贡献者： addis
- 本文处于草稿阶段。
- 本文需要更多讲解，便于帮助理解。
- 考虑合并
预备知识 多维空间中的量子力学
，
定态薛定谔方程，分离变量法
\begin{equation}
H \left\lvert \Psi \right\rangle = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \left\lvert \Psi \right\rangle ~.
\end{equation}
波函数是位置矢量的函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$
\begin{equation}
T = -\frac{\hbar^2}{2m}~ \boldsymbol{\nabla}^2 ~, \qquad V = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
定态薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi~.
\end{equation}
1. 能量守恒系统
当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时，我们说这个系统能量守恒。这时我们可以用分离变量法，令
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) T(t)~,
\end{equation}
\begin{equation}
H\psi = E\psi~,
\end{equation}
以及
\begin{equation}
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} T = ET~.
\end{equation}
其中
式 5 就是
定态薛定谔方程，即哈密顿算符的本征方程。
式 6 有简单的解
\begin{equation}
T(t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar}~.
\end{equation}
根据 $H$ 的不同，本征值 $E$ 可以取离散或连续的值。先看只取离散值的简单情况（如无限深势阱），令能级为 $E_n$（$n = 1, 2, \dots$），那么含时薛定谔方程的通解为
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum_n C_n \psi_n( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t/\hbar}~.
\end{equation}
其中 $C_n$ 为待定系数，由初始条件决定。一个简单的例子见 “
无限深势阱中的高斯波包”。
如果 $E$ 只在某个区间内取连续值，我们同样可以使用分离变量法，只是求和变为积分，系数变为能量的函数
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int C(E) \psi_E( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E} ~.
\end{equation}
若能量是简并的，即定态薛定谔方程中一个能量 $E$ 由多个线性无关的解 $\psi_{E,i}(x)$（$i=1,2\dots$），那么上式变为
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int \sum_i C_i(E) \psi_{E,i}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E} ~.
\end{equation}
一个经典的例子见 “一维自由粒子（量子）”。