导数（简明微积分）

贡献者： ACertainUser; addis; JierPeter; Giacomo

预备知识　切线与割线

1. 一点处的导数

几何含义

　　¹²一个一元函数 $y = f (x)$ 在直角坐标系中表示为一条曲线。在切线与割线中，我们已经初步了解了什么是切线与割线。

图 1：B 趋向 A，割线趋向切线

　　我们先写出割线的直线方程。由于割线就是一条经过 A，B 两点的直线，根据高中数学知识，很容易得到

\begin{matrix} (1) & y - y_{A} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} (x - x_{A}) = \frac{f (x_{B}) - f (x_{A})}{x_{B} - x_{A}} (x - x_{A}) . \end{matrix}

　　观察割线的方程，除了斜率项 $k = \frac{f (x_{B}) - f (x_{A})}{x_{B} - x_{A}}$ ，其余项均与 $x_{B}$ 无关。现在，如图 1 所示，我们固定 A 点不动，让 B 点趋近于 A 点，即令 $x_{B} \to x_{A}$ ，这使割线趋向于切线，它的斜率即可用极限来定义

\begin{matrix} (2) & k = lim_{x_{B} \to x_{A}} \frac{f (x_{B}) - f (x_{A})}{x_{B} - x_{A}} . \end{matrix}

　　我们把这个切线的斜率定义为 $x = x_{A}$ 处 $f (x)$ 的导数，一般记为 $f^{'} (x_{A})$ 或 $\frac{d f}{d x} |_{x = x_{A}}$ 。因此，我们说函数一点处的导数值就等于这点处切线的斜率。

图 2：点

A

的切线。

f^{'} (x_{A}) = k = \tan θ

　　更一般的，有

定义 1　函数一点处的导数

　　 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数为

\begin{matrix} (3) & f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}, \end{matrix}

也可以写为

\begin{matrix} (4) & f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} . \end{matrix}

“物理” 含义

　　仔细观察 $x = x_{0}$ 附近切线的形状与 $f (x)$ 的形状，你很容易看出这两者是几乎一样的³，这启发我们在一个小区域内用切线来近似原函数。

图 3：将切点放大，会发现切线和曲线在切点附近 “重合”

　　此时，若想计算 $x$ 轻微增加后，函数值 $y$ 的增量，就没有必要复杂地计算 $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}),$ 而只需要计算

\begin{matrix} (5) & Δ y = f^{'} (x_{0}) Δ x, \end{matrix}

这就引入了微分的概念。更重要的是，这启发了我们导数的另一层含义：导函数确定了

x = x_{0}

处，

y

关于

x

变化的 “敏感度”，即

x

轻微变化时，

y

会做出多大的响应。例如，一个绝对值大的导数值意味着

y

会因为

x

的轻微变化而剧烈变化。

　　理解这一含义的最直白例子或许是速度，速度被定义为物体位置关于时间的导数 $v = \frac{d r}{d t}$ 。即使只靠直觉，我们也能理解“速度快” 就是指 “一瞬间他就从我眼前飞过去了”，这就是说当时间轻微增加时，物体的位置大幅变化。

单侧导数

　　类似于单侧极限，我们也可以引入单侧导数的概念。如果 B 点从右侧趋近 A 点，但始终不运动到 A 点的左侧，那么此时切线的斜率即为该点处函数的右导数值，可以记为 $f_{+}^{'} (x_{A})$ 。更一般地，用极限的语言可以写为：

定义 2　单侧导数

　　 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的右导数为：

\begin{matrix} (6) & f_{+}^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} . \end{matrix}

同理，可以定义左导数：

\begin{matrix} (7) & f_{-}^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} . \end{matrix}

　　类似于极限，我们也有

定理 1　

　　函数在某点可导的充分必要条件是它左右导数都存在并相等。 $f^{'} (x_{0}) = A ⟺ f_{+}^{'} (x_{0}) = f_{-}^{'} (x_{0}) = A .$

　　也就是说，若左（或右）导数不存在，或者左、右导数存在但不相等，那此处的导数就不存在。

例 1　

　　如图，在棱角处，虽然函数连续，甚至左、右导数均存在，但他们的大小不相同，因此在棱角处该函数不可导。

图 4：棱角处不可导

　　一个更明确的例子是绝对值函数 $f (x) = | x |$ , 它在零点的左导数为 $- 1$ ，而右导数为 $1$ 。

未完成：作图：函数图像和导函数图像

。

2. 导函数

　　在上文中，我们定义了一点处函数的导数。原则上我们可以任意选取函数定义域中的一点，然后用根据上文 “导数的定义” 找到该点处的导数值。这也就是说，对于函数定义域中的任意一点，都有一个导数值与之对应，这符合函数的定义，也就是说我们可以在这二者间定义一个新函数，这就是 $f (x)$ 的 “导函数”；在不引起混淆的情况下往往简称为 “导数”。

　　字面上看，导函数的定义与一点处函数的导数完全类似。

定义 3　导函数

\begin{matrix} (8) & f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} . \end{matrix}

　　通常将导函数记为以下的一种

\begin{matrix} (9) & f^{'} (x), [f (x)]^{'}, \frac{d y}{d x}, \frac{d f}{d x}, \frac{d}{d x} f (x) . \end{matrix}

在物理中，还可以在物理量上方加一点表示对时间求导（注意仅限于对时间求导），例如

\dot{f} (t) = d f (t) / d t

。

例 2　直线方程的导函数

　　计算 $f (x) = 2 x + 3$ 的导函数。

　　根据定义， $\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{[2 (x + Δ x) + 3] - (2 x + 3)}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{2 Δ x}{Δ x} \\ = 2 . \end{aligned}$ 事实上，所有直线方程的导函数都是常函数，且数值上等于自己的斜率。当然，实际上很少直接使用定义计算导数，有一些技巧可以简化求导过程（见本节其他文章）。

例 3　常函数的导函数

　　计算 $f (x) = C$ 的导函数, 其中 $C$ 是常数。

　　仍然根据定义， $\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{C - C}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{0}{Δ x} \\ = 0, \end{aligned}$ 因此常函数的导数为零。这可以理解为例 2 当 $x$ 的系数为零时的特例。

例 4　二次函数的导函数

　　计算 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的导函数。

　　仍然根据定义， $\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{a (x + Δ x)^{2} + b (x + Δ x) + c - a x^{2} - b x - c}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{2 a x (Δ x) + a (Δ x)^{2} + b Δ x}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} 2 a x + a (Δ x) + b \\ = 2 a x + b, \end{aligned}$ 因此二次函数的导数为一次函数。当 $a = 0$ ，二次函数退化为直线方程。

1. ^ 本文参考了 [1] , [2]
2. ^ 除非特别声明，我们暂且假定探讨的函数在定义域内处处可导，就和大多数物理学家和工程师所默许的一样
3. ^ 这个结论可不是我瞎说的，数学上是能给出严格的证明

[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
[2] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed

导数（简明微积分）

1. 一点处的导数

几何含义

定义 1 函数一点处的导数

“物理” 含义

单侧导数

定义 2 单侧导数

定理 1

例 1

2. 导函数

定义 3 导函数

例 2 直线方程的导函数

例 3 常函数的导函数

例 4 二次函数的导函数

定义 1　函数一点处的导数

定义 2　单侧导数

定理 1　

例 1　

定义 3　导函数

例 2　直线方程的导函数

例 3　常函数的导函数

例 4　二次函数的导函数