极限

                     

贡献者： addis; JierPeter; Giacomo

预备知识　数列的极限（简明微积分）

1. 数列的极限

　　 微积分的核心概念是极限，而极限最基础的情形是数列的极限。数列是离散的，比较容易理解，而所有与极限有关的概念也都可以从数列的极限拓展得到。

　　 先来看一个数列的例子。

例 1　

　　 我们都知道 $\pi$ 是一个无理数，所以 $\pi$ 的小数部分是无限多的。目前用计算机，已经可以将 $\pi$ 精确地计算到小数点后数亿位。然而在实际应用中，往往只用取前几位小数的近似即可。下面给出一个数列，定义第 $n$ 项是 $\pi$ 的前 $n$ 位小数近似（不考虑四舍五入），即

\begin{equation} a_0 = 3~,\,\, a_1 = 3.1~,\,\, a_2 = 3.14~,\,\, a_3 = 3.141,\,\dots~ \end{equation}

　　 这个数列显而易见的性质，就是当 $n$ 趋于无穷时，$a_n$ 趋（近）于 $\pi$。无穷通常用符号 $\infty$ 来表示（像 “8” 横过来写）。我们把这类过程叫做极限。以上这种情况，用极限符号表示，就是

\begin{equation} \lim_{n \to \infty } {a_n} = \pi ~. \end{equation}
这里 $\lim$ 是极限（limit）的意思，下方用箭头表示某个量变化的趋势1。算符的 “输出” 就是一个数（$a_n$ 的极限值）。所以不要误以为这条式子是说当 $n = \infty$ 时，$a_n=\pi$2，而要理解成数列 $a_n$ 经过算符 $\lim\limits_{n \to \infty }$ 的作用以后，得出其极限是 $\pi$。类比函数 $\sin x = y$，并不是说 $x=y$，而是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$。

　　 所以从概念上来说，极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的。趋于是数列整体的性质，而不是单个数字的性质。我们可以像这样粗略理解 “趋近”：

　　 对极限来说，第 2 点成立是非常必要的。但是怎样能说明 “没有最近” 呢？可以看出，当 $n$ 越大，$a_n$ 越接近 $\pi$，它们的 “距离”，可以用 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $ 来表示。也就是说，对任何一个 $a_n$，如果所对应的距离 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert \ne 0$，总能找到一个更大的数 $m>n$，使 $ \left\lvert a_m - \pi \right\rvert < \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $（也就是 $a_m$ 比 $a_n$ 更靠近 $\pi$），并且要求 $a_m$ 之后的所有项也都能满足这一条件。只有这样，才能从数学上说明上面两个意思。这就是极限思想的精髓。根据这个思想，下面可以写出数列极限的定义。

定义 1　数列的极限

　　 考虑数列 $\{a_n\}$。若存在一个实数 $A$，使得对于任意给定的正实数 $\varepsilon > 0$（无论它有多么小），总存在正整数 $N_\epsilon$，使得对于所有编号 $n>N_\epsilon$，都有 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert < \varepsilon$（$A$ 为常数）成立，那么数列 $a_n$ 的极限就是 $A$。

　　 将 “数列 $\{a_n\}$ 的极限是 $A$” 表示为 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。

图
图 1：两个数列示意图。实心点表示数列 $a_n=(-1)^{n}$，空心点表示数列 $b_n=(1/2)^n$；横实线表示 $y=1$，横虚线表示 $y=1/2$。由图可见，随着 $n$ 增大，黑色点列虽然总有落在 $1$ 上的点，但也总有落在虚线以外的点；而空心点列则总是落在虚线以外。这样，虚线就像一个天堑，随着 $n$ 增大的时候两个数列都有被这个天堑隔开的点，这时我们就说这两个数列都不趋近于 $1$。不过，空心点数列 $\{b_n\}$ 是趋近于 $0$ 的。

　　 由于以上讨论中 $\lim$ 作用的对象是数列，那么箭头右边只能是 $\infty$（准确来说应该是正无穷 $+\infty$，但是由于数列的项一般是正的，所以正号省略了）。

　　 把定义套用到上面的例 1 中，如果要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-3}$（给定 $\varepsilon = 10^{-3}$），只要令 $N=3$（当然也可以令 $N=4, N=5$，等）就可以保证第 $N$ 项后面所有的项都满足要求。一般地如果给定 $\varepsilon = b \times 10^{-q} (b > 1)$，就令 $N = q$，第 $N$ 项以后的项就满足要求。根据定义，这就意味着 $\lim\limits_{n \to \infty } a_n = \pi$。

　　 我们来看几个简单的例题，加深一下印象。

习题 1　

　　 考虑数列 $a_n=\frac{1}{2^n}$。根据定义，证明 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。

习题 2　

　　 考虑数列 $a_n=(-1)^n$。这个数列存在极限吗？

　　 习题 2 的数列是不存在极限的，因为它的值在 $\pm 1$ 之间反复横跳，也就是说对于任何实数 $A$，$ \left\lvert a_n-A \right\rvert $ 都只有最多两个值，而且其中一个肯定非零。这就导致如果我们把 $\epsilon>0$ 取得足够小（小于两个 $ \left\lvert a_n-A \right\rvert $ 中比较大的那个），那么不管 $N$ 多大，总有 $n>N$ 使得 $ \left\lvert a_n-A \right\rvert >\epsilon$。结果就是这个数列没有任何极限值。我们把这种情况称为发散。

定义 2　数列的敛散性

　　 如果一个数列 $\{a_n\}$ 不存在极限，就称它是发散（divergent）的。如果 $\{a_n\}$ 存在极限，则称它是收敛（convergent）的。

2. 函数的极限

　　 实函数 $f(x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列，只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$。类比数列的极限，我们也可以定义函数在正无穷的极限 $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A$。

定义 3　函数趋于正无穷时的极限

　　 考虑实函数 $f(x)$。若存在实数 $A$，使得对于任意$\epsilon>0$，总存在正实数$X_\epsilon$，使得对于所有 $x>X_\epsilon$，都有 $ \left\lvert f(x)-A \right\rvert <\epsilon$，那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限。

　　 可以看到，定义 3 和定义 1 非常相似，只是简单做了替换。不过，函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况。数列的编号只能朝着一个方向增大，但实函数的自变量就自由得多，它可以奔向负无穷，也可以集中到一点 $x_0$。

　　 如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_0$” 呢？我们可以拓展一下 “趋于无穷” 的概念。函数自变量或者数列编号趋于无穷，就是说我们可以把自变量和数列编号取得越来越 “接近无穷”，虽然这种说法并不严谨，但它可以提供一个很好的借鉴：函数自变量趋于给定实数 $x_0$，就是说我们取的自变量 $x$ 使得 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $ 越来越接近 $0$。

　　 现在问题来了，什么叫 “越来越” 呢？在讨论数列极限的时候，我们没有在意这个细节，因为我们也只能考虑数列编号增大的情况，而这里的 “越来越” 也自然表示 “随着数列编号的增大” 了。但是讨论函数自变量趋于给定实数 $x_0$ 的时候，就有些麻烦了，我们没有一个衡量 “时间流逝” 的自然标准了。要解决这个问题，最好还是再次把数列给请出来。

　　 下面，我直接给出函数极限的定义，请仔细咀嚼，看看数列是怎么用来准确描述函数极限的。

定义 4　函数的极限

　　 考虑实函数 $f(x)$，并给定一个实数 $x_0$。

　　 取数列 $\{x_n\}$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}=x_0$。这样，$\{f(x_n)\}$ 也构成一个数列。

　　 如果对于任意的满足上述要求的数列 $\{x_n\}$，都有实数 $A$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$，那么我们说 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$。

　　 将这个极限表述为 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$。

　　 注意看定义 4 中是如何从 $\lim\limits_{n\to\infty}=x_0$ 和 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$ 过渡到 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 的。这里，从离散到连续的桥梁，正是 “任意” 二字。也就是说，“连续” 就是 “任意的离散”，比如 “连续地接近时满足的条件” 就是 “任意一种离散地接近时都满足的条件”。

　　 定义 4 同时也是最为完整的函数极限定义，只需要把 $x_0$ 替换为 $\pm\infty$ 即可囊括无穷的情况。

例 2　

　　 求函数在某个值处的极限时，通常可以直接代入数值计算，如

\begin{equation} \lim_{x\to 1} 2x + 1 = 3 ~,\qquad \lim_{x\to 2}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac34~. \end{equation}

　　 当无穷大与常数相加时，可以忽略常数，如

\begin{equation} \lim_{x\to +\infty} \frac{x + 1}{2x + 2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{2x} = \frac12~. \end{equation}

例 3　

　　 考虑符号函数 $ \operatorname {sgn}(x)$，其定义为：$x>0$ 时，$ \operatorname {sgn}(x)=1$，$ \operatorname {sgn}(-x)=-1$，且有 $ \operatorname {sgn}(0)=0$。也就是说，正数的函数值为 $1$，负数的为 $2$，$0$ 的就是 $0$。

　　 现在考虑 $ \operatorname {sgn}(x)$ 在 $0$ 处的极限值。我们首先要研究那些趋近于 $0$ 的数列。

　　 如果我们取数列 $g_n=\frac{1}{2^n}$，那么 $ \operatorname {sgn}(g_n)$ 中各项都恒为 $1$，因此 $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname {sgn}(g_n)=1$。

　　 但是如果取数列 $h_n=-\frac{1}{2^n}$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname {sgn}(h_n)=-1$。

　　 如果再取数列 $j_n=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname {sgn}(j_n)=0$。

　　 以上三个数列都趋于 $0$，但由它们构造的 $ \operatorname {sgn}(g_n)$、$ \operatorname {sgn}(h_n)$ 和 $ \operatorname {sgn}(j_n)$ 的极限却各不相同。这就意味着 $ \operatorname {sgn}(x)$ 在 $0$ 处并没有极限值。

定义 5　函数的敛散性

　　 拓展数列的敛散性的定义 2 。若函数在一点处有极限值，则称之为收敛的；否则，称之为发散的。

3. 左极限和右极限

　　 自变量趋于无穷的过程，只有一个方向，要么是不停增大（正无穷），要么是不停减小（负无穷）。但如果自变量是趋近一个实数 $x_0$，那么至少就有两个方向，从大于 $x_0$ 的点开始减小（正向接近），和从小于 $x_0$ 的点开始增大（负向）接近。

　　 由于极限的定义是 “怎么接近都可以”，因此若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处存在极限，无论怎么取接近 $x_0$ 的数列，正向接近也好反向接近也罢，哪怕是一会儿正一会儿负地反复横跳，只要接近，这些数列的极限值都是一样的。

　　 但是有些函数则不然。考虑这个函数：$f(x)$，其中 $x<0$ 时 $f(x)=0$，$x\geq 0$ 时 $f(x)=1$。在 $x=0$ 处，如果只考虑正向接近的数列 $\{x_n\}$，那么计算出来的 $\{f(x_n)\}$ 的极限就是 $1$；但如果只考虑负向接近的数列，那么计算出来的极限是 $0$。按照定义，这意味着 $f(x)$ 在 $x=0$ 处没极限。

　　 但是这种情况，我们说它是有左极限和右极限的。

定义 6　左极限和右极限

　　 对于函数 $f(x)$，给定实数 $x_0$。

　　 如果取任意正向接近的数列 $\{x_n\}$，所得到的数列 $\{f(x_n)\}$ 的极限都是 $A$，那么称 $A$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的右极限（right limit）。

　　 如果取任意负向接近的数列 $\{x_n\}$，所得到的数列 $\{f(x_n)\}$ 的极限都是 $B$，那么称 $B$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的左极限（left limit）。

　　 一个很容易想到的定理是，如果函数在某点的左右极限都存在且相等，那么函数的极限存在且等于左右极限。证明留作思考题，要注意的是，左右极限相等并没有直接说明 “左右横跳” 式的数列，其极限也等于左右极限。

4. 无穷小的阶

　　 如果令 $x\to 0$，我们就说 $x$ 是无穷小。但一些无穷小会更快地趋近于 $0$，若 $x$ 的某个函数 $\alpha(x)$ 满足

\begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{\alpha(x)}{x} = 0~, \end{equation}
那 $\alpha(x)$ 就是 $x$ 的高阶无穷小。若
\begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{\alpha(x)}{x^n} \ne 0~, \end{equation}
则称 $\alpha(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 阶无穷小。例如，$c x^n$（$c$ 为常数）就是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小，记为 $ \mathcal{O}\left(x^n \right) $。

　　 在求极限时，若高阶无穷小与低阶无穷小相加，通常可以忽略高阶无穷小。另外由定义不难推出

\begin{equation} \mathcal{O}\left(x^n \right) x^m = \mathcal{O}\left(x^{n + m} \right) \qquad (m > -n)~. \end{equation}

　　 在物理中，当我们用一个函数 $g(x)$ 来近似另一个函数 $f(x)$ 并记为 $f(x) = g(x) + \mathcal{O}\left(h^n \right) $ 时（这里 $x$ 是函数的自变量，$h$ 是函数表达式中一个较小的常数），就说 $g(x)$ 的误差为 $ \mathcal{O}\left(h^n \right) $。

1. ^ $\lim\limits_{n \to \infty }$ 在这里相当于一个 “操作”，叫算符（operator），它作用在数列 $a_n$ 上，把数列变成一个数，即该数列的极限。
2. ^ 有两个理由可以说明这种理解不正确：首先，按定义，每个 $a_n$ 都是有理数，而 $\pi$ 是无理数，所以不应该有任何一个 $a_n=\pi$；其次，$\infty$ 不是一个实数，不存在 $n=\infty$ 的说法。这里的 $n\to\infty$ 只是表示 $n$ 的增大是没有限制的。

                     

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