贡献者： addis; _Eden_
在系统状态变化过程中，如果和外界没有热量和粒子交换，这个过程就叫做绝热过程（adiabatic process）
\begin{equation}
\Delta Q = 0~.
\end{equation}
根据熵增（
式 5 ）的定义，绝热过程是一个等熵过程。
由热力学第一定律式 1 ，
\begin{equation}
W + \Delta E = 0~,
\end{equation}
即系统对外做功和内能增加之和为零。
理想气体的绝热过程中压强体积曲线为
\begin{equation}
P V^\gamma = C~,
\end{equation}
其中 $C$ 为常数，$\gamma$ 为
绝热指数（$i$ 是气体分子）
\begin{equation}
\gamma = \frac{i+2}{i}~.
\end{equation}
绝热指数也可以用等体热容（
式 4 ）和等压热容（
式 5 ）表示为
\begin{equation}
\gamma = \frac{C_P}{C_V}~.
\end{equation}
1. 推导
考虑一个极短的过程，式 2 变为微分形式
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{W} + \,\mathrm{d}{E} = 0~,
\end{equation}
其中（
式 1 ）
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{W} = P \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
将理想气体状态方程（
式 1 ）两边微分得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{P} V + P \,\mathrm{d}{V} = nRdT~,
\end{equation}
将气体的内能公式（
式 2 ）两边微分得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{E} = \frac{i}{2}n R \,\mathrm{d}{T} = \frac{i}{2} (V \,\mathrm{d}{P} + P \,\mathrm{d}{V} )~,
\end{equation}
$i$ 是气体分子自由度。把式 7 和式 9 代入式 6 得 $P$ 和 $V$ 之间得微分方程
\begin{equation}
\gamma P \,\mathrm{d}{V} + V \,\mathrm{d}{P} = 0~.
\end{equation}
其中 $\gamma$ 为
绝热指数
\begin{equation}
\gamma = \frac{i+2}{i}~.
\end{equation}
绝热
\begin{equation}
P V^\gamma = C~.
\end{equation}
例 1 声速
推导声波在空气中传播的速度。
空气的热导率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。可以推出声波的传播速度为（注意绝热过程就是等熵过程）
\begin{equation}
a=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_S}~.
\end{equation}
将空气近似地看成理想气体，再代入相关数据，就可以得到和实验测量结果非常接近的速度值。
未完成：具体计算过程
例 2 绝热大气模型
假设大气是理想气体，其热导率很小，所以大气的对流过程可以近似考虑成绝热过程（实验表明随着高度的增加大气温度下降，这说明不宜用等温大气模型），即
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\begin{cases}
&PV_m^\gamma=C\\
&V_m=\frac{RT}{P},P=\frac{\rho R T}{\mu}~.
\end{cases}
\\
&\Rightarrow \rho^{1-\gamma}T=C'~,\\
&\Rightarrow (1-\gamma)T \,\mathrm{d}{\rho} +\rho \,\mathrm{d}{T} =0~.
\end{aligned}
\end{equation}
那么
式 5 变为
\begin{equation}
\frac{\gamma}{\gamma-1}T'(z)=-\frac{\mu g}{R}~.
\end{equation}
大气温度 $T$ 总是 $>0$ 的，且大气的绝热指数 $\gamma>1$，上式右侧 $<0$，左侧 $<0$，这意味着温度随高度的增加而降低。再根据气体热容量公式
式 9 约去 $\gamma$，积分得：
\begin{equation}
T=T_0-\int_{z_0}\frac{\mu g}{c_{p,m}} \,\mathrm{d}{z} ~.
\end{equation}
大气的摩尔质量为 $29 \rm{g\cdot mol^{-1}}$，摩尔定压热容约为 $29 \rm{J\cdot mol^{-1}K^{-1}}$，因此计算得
\begin{equation}
T\approx T_0-z\cdot 10 \rm{K/km}~.
\end{equation}
即每升高一千米，温度降低约 $10$ 摄氏度。该数值称为干绝热递减率。
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