极限

贡献者： addis; JierPeter; Giacomo

预备知识　数列的极限（简明微积分）

1. 数列的极限

　　微积分的核心概念是极限，而极限最基础的情形是数列的极限。数列是离散的，比较容易理解，而所有与极限有关的概念也都可以从数列的极限拓展得到。

　　先来看一个数列的例子。

例 1　

　　我们都知道 $π$ 是一个无理数，所以 $π$ 的小数部分是无限多的。目前用计算机，已经可以将 $π$ 精确地计算到小数点后数亿位。然而在实际应用中，往往只用取前几位小数的近似即可。下面给出一个数列，定义第 $n$ 项是 $π$ 的前 $n$ 位小数近似（不考虑四舍五入），即

\begin{matrix} (1) & a_{0} = 3, a_{1} = 3.1, a_{2} = 3.14, a_{3} = 3.141, \dots \end{matrix}

　　这个数列显而易见的性质，就是当 $n$ 趋于无穷时， $a_{n}$ 趋（近）于 $π$ 。无穷通常用符号 $\infty$ 来表示（像 “8” 横过来写）。我们把这类过程叫做极限。以上这种情况，用极限符号表示，就是

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} a_{n} = π . \end{matrix}

这里

lim

是极限（limit）的意思，下方用箭头表示某个量变化的趋势¹。算符的 “输出” 就是一个数（

a_{n}

的极限值）。所以不要误以为这条式子是说当

n = \infty

时，

a_{n} = π

²，而要理解成数列

a_{n}

经过算符

lim_{n \to \infty}

的作用以后，得出其极限是

π

。类比函数

\sin x = y

，并不是说

x = y

，而是说

x

经过正弦函数作用后等于

y

。

　　所以从概念上来说，极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的。趋于是数列整体的性质，而不是单个数字的性质。我们可以像这样粗略理解 “趋近”：

越来越接近，但不一定相等
（在不相等的情况下）只有更近，没有最近

　　对极限来说，第 2 点成立是非常必要的。但是怎样能说明 “没有最近” 呢？可以看出，当 $n$ 越大， $a_{n}$ 越接近 $π$ ，它们的 “距离”，可以用 $| a_{n} - π |$ 来表示。也就是说，对任何一个 $a_{n}$ ，如果所对应的距离 $| a_{n} - π | \neq 0$ ，总能找到一个更大的数 $m > n$ ，使 $| a_{m} - π | < | a_{n} - π |$ （也就是 $a_{m}$ 比 $a_{n}$ 更靠近 $π$ ），并且要求 $a_{m}$ 之后的所有项也都能满足这一条件。只有这样，才能从数学上说明上面两个意思。这就是极限思想的精髓。根据这个思想，下面可以写出数列极限的定义。

定义 1　数列的极限

　　考虑数列 ${a_{n}}$ 。若存在一个实数 $A$ ，使得对于任意给定的正实数 $ε > 0$ （无论它有多么小），总存在正整数 $N_{ϵ}$ ，使得对于所有编号 $n > N_{ϵ}$ ，都有 $| a_{n} - A | < ε$ （ $A$ 为常数）成立，那么数列 $a_{n}$ 的极限就是 $A$ 。

　　将 “数列 ${a_{n}}$ 的极限是 $A$ ” 表示为 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ 。

　　由于极限的精髓是 “无论多靠近，都能找到 $N$ 使得 $N$ 之后的项满足所要求的靠近程度”，因此极限的概念不仅限于数字序列，也可以推广到任何能定义距离的集合里。比如说，二维平面上可以依次选出点 $P_{1}, P_{2}, \dots$ ，就得到一个点列，点列同样可以趋于平面上某一个点。当然，我们可以把任意集合里的元素都看作点，于是数列也是一种特殊的点列。把定义 1 稍加修改，就能得到极限的一般定义：

定义 2　距离函数

　　考虑集合 $X$ ，在 $X$ 上定义一个函数 $d : X \times X \to R^{+} \cup {0}$ ，满足：

对称性：对于任意 $x, y \in X$ ，都有 $d (x, y) = d (y, x)$ ；
正定性：对于任意 $x, y \in X$ ，都有 $d (x, y) \geq 0$ ，且等号仅在 $x = y$ 时成立；
三角不等式：对于任意 $x, y, z \in X$ ，都有 $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ 。

　　则称 $d$ 是一个距离函数， $d (x, y)$ 是点 $x$ 和点 $y$ 之间的距离。

定义 3　点列的极限

　　考虑集合 $X$ ，在 $X$ 上给定了距离函数 $d$ 。

　　对于 $X$ 中的点列 ${P_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ ，若存在点 $P_{0} \in X$ ，使得数列 ${d (P_{n} - P_{0})}$ 趋近于 $0$ ，则称 ${P_{n}}$ 的极限（limit）或者说极限点（limit point）是 $P_{0}$ 。

图 1：两个数列示意图。实心点表示数列

a_{n} = (- 1)^{n}

，空心点表示数列

b_{n} = (1 / 2)^{n}

；横实线表示

y = 1

，横虚线表示

y = 1 / 2

。由图可见，随着

n

增大，黑色点列虽然总有落在

1

上的点，但也总有落在虚线以外的点；而空心点列则总是落在虚线以外。这样，虚线就像一个天堑，随着

n

增大的时候两个数列都有被这个天堑隔开的点，这时我们就说这两个数列都不趋近于

1

。不过，空心点数列

{b_{n}}

是趋近于

0

的。

　　由于以上讨论中 $lim$ 作用的对象是数列，那么箭头右边只能是 $\infty$ （准确来说应该是正无穷 $+ \infty$ ，但是由于数列的项一般是正的，所以正号省略了）。

　　把定义套用到上面的例 1 中，如果要求 $| a_{n} - π | < 10^{- 3}$ （给定 $ε = 10^{- 3}$ ），只要令 $N = 3$ （当然也可以令 $N = 4, N = 5$ ，等）就可以保证第 $N$ 项后面所有的项都满足要求。一般地如果给定 $ε = b \times 10^{- q} (b > 1)$ ，就令 $N = q$ ，第 $N$ 项以后的项就满足要求。根据定义，这就意味着 $lim_{n \to \infty} a_{n} = π$ 。

　　我们来看几个简单的例题，加深一下印象。

习题 1　

　　考虑数列 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ 。根据定义，证明 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 。

习题 2　

　　考虑数列 $a_{n} = (- 1)^{n}$ 。这个数列存在极限吗？

　　习题 2 的数列是不存在极限的，因为它的值在 $\pm 1$ 之间反复横跳，也就是说对于任何实数 $A$ ， $| a_{n} - A |$ 都只有最多两个值，而且其中一个肯定非零。这就导致如果我们把 $ϵ > 0$ 取得足够小（小于两个 $| a_{n} - A |$ 中比较大的那个），那么不管 $N$ 多大，总有 $n > N$ 使得 $| a_{n} - A | > ϵ$ 。结果就是这个数列没有任何极限值。我们把这种情况称为发散。

定义 4　数列的敛散性

　　如果一个数列 ${a_{n}}$ 不存在极限，就称它是发散（divergent）的。如果 ${a_{n}}$ 存在极限，则称它是收敛（convergent）的。

2. 函数的极限

　　实函数 $f (x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列，只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$ 。类比数列的极限，我们也可以定义函数在正无穷的极限 $lim_{x \to + \infty} f (x) = A$ 。

定义 5　函数趋于正无穷时的极限

　　考虑实函数 $f (x)$ 。若存在实数 $A$ ，使得对于任意 $ϵ > 0$ ，总存在正实数 $X_{ϵ}$ ，使得对于所有 $x > X_{ϵ}$ ，都有 $| f (x) - A | < ϵ$ ，那么我们说 $A$ 是函数 $f (x)$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限。

　　可以看到，定义 5 和定义 1 非常相似，只是简单做了替换。不过，函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况。数列的编号只能朝着一个方向增大，但实函数的自变量就自由得多，它可以奔向负无穷，也可以集中到一点 $x_{0}$ 。

　　如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_{0}$ ” 呢？我们可以拓展一下 “趋于无穷” 的概念。函数自变量或者数列编号趋于无穷，就是说我们可以把自变量和数列编号取得越来越 “接近无穷”，虽然这种说法并不严谨，但它可以提供一个很好的借鉴：函数自变量趋于给定实数 $x_{0}$ ，就是说我们取的自变量 $x$ 使得 $| x - x_{0} |$ 越来越接近 $0$ 。

　　现在问题来了，什么叫 “越来越” 呢？在讨论数列极限的时候，我们没有在意这个细节，因为我们也只能考虑数列编号增大的情况，而这里的 “越来越” 也自然表示 “随着数列编号的增大” 了。但是讨论函数自变量趋于给定实数 $x_{0}$ 的时候，就有些麻烦了，我们没有一个衡量 “时间流逝” 的自然标准了。要解决这个问题，最好还是再次把数列给请出来。

　　下面，我直接给出函数极限的定义，请仔细咀嚼，看看数列是怎么用来准确描述函数极限的。

定义 6　函数的极限

　　考虑实函数 $f (x)$ ，并给定一个实数 $x_{0}$ 。

　　取数列 ${x_{n}}$ ，使得 $lim_{n \to \infty} = x_{0}$ 。这样， ${f (x_{n})}$ 也构成一个数列。

　　如果对于任意的满足上述要求的数列 ${x_{n}}$ ，都有实数 $A$ 使得 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = A$ ，那么我们说 $f (x)$ 在 $x$ 趋近于 $x_{0}$ 时的极限为 $A$ 。

　　将这个极限表述为 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 。

　　注意看定义 6 中是如何从 $lim_{n \to \infty} = x_{0}$ 和 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = A$ 过渡到 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 的。这里，从离散到连续的桥梁，正是 “任意” 二字。也就是说，“连续” 就是 “任意的离散”，比如 “连续地接近时满足的条件” 就是 “任意一种离散地接近时都满足的条件”。

　　定义 6 同时也是最为完整的函数极限定义，只需要把 $x_{0}$ 替换为 $\pm \infty$ 即可囊括无穷的情况。

例 2　

　　求函数在某个值处的极限时，通常可以直接代入数值计算，如

\begin{matrix} (3) & lim_{x \to 1} 2 x + 1 = 3, lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4} . \end{matrix}

　　当无穷大与常数相加时，可以忽略常数，如

\begin{matrix} (4) & lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{2 x + 2} = lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

例 3　

　　考虑符号函数 $sgn (x)$ ，其定义为： $x > 0$ 时， $sgn (x) = 1$ ， $sgn (- x) = - 1$ ，且有 $sgn (0) = 0$ 。也就是说，正数的函数值为 $1$ ，负数的为 $2$ ， $0$ 的就是 $0$ 。

　　现在考虑 $sgn (x)$ 在 $0$ 处的极限值。我们首先要研究那些趋近于 $0$ 的数列。

　　如果我们取数列 $g_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ ，那么 $sgn (g_{n})$ 中各项都恒为 $1$ ，因此 $lim_{n \to \infty} sgn (g_{n}) = 1$ 。

　　但是如果取数列 $h_{n} = - \frac{1}{2^{n}}$ ，那么 $lim_{n \to \infty} sgn (h_{n}) = - 1$ 。

　　如果再取数列 $j_{n} = 0$ ，那么 $lim_{n \to \infty} sgn (j_{n}) = 0$ 。

　　以上三个数列都趋于 $0$ ，但由它们构造的 $sgn (g_{n})$ 、 $sgn (h_{n})$ 和 $sgn (j_{n})$ 的极限却各不相同。这就意味着 $sgn (x)$ 在 $0$ 处并没有极限值。

定义 7　函数的敛散性

　　拓展数列的敛散性的定义 4 。若函数在一点处有极限值，则称之为收敛的；否则，称之为发散的。

3. 左极限和右极限

　　自变量趋于无穷的过程，只有一个方向，要么是不停增大（正无穷），要么是不停减小（负无穷）。但如果自变量是趋近一个实数 $x_{0}$ ，那么至少就有两个方向，从大于 $x_{0}$ 的点开始减小（正向接近），和从小于 $x_{0}$ 的点开始增大（负向）接近。

　　由于极限的定义是 “怎么接近都可以”，因此若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处存在极限，无论怎么取接近 $x_{0}$ 的数列，正向接近也好反向接近也罢，哪怕是一会儿正一会儿负地反复横跳，只要接近，这些数列的极限值都是一样的。

　　但是有些函数则不然。考虑这个函数： $f (x)$ ，其中 $x < 0$ 时 $f (x) = 0$ ， $x \geq 0$ 时 $f (x) = 1$ 。在 $x = 0$ 处，如果只考虑正向接近的数列 ${x_{n}}$ ，那么计算出来的 ${f (x_{n})}$ 的极限就是 $1$ ；但如果只考虑负向接近的数列，那么计算出来的极限是 $0$ 。按照定义，这意味着 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处没极限。

　　但是这种情况，我们说它是有左极限和右极限的。

定义 8　左极限和右极限

　　对于函数 $f (x)$ ，给定实数 $x_{0}$ 。

　　如果取任意正向接近的数列 ${x_{n}}$ ，所得到的数列 ${f (x_{n})}$ 的极限都是 $A$ ，那么称 $A$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的右极限（right limit）。

　　如果取任意负向接近的数列 ${x_{n}}$ ，所得到的数列 ${f (x_{n})}$ 的极限都是 $B$ ，那么称 $B$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的左极限（left limit）。

　　一个很容易想到的定理是，如果函数在某点的左右极限都存在且相等，那么函数的极限存在且等于左右极限。证明留作思考题，要注意的是，左右极限相等并没有直接说明 “左右横跳” 式的数列，其极限也等于左右极限。

4. 无穷小的阶

　　如果令 $x \to 0$ ，我们就说 $x$ 是无穷小。但一些无穷小会更快地趋近于 $0$ ，若 $x$ 的某个函数 $α (x)$ 满足

\begin{matrix} (5) & lim_{x \to 0} \frac{α (x)}{x} = 0, \end{matrix}

那

α (x)

就是

x

的高阶无穷小。若

\begin{matrix} (6) & lim_{x \to 0} \frac{α (x)}{x^{n}} \neq 0, \end{matrix}

则称

α (x)

为

x

的

n

阶无穷小。例如，

c x^{n}

（

c

为常数）就是

x

的 $n$ 阶无穷小，记为

O (x^{n})

。

　　在求极限时，若高阶无穷小与低阶无穷小相加，通常可以忽略高阶无穷小。另外由定义不难推出

\begin{matrix} (7) & O (x^{n}) x^{m} = O (x^{n + m}) (m > - n) . \end{matrix}

　　在物理中，当我们用一个函数 $g (x)$ 来近似另一个函数 $f (x)$ 并记为 $f (x) = g (x) + O (h^{n})$ 时（这里 $x$ 是函数的自变量， $h$ 是函数表达式中一个较小的常数），就说 $g (x)$ 的误差为 $O (h^{n})$ 。

1. ^ $lim_{n \to \infty}$ 在这里相当于一个 “操作”，叫算符（operator），它作用在数列 $a_{n}$ 上，把数列变成一个数，即该数列的极限。
2. ^ 有两个理由可以说明这种理解不正确：首先，按定义，每个 $a_{n}$ 都是有理数，而 $π$ 是无理数，所以不应该有任何一个 $a_{n} = π$ ；其次， $\infty$ 不是一个实数，不存在 $n = \infty$ 的说法。这里的 $n \to \infty$ 只是表示 $n$ 的增大是没有限制的。

极限

1. 数列的极限

例 1

定义 1 数列的极限

定义 2 距离函数

定义 3 点列的极限

习题 1

习题 2

定义 4 数列的敛散性

2. 函数的极限

定义 5 函数趋于正无穷时的极限

定义 6 函数的极限

例 2

例 3

定义 7 函数的敛散性

3. 左极限和右极限

定义 8 左极限和右极限

4. 无穷小的阶

例 1　

定义 1　数列的极限

定义 2　距离函数

定义 3　点列的极限

习题 1　

习题 2　

定义 4　数列的敛散性

定义 5　函数趋于正无穷时的极限

定义 6　函数的极限

例 2　

例 3　

定义 7　函数的敛散性

定义 8　左极限和右极限