牛顿—莱布尼兹公式（极简微积分）

贡献者： addis

预备知识　不定积分，定积分，一元函数的微分（极简微积分）

　　牛顿—莱布尼兹公式描述了定积分和不定积分的关系。我们已知不定积分是求导的逆运算，而定积分是函数曲线与 $x$ 轴之间的面积，二者乍看起来没什么联系，但牛顿—莱布尼兹公式却揭示了了二者之间的重要关系。¹

　　若 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的一个原函数，则

\begin{matrix} (1) & \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) . \end{matrix}

1. 幼稚的推导

　　这里给出一个比较直观的推导方法，可能对初学者有一定启发或者帮助记忆，但以后会看到这是不严谨的。

图 1：右图中

f (x)

的原函数为左图中的

F (x)

，当步长趋近 0 时，右图中的长方形面积趋近于左图中小竖线的长度。

未完成：图中 d 应该改为

Δ

　　如图 1 ，根据定积分的定义，有²

\begin{matrix} (2) & \int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{Δ x_{i} \to 0} \sum_{i} f (x_{i}) Δ x_{i} . \end{matrix}

其中

f (x_{i}) Δ x_{i}

可看成是右图中第

i

个小矩形的面积，求和是对从

a

到

b

的所有小矩形求和。现在不妨把

x_{i}

设为第

i

个小矩形左端³的

x

坐标。考虑到求导是不定积分的逆运算，有

f (x_{i}) = F^{'} (x_{i})

，所以小矩形的面积变为

\begin{matrix} (3) & f (x_{i}) Δ x_{i} = F^{'} (x_{i}) Δ x_{i} \approx Δ F_{i} = F (x_{i + 1}) - F (x_{i}), \end{matrix}

等式右边就是左图中的第

i

条垂直线段的长度。式子中的约等号使用了微分近似（子节 1 ）。该式可以理解成，右图中的小矩形面积约等于左图中的小竖线长度，即原函数

F (x)

在

x_{i}

到

x_{i + 1}

间的增量。当取极限

Δ x_{i} \to 0

时，上式取等号。代回式 1 ，有

\begin{matrix} (4) & \int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{Δ x_{i} \to 0} \sum_{i} [F (x_{i + 1}) - F (x_{i})] = F (b) - F (a) . \end{matrix}

该式可理解为，如果把左图中每一段

Δ x_{i}

所对应的微小增量（垂直小线段的长度）

Δ F_{i}

都加起来，再取极限

Δ x_{i} \to 0

，就是

F (x)

从

a

到

b

的总增量。在计算定积分的过程中，为了书写简洁，我们往往将上式中的

F (b) - F (a)

记为

{F (x) |}_{a}^{b}

。

例 1　计算定积分

\begin{matrix} (5) & \int_{- l}^{l} \sin^{2} (\frac{n π}{l} x) d x . \end{matrix}

图 2：

y = \sin^{2} (π x / l)

的定积分，阴影面积恰好是长方形的一半。

　　先计算对应的不定积分。由积分表中的式 13 结合式 1 得不定积分为

\begin{matrix} (6) & \int \sin^{2} (\frac{n π}{l} x) d x = \frac{l}{2 n π} [\frac{n π}{l} x - \sin (\frac{n π}{l} x) \cos (\frac{n π}{l} x)], \end{matrix}

再利用牛顿—莱布尼兹公式求定积分结果为

l

。计算该定积分还有另一种更简单的几何方法（见图 2 ），由于被积函数的对称性，函数曲线可将区间

[- l, l]

内高为 1 的长方形（面积为

2 l

）划分成等面积的上下两部分，曲线下方的面积

l

就是定积分的结果。

例 2　圆的面积

　　现在我们可以用例 2 中列出的两个定积分计算圆的面积。先看第一个定积分，由积分表式 17 得

\begin{matrix} (7) & \int \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2} (x \sqrt{R^{2} - x^{2}} + R^{2} \arcsin \frac{x}{R}) + C . \end{matrix}

由牛顿—莱布尼兹公式，

- R

到

R

的定积分为

π R^{2} / 2

，所以圆的面积为

π R^{2}

。

　　第二个定积分要简单得多，由幂函数的积分式 2 和牛顿—莱布尼兹公式得

\begin{matrix} (8) & \int_{0}^{R} 2 π r d r = π {r^{2} |}_{0}^{R} = π R^{2} . \end{matrix}

例 3　球壳与球盖的面积

　　现在我们可以直接求例 3 中的积分

\begin{matrix} (9) & S = 2 π R^{2} \int_{0}^{π} \sin θ d θ = 2 π R^{2} {(- \cos θ) |}_{0}^{π} = 4 π R^{2} . \end{matrix}

我们还可以将积分上下限任意改变，得到球面上一个环形曲面的面积

\begin{matrix} (10) & S = 2 π R^{2} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \sin θ d θ = 2 π R^{2} (\cos θ_{1} - \cos θ_{2}) . \end{matrix}

当

θ_{1} = 0

且

θ_{2} = α

时，我们就得到了球盖的面积

\begin{matrix} (11) & S = 2 π R^{2} (1 - \cos α) . \end{matrix}

2. 对定积分上下限求导

　　有时候我们会需要对定积分的上下限求导，例如

\begin{matrix} (12) & \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t . \end{matrix}

我们可以先对定积分用牛顿莱布尼兹公式，令原函数为

F (x)

，有

\begin{matrix} (13) & \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = \frac{d}{d x} [F (x) - F (a)] = f (x) . \end{matrix}

　　类似地，对积分下限求导如

\begin{matrix} (14) & \frac{d}{d x} \int_{x}^{a} f (t) d t = \frac{d}{d x} [F (a) - F (x)] = - f (x) . \end{matrix}

或者对上下限同时求导如

\begin{matrix} (15) & \frac{d}{d x} \int_{- x}^{x} f (t) d t = \frac{d}{d x} [F (x) - F (- x)] = f (x) + f (- x) . \end{matrix}

1. ^ 注意在 “极简微积分” 系列中，定积分仅限于黎曼积分。但牛顿—莱布尼兹公式同样适用于更广义的勒贝格积分。
2. ^ 这里假设极限存在。
3. ^ 其实把 “左端” 改成 “右端” 或 “中点” 等也不影响结论。

牛顿—莱布尼兹公式（极简微积分）

1. 幼稚的推导

例 1 计算定积分

例 2 圆的面积

例 3 球壳与球盖的面积

2. 对定积分上下限求导

例 1　计算定积分

例 2　圆的面积

例 3　球壳与球盖的面积