大气密度和压强

             

贡献者: addis; _Eden_

预备知识 一阶线性微分方程,理想气体分压定律,积分方程
图
图 1:根据式 8 以及分压定律得到的大气压强随高度变化图,假设大气中没有水蒸气且温度恒定(来自维基百科)

1. 等温大气模型

  1以下介绍一个理想模型.假设大气是理想气体,密度随高度变化为 $\rho(z)$.所以高度 $z$ 处压强为

\begin{equation} P(z) = \int_{z}^\infty \rho(z') g \,\mathrm{d}{z'} \end{equation}
其中由于大气厚度远小于地球半径,我们取 $g$ 为常数.根据理想气体状态方程
\begin{equation} PV = n R T \end{equation}
先假设大气只是由一种分子构成,摩尔质量为 $\mu$,即 $m = n\mu$,代入有
\begin{equation} P = \frac{m}{\mu V} RT = \frac{R}{\mu} \rho T \end{equation}
其中 $P, T, \rho$ 都是高度的函数.代入式 1 得关于 $\rho(z)$ 的积分方程
\begin{equation} \frac{R}{\mu} \rho(z) T(z) = \int_{z}^\infty \rho(z') g \,\mathrm{d}{z'} \end{equation}
通常来说海拔越高的地方气温越低,如果 $T(z)$ 是已知的,就可以解出 $\rho(z)$.方程两边对 $z$ 求导,整理得
\begin{equation} \rho'(z) + \frac{1}{T(z)} \left[T'(z) + \frac{\mu g}{R} \right] \rho(z) = 0 \end{equation}
这是一个一阶线性微分方程,可以直接用公式求解.把解出的 $\rho(z)$ 代入式 3 即可求出对应的压强 $P(z)$.

   作为一种简单情况,假设温度不随高度变化(实际上,空气的热导率很小,考虑成绝热过程能得到更加精确的结果式 16 ),那么方程变为常系数的

\begin{equation} \rho'(z) + \frac{\mu g}{RT}\rho(z) = 0 \end{equation}
容易解得
\begin{equation} \rho(z) = \rho_0 \exp\left(-\frac{\mu g}{RT} z\right) \end{equation}
或者
\begin{equation} P(z) = P_0 \exp\left(-\frac{\mu g}{RT} z\right) \end{equation}
其中 $\rho_0, P_0$ 是某个高度 $z_0$ 处的大气密度和气压.这说明恒温条件下气压随海拔升高呈指数下降,且温度越低下降越快.

   当大气中有多种气体时,可以对每种气体分别求解,把 $P_0$ 替换为改气体在 $z_0$ 处的分压.总密度就是每种气体的密度之和.大气中的水蒸气同样也可能随着高度变化.

2. 干绝热大气模型

   假设大气是理想气体,其热导率很小,所以大气的对流过程可以近似考虑成绝热过程(实验表明随着高度的增加大气温度下降,这说明不宜用等温大气模型),即

\begin{equation} \begin{aligned} &\begin{cases} &PV_m^\gamma=C\\ &V_m=\frac{RT}{P},P=\frac{\rho R T}{\mu} \end{cases} \\ &\Rightarrow \rho^{1-\gamma}T=C'\\ &\Rightarrow (1-\gamma)T \,\mathrm{d}{\rho} +\rho \,\mathrm{d}{T} =0 \end{aligned} \end{equation}

   那么式 5 变为

\begin{equation} \frac{\gamma}{\gamma-1}T'(z)=-\frac{\mu g}{R} \end{equation}
积分得2
\begin{equation} \begin{aligned} T&=T_0-\int_{z_0}\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{\mu g}{R} \,\mathrm{d}{z} \\&\approx T_0\left[1-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{\mu g}{R T_0}z\right]\\ P&=P_0\left[1-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{\mu g}{R T_0}z\right]^{\gamma/(\gamma-1)} \end{aligned} \end{equation}
温度 $T$ 总是 $ > 0$ 的,且大气的绝热指数 $\gamma > 1$,这意味着温度随高度的增加而降低.可以利用气体热容量公式式 9 约去 $\gamma$,积分得:
\begin{equation} T=T_0-\int_{z_0}\frac{\mu g}{c_{p,m}} \,\mathrm{d}{z} \end{equation}

   $\mu,c_{p,m}$ 可近似看成常数.大气的摩尔质量为 $29 \rm{g\cdot mol^{-1}}$,摩尔定压热容约为 $29 \rm{J\cdot mol^{-1}K^{-1}}$,因此计算得

\begin{equation} \begin{aligned} &T=T_0-\frac{\mu g}{c_{p,m}} z\\ &T\approx T_0-z\cdot 10 \rm{K/km} \end{aligned} \end{equation}
即每升高一千米,温度降低约 $10$ 摄氏度.该数值称为干绝热递减率.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面以及另一个页面
2. ^ 并且可以验证,当 $\gamma$ 趋近于 $1$ 时,下面的方程就变为等温模型的大气压强公式.


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