薛定谔方程 2（单粒子多维）

贡献者： addis

预备知识　多维空间中的量子力学，定态薛定谔方程，分离变量法

\begin{matrix} (1) & H | Ψ ⟩ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | Ψ ⟩ . \end{matrix}

　　波函数是位置矢量的函数 $Ψ (r, t)$

\begin{matrix} (2) & T = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2}, V = V (r) . \end{matrix}

定态薛定谔方程为

\begin{matrix} (3) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} Ψ + V (r) Ψ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ . \end{matrix}

1. 能量守恒系统

　　当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时，我们说这个系统能量守恒。这时我们可以用分离变量法，令

\begin{matrix} (4) & Ψ (r, t) = ψ (r) T (t), \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & H ψ = E ψ, \end{matrix}

以及

\begin{matrix} (6) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} T = E T . \end{matrix}

其中式 5 就是定态薛定谔方程，即哈密顿算符的本征方程。式 6 有简单的解

\begin{matrix} (7) & T (t) = e^{- i E t / ℏ} . \end{matrix}

　　根据 $H$ 的不同，本征值 $E$ 可以取离散或连续的值。先看只取离散值的简单情况（如无限深势阱），令能级为 $E_{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），那么含时薛定谔方程的通解为

\begin{matrix} (8) & Ψ (r, t) = \sum_{n} C_{n} ψ_{n} (r) e^{- i E_{n} t / ℏ} . \end{matrix}

其中

C_{n}

为待定系数，由初始条件决定。一个简单的例子见 “无限深势阱中的高斯波包”。

　　如果 $E$ 只在某个区间内取连续值，我们同样可以使用分离变量法，只是求和变为积分，系数变为能量的函数

\begin{matrix} (9) & Ψ (r, t) = \int C (E) ψ_{E} (r) e^{- i E t / ℏ} d E . \end{matrix}

若能量是简并的，即定态薛定谔方程中一个能量

E

由多个线性无关的解

ψ_{E, i} (x)

（

i = 1, 2 \dots

），那么上式变为

\begin{matrix} (10) & Ψ (r, t) = \int \sum_{i} C_{i} (E) ψ_{E, i} (r) e^{- i E t / ℏ} d E . \end{matrix}

　　一个经典的例子见 “一维自由粒子（量子）”。