速度、加速度（一维）

贡献者： addis

预备知识 1　位移，复合函数求导

　　速度和加速度都是矢量，但如果我们考虑质点的一维运动（沿直线运动），那么我们可以指定一个正方向并沿运动方向建立坐标轴。这样一来，我们就可以把一维情况下的位移、速度、加速度这些矢量用一个标量来表示，可以用标量的正负号区分矢量的方向，正号代表指向正方向，负号代表指向负方向，标量的绝对值就等于矢量的模长。所以以下我们用坐标 $x$ 来表示一维位移，实数 $v$ 和 $a$ 来表示一维速度和加速度。事实上，这些标量可以看作是对应矢量的坐标。

　　物理学中，速度（velocity）和加速度（acceleration）通常指瞬时值。在一维运动中，瞬时速度（instantaneous velocity）被定义为一段极短时间 $Δ t$ 内质点的位移 $Δ x$ 除以这段时间，瞬时加速度（instantaneous acceleration）被定义为一段极短时间 $Δ t$ 内质点的速度变化 $Δ v$ 除以这段时间，而这些恰好是导数的定义。用极限和导数来表示，就是

\begin{matrix} (1) & v (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} = \frac{d x (t)}{d t}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & a (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{v (t + Δ t) - v (t)}{Δ t} = \frac{d v (t)}{d t} . \end{matrix}

根据高阶导数的定义，加速度就是位矢的二阶导数，即导数的导数

\begin{matrix} (3) & a (t) = \frac{d^{2} x (t)}{d t^{2}} . \end{matrix}

　　为什么经典力学中，我们通常之关心位移的一阶和二阶导数而不关心更高阶呢？因为牛顿第二定律中出现了加速度，把它和质点的受力紧紧关联起来，另一方面，和速度成正比的动量是重要的守恒量。

例 1　匀加速运动

　　若已知某直线运动的位移—时间函数为

\begin{matrix} (4) & x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a_{0} t^{2}, \end{matrix}

试证明这是一个匀加速运动。

　　对位移求导得到速度为

\begin{matrix} (5) & v (t) = v_{0} + a_{0} t, \end{matrix}

再次求导（二阶导数）得到加速度为

a (t) = a_{0}

是常数。可见这是一个匀加速运动。

　　事实上，任何匀加速直线运动都可以表示为式 4 的形式，详见 “匀加速直线运动”。

例 2　简谐振动

　　已知简谐振动（详见 “简谐振子”）的位移函数为 $x (t) = A \cos (ω t)$ ，运用复合函数求导得速度为 $v (t) = - A ω \sin (ω t)$ ，加速度为 $a (t) = - A ω^{2} \cos (ω t)$ 。

1. 由速度或加速度求位移

预备知识 2　牛顿—莱布尼兹公式

　　既然一维速度 $v (t)$ 是位置 $x (t)$ 的导数，那么 $x (t)$ 是 $v (t)$ 的原函数。由牛顿—莱布尼兹公式得速度在一段时间的定积分等于初末位置之差，即

\begin{matrix} (6) & x (t_{2}) - x (t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t . \end{matrix}

所以若已知某时刻质点的位置

x (t_{0}) = x_{0}

，和速度函数

v (t)

，就可以求得任意时刻的位置。

\begin{matrix} (7) & x (t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} v (t^{'}) d t^{'} . \end{matrix}

注意为了区分积分变量和积分上限，我们把积分变量改成

t^{'}

。这是一个常见的做法。

例 3　匀速直线运动

　　若一维运动的质点速度始终为 $v_{0}$ ，由式 7 得

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} x (t) & = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} v_{0} d t \\ = x_{0} + v_{0} (t - t_{0}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　与式 6 和式 7 同理，一维速度和加速度之间也有类似关系

\begin{matrix} (9) & v (t_{2}) - v (t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} a (t) d t, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & v (t) = v_{0} + \int_{t_{0}}^{t} a (t^{'}) d t^{'} . \end{matrix}

把式 10 带入式 7 再次定积分得（注意积分变量再次重命名）

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} x (t) & = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} [v_{0} + \int_{t_{0}}^{t^{'}} a (t^{″}) d t^{″}] d t^{'} \\ = x_{0} + v_{0} (t - t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} [\int_{t_{0}}^{t^{'}} a (t^{″}) d t^{″}] d t^{'}, \end{aligned} \end{matrix}

这里做了两次积分，即二重积分。

　　简单的例子见 “匀加速直线运动”。

习题 1　

　　你是否能看出，以 $t^{'}$ 和 $t^{″}$ 建立直角坐标系，式 4 的二重积分的区域是一个三角形？

速度、加速度（一维）

例 1 匀加速运动

例 2 简谐振动

1. 由速度或加速度求位移

例 3 匀速直线运动

习题 1

例 1　匀加速运动

例 2　简谐振动

例 3　匀速直线运动

习题 1　