高阶导数（极简微积分）

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　求导法则

　　一个一元函数 $y = f (x)$ 可导，如果导函数 $y^{'} = f^{'} (x)$ 仍可导，则称 $y^{'} = f^{'} (x)$ 的导数为函数 $y = f (x)$ 的二阶导数，记为

\begin{matrix} (1) & y^{″}, f^{″} (x), \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{2} f}{d x^{2}}, y^{″} (x), \end{matrix}

即

\begin{matrix} (2) & y^{″} = (y^{'})^{'}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) . \end{matrix}

　　由导数中的定义式 4 ，可得二阶导数的计算公式

\begin{matrix} (3) & f^{″} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f^{'} (x + Δ x) - f^{'} (x)}{Δ x} . \end{matrix}

　　若把 $y = f (x)$ 的导数 $y^{'} = f^{'} (x)$ 称为 $y = f (x)$ 的一阶导数，那么，一阶导数的导数就称为二阶导数。若二阶导数 $y^{″} = f^{″} (x)$ 仍然可导，我们就把二阶导数的数 $y^{″} = f^{″} (x)$ 的导数称为三阶导数，记为

\begin{matrix} (4) & y^{‴}, f^{‴} (x), \frac{d^{3} y}{d x^{3}}, \frac{d^{3} f}{d x^{3}}, y^{‴} (x) . \end{matrix}

　　一般地，如果 $y = f (x)$ 的 $n - 1$ 阶导数是可导的，我们就把 $n - 1$ 阶导数的导数称为果 $y = f (x)$ 的n 阶导数，记为

\begin{matrix} (5) & y^{(n)}, f^{(n)} (x), \frac{d^{n} y}{d x^{n}}, \frac{d^{n} f}{d x^{n}}, y^{(n)} (x), \end{matrix}

　　二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。利用求导公式和求导法则就可以求出高阶导数。

未完成：说明越高阶可导越光滑，无穷阶可导简称为 “光滑”