大气密度和压强

             

预备知识 一阶线性微分方程,理想气体分压定律,积分方程
图
图 1:根据式 8 以及分压定律得到的大气压强随高度变化图,假设大气中没有水蒸气且温度恒定(来自维基百科)

  1以下介绍一个理想模型.假设大气是理想气体,密度随高度变化为 $\rho(z)$.所以高度 $z$ 处压强为

\begin{equation} P(z) = \int_{z}^\infty \rho(z') g \,\mathrm{d}{z'} \end{equation}
其中由于大气厚度远小于地球半径,我们取 $g$ 为常数.根据理想气体状态方程
\begin{equation} PV = n R T \end{equation}
先假设大气只是由一种分子构成,摩尔质量为 $\mu$,即 $m = n\mu$,代入有
\begin{equation} P = \frac{m}{\mu V} RT = \frac{R}{\mu} \rho T \end{equation}
其中 $P, T, \rho$ 都是高度的函数.代入式 1 得关于 $\rho(z)$ 的积分方程
\begin{equation} \frac{R}{\mu} \rho(z) T(z) = \int_{z}^\infty \rho(z') g \,\mathrm{d}{z'} \end{equation}
通常来说海拔越高的地方气温越低,如果 $T(z)$ 是已知的,就可以解出 $\rho(z)$.方程两边对 $z$ 求导,整理得
\begin{equation} \rho'(z) + \frac{1}{T(z)} \left[T'(z) + \frac{\mu g}{R} \right] \rho(z) = 0 \end{equation}
这是一个一阶线性微分方程,可以直接用公式求解.把解出的 $\rho(z)$ 代入式 3 即可求出对应的压强 $P(z)$.

   作为一种简单情况,假设温度不随高度变化(实际上,空气的热导率很小,考虑成绝热过程能得到更加精确的结果),那么方程变为常系数的

\begin{equation} \rho'(z) + \frac{\mu g}{RT}\rho(z) = 0 \end{equation}
容易解得
\begin{equation} \rho(z) = \rho_0 \exp\left(-\frac{\mu g}{RT} z\right) \end{equation}
或者
\begin{equation} P(z) = P_0 \exp\left(-\frac{\mu g}{RT} z\right) \end{equation}
其中 $\rho_0, P_0$ 是某个高度 $z_0$ 处的大气密度和气压.这说明恒温条件下气压随海拔升高呈指数下降,且温度越低下降越快.

   当大气中有多种气体时,可以对每种气体分别求解,把 $P_0$ 替换为改气体在 $z_0$ 处的分压.总密度就是每种气体的密度之和.大气中的水蒸气同样也可能随着高度变化.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面以及另一个页面

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