}{i} . \end{matrix}

绝热

\begin{matrix} (12) & P V^{γ} = C . \end{matrix}

例 1　声速

　　推导声波在空气中传播的速度。

　　空气的热导率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。可以推出声波的传播速度为（注意绝热过程就是等熵过程）

\begin{matrix} (13) & a = \sqrt{{(\frac{\partial p}{\partial ρ})}_{S}} . \end{matrix}

将空气近似地看成理想气体，再代入相关数据，就可以得到和实验测量结果非常接近的速度值。

未完成：具体计算过程

例 2　绝热大气模型

　　假设大气是理想气体，其热导率很小，所以大气的对流过程可以近似考虑成绝热过程（实验表明随着高度的增加大气温度下降，这说明不宜用等温大气模型），即

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} {\begin{cases} P V_{m}^{γ} = C \\ V_{m} = \frac{R T}{P}, P = \frac{ρ R T}{μ} . \end{cases} \\ \Rightarrow ρ^{1 - γ} T = C^{'}, \\ \Rightarrow (1 - γ) T d ρ + ρ d T = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

那么式 5 变为

\begin{matrix} (15) & \frac{γ}{γ - 1} T^{'} (z) = - \frac{μ g}{R} . \end{matrix}

大气温度

T

总是

> 0

的，且大气的绝热指数

γ > 1

，上式右侧

< 0

，左侧

< 0

，这意味着温度随高度的增加而降低。再根据气体热容量公式式 9 约去

γ

，积分得：

\begin{matrix} (16) & T = T_{0} - \int_{z_{0}} \frac{μ g}{c_{p, m}} d z . \end{matrix}

　　大气的摩尔质量为 $29 g \cdot m o l^{- 1}$ ，摩尔定压热容约为 $29 J \cdot m o l^{- 1} K^{- 1}$ ，因此计算得

\begin{matrix} (17) & T \approx T_{0} - z \cdot 10 K / k m . \end{matrix}

即每升高一千米，温度降低约

10

摄氏度。该数值称为干绝热递减率。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

绝热过程

1. 推导

例 1 声速

例 2 绝热大气模型

例 1　声速

例 2　绝热大气模型