贡献者： addis
一般情况下下刚体的运动方程要比平面运动复杂许多，但我们仍然可以将运动分解为质心的运动以及刚体绕质心的旋转，前者由合力决定，所以仍然有（式 1 ）
\begin{equation}
M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~.
\end{equation}
所以相对于平面运动，该问题的困难在于绕质心转动的计算。虽然角动量定理（
式 1 ）仍然成立，但
惯性张量 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 随时间的变化会使问题复杂得多。下面我们会看到，刚体绕任意固定点转动的角动量定理可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{L}} } = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }~.
\end{equation}
该式又被称为刚体转动的
欧拉方程（Euler's equation），其中 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $（
式 1 ）是刚体的角动量，$ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 是惯性张量。$\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }/\mathrm{d}{t} $ 是矢量角加速度矢量，角速度和角加速度的关系可以类比
速度和加速度。本文中符号上方一点都表示对时间求导，对矩阵和列矢量求导就是对每个元分别求导。 对比定轴转动的
式 2 ，转动惯量变为了惯性张量，且多了一项 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $。
1. 定点转动的方程
我们接下来假设刚体可以绕坐标原点自由转动，而原点未必是刚体的质心1。当参考系为非惯性系时，需要考虑惯性力带来的力矩2。
沿用子节 2 中的符号规范，令体坐标系中惯性张量为 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$，体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 完整描述了刚体绕原点转动的状态，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 确定了刚体每一点的位置，而 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 进一步确定了刚体上每一点的速度。若已知刚体在初始时间的运动状态，且力矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 是一个关于时间和刚体运动状态的已知函数 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} (t, \boldsymbol{\mathbf{R}} , \boldsymbol{\mathbf{\omega}} )$，那么求解以下运动方程可以得到刚体接下来的运动
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} ~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
和
式 4 组成一个非线性一阶常微分方程组，写成标量的形式共有 12 条，未知数分别为 $\omega_x, \omega_y, \omega_z$，$R_{i,j}$ 共 12 个。
事实上旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的 9 个矩阵元中只有三个自由度，如果我们能用三个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $，就可以得到 6 元方程组，例如使用三个欧拉角，详见 “刚体定点旋转的运动方程（欧拉角）”。另一种折衷的方法是用 4 元数，即用 4 个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $，可以得到相对简单的 7 元方程组，详见 “刚体运动方程（四元数）”。
推导
式 4 的含义和推导见 “旋转矩阵的导数”。而式 3 就是式 2 的变形：
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = \boldsymbol{\mathbf{I}} ^{-1} ( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} )~.
\end{equation}
这里的角动量要用惯性张量来计算（
式 1 和
式 15 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 不随时间变化，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 都是时间的函数。另外 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $ 的逆矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} ^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1}$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 的逆矩阵。
式 7 代入
式 6 就是
式 3 。
要证明式 2 ，从角动量定理（式 1 ）得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{L}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{I}} } \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{I}} } \boldsymbol{\mathbf{\omega}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ) \boldsymbol{\mathbf{\omega}}
= \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}}
= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} - \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - \boldsymbol{\mathbf{I}} ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} )
= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
2. 体坐标系中的定点转动方程
在体坐标系中列出转动方程往往可以简化计算。这时往往令体坐标系的三个轴与刚体的三个主轴重合，这样 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 就是三个主转动惯量构成的对角矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{I}} _0 = \begin{pmatrix}I_1 & 0&0 \\ 0& I_2 &0 \\ 0& 0& I_3\end{pmatrix} , \qquad
\boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} = \begin{pmatrix}1/I_1 & 0&0 \\ 0& 1/I_2 &0 \\ 0& 0& 1/I_3\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
令角（加）速度矢量和力矩在实验室坐标系中的坐标为
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = (\omega_{01}, \omega_{02}, \omega_{03})~,\\
& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = (\alpha_{01}, \alpha_{02}, \alpha_{03})~,\\
& \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = (\tau_{01}, \tau_{02}, \tau_{03})~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意此时式中的 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }$ 仍然是刚体相对于实验室坐标系的角（加）速度，只是使用了体坐标系中的基底来计算坐标。令
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0 = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0}}{\mathrm{d}{t}} = (\dot\omega_{01}, \dot\omega_{02}, \dot\omega_{03})~,
\end{equation}
可以证明
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0 = \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0~.
\end{equation}
又令
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0 = \begin{pmatrix}0 & -\omega_{03} & \omega_{02} \\ \omega_{03} & 0 & -\omega_{01}\\ -\omega_{02} & \omega_{01} & 0\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
那么转动方程
式 3 和
式 4 分别简化为
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0 = \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} ( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _0 - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0~.
\end{equation}
把
式 15 写成分量形式得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&\dot\omega_{01} = [\tau_{01} - (I_3-I_2)\omega_{03}\omega_{02}]/I_{1}\\
&\dot\omega_{02} = [\tau_{02} - (I_1-I_3)\omega_{01}\omega_{03}]/I_{2}\\
&\dot\omega_{03} = [\tau_{03} - (I_2-I_1)\omega_{01}\omega_{02}]/I_{3}
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
推导
现在推导式 15 。用式 11 的定义整理式 3 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _0 - ( \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \right] ~.
\end{equation}
令
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} ~,
\end{equation}
容易发现
3 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \boldsymbol\times $ 代表的矩阵（
式 14 ）。接下来，
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} )
= \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + { \boldsymbol{\mathbf{R}} } ^{\mathrm{T}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }
= - \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \omega = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，这就证明了
式 13 。代入
式 18 就证明了
式 15 。
最后，结合式 4 和式 19 就得到式 16 。
1. ^ 例如我们考虑陀螺的运动时，可以把它与地面的接触点作为旋转点（坐标原点），这会比把运动分解为质心的运动和绕质心的转动更方便。但注意此时惯性张量也必须是关于旋转点而不是关于质心的，详见习题 3 。
2. ^ 在平动参考系中，如果取刚体的质心为原点，可以证明惯性力产生的合力矩为零。
3. ^ 推导详见子节 1 。