刚体的运动方程

贡献者： addis

预备知识 1　刚体的平面运动方程，惯性张量

　　一般情况下下刚体的运动方程要比平面运动复杂许多，但我们仍然可以将运动分解为质心的运动以及刚体绕质心的旋转，前者由合力决定，所以仍然有（式 1 ）

\begin{matrix} (1) & M a_{c} = \sum_{i} F_{i} . \end{matrix}

所以相对于平面运动，该问题的困难在于绕质心转动的计算。虽然角动量定理（式 1 ）仍然成立，但惯性张量

I

随时间的变化会使问题复杂得多。下面我们会看到，刚体绕任意固定点转动的角动量定理可以记为

\begin{matrix} (2) & τ = \dot{L} = ω \times L + I \dot{ω} . \end{matrix}

该式又被称为刚体转动的欧拉方程（Euler's equation），其中

L = I ω

（式 1 ）是刚体的角动量，

I

是惯性张量。

\dot{ω} = d ω / d t

是矢量角加速度矢量，角速度和角加速度的关系可以类比速度和加速度。本文中符号上方一点都表示对时间求导，对矩阵和列矢量求导就是对每个元分别求导。对比定轴转动的式 2 ，转动惯量变为了惯性张量，且多了一项

ω \times L

。

1. 定点转动的方程

　　我们接下来假设刚体可以绕坐标原点自由转动，而原点未必是刚体的质心¹。当参考系为非惯性系时，需要考虑惯性力带来的力矩²。

　　沿用子节 2 中的符号规范，令体坐标系中惯性张量为 $I_{0}$ ，体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵为 $R$ ，那么 $R$ 和 $ω$ 完整描述了刚体绕原点转动的状态，其中 $R$ 确定了刚体每一点的位置，而 $ω$ 进一步确定了刚体上每一点的速度。若已知刚体在初始时间的运动状态，且力矩 $τ$ 是一个关于时间和刚体运动状态的已知函数 $τ (t, R, ω)$ ，那么求解以下运动方程可以得到刚体接下来的运动

\begin{matrix} (3) & \dot{ω} = R I_{0}^{- 1} R^{T} [τ - ω \times (R I_{0} R^{T} ω)], \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \dot{R} = Ω R . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (5) & Ω = (\begin{matrix} 0 & - ω_{z} & ω_{y} \\ ω_{z} & 0 & - ω_{x} \\ - ω_{y} & ω_{x} & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

式 3 和式 4 组成一个非线性一阶常微分方程组，写成标量的形式共有 12 条，未知数分别为

ω_{x}, ω_{y}, ω_{z}

，

R_{i, j}

共 12 个。

　　事实上旋转矩阵 $R$ 的 9 个矩阵元中只有三个自由度，如果我们能用三个变量表示 $R$ ，就可以得到 6 元方程组，例如使用三个欧拉角，详见 “刚体定点旋转的运动方程（欧拉角）”。另一种折衷的方法是用 4 元数，即用 4 个变量表示 $R$ ，可以得到相对简单的 7 元方程组，详见 “刚体运动方程（四元数）”。

推导

预备知识 2　旋转矩阵的导数

　　式 4 的含义和推导见 “旋转矩阵的导数”。而式 3 就是式 2 的变形：

\begin{matrix} (6) & \dot{ω} = I^{- 1} (τ - ω \times L) . \end{matrix}

这里的角动量要用惯性张量来计算（式 1 和式 15 ）

\begin{matrix} (7) & L = I ω = R I_{0} R^{T} ω . \end{matrix}

其中

I_{0}

不随时间变化，

L

，

ω

和

R

都是时间的函数。另外

I = R I_{0} R^{T}

的逆矩阵是

I^{- 1} = R I_{0}^{- 1} R^{T}

，

I_{0}^{- 1}

是

I_{0}

的逆矩阵。式 7 代入式 6 就是式 3 。

　　要证明式 2 ，从角动量定理（式 1 ）得

\begin{matrix} (8) & τ = \dot{L} = \dot{I} ω + I \dot{ω} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \dot{I} ω & = \frac{d}{d t} (R I_{0} R^{T}) ω = \dot{R} I_{0} R^{T} ω + R I_{0} {\dot{R}}^{T} ω \\ = Ω R I_{0} R^{T} ω + R I_{0} R^{T} Ω^{T} ω = Ω I ω - I Ω ω \\ = ω \times L - I (ω \times ω) = ω \times L . \end{aligned} \end{matrix}

证毕。

2. 体坐标系中的定点转动方程

预备知识 3　刚体的惯量主轴

　　在体坐标系中列出转动方程往往可以简化计算。这时往往令体坐标系的三个轴与刚体的三个主轴重合，这样 $I_{0}$ 就是三个主转动惯量构成的对角矩阵

\begin{matrix} (10) & I_{0} = (\begin{matrix} I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & I_{3} \end{matrix}), I_{0}^{- 1} = (\begin{matrix} 1 / I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 / I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / I_{3} \end{matrix}) . \end{matrix}

令角（加）速度矢量和力矩在实验室坐标系中的坐标为

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} ω_{0} = R^{T} ω = (ω_{01}, ω_{02}, ω_{03}), \\ α_{0} = R^{T} \dot{ω} = (α_{01}, α_{02}, α_{03}), \\ τ_{0} = R^{T} τ = (τ_{01}, τ_{02}, τ_{03}) . \end{aligned} \end{matrix}

注意此时式中的

ω

和

\dot{ω}

仍然是刚体相对于实验室坐标系的角（加）速度，只是使用了体坐标系中的基底来计算坐标。令

\begin{matrix} (12) & {\dot{ω}}_{0} = \frac{d ω_{0}}{d t} = ({\dot{ω}}_{01}, {\dot{ω}}_{02}, {\dot{ω}}_{03}), \end{matrix}

可以证明

\begin{matrix} (13) & {\dot{ω}}_{0} = α_{0} . \end{matrix}

又令

\begin{matrix} (14) & Ω_{0} = (\begin{matrix} 0 & - ω_{03} & ω_{02} \\ ω_{03} & 0 & - ω_{01} \\ - ω_{02} & ω_{01} & 0 \end{matrix}), \end{matrix}

那么转动方程式 3 和式 4 分别简化为

\begin{matrix} (15) & {\dot{ω}}_{0} = I_{0}^{- 1} (τ_{0} - ω_{0} \times I_{0} ω_{0}), \end{matrix}

\begin{matrix} (16) & \dot{R} = R Ω_{0} . \end{matrix}

把式 15 写成分量形式得

\begin{matrix} (17) & {\begin{aligned} {\dot{ω}}_{01} = [τ_{01} - (I_{3} - I_{2}) ω_{03} ω_{02}] / I_{1} \\ {\dot{ω}}_{02} = [τ_{02} - (I_{1} - I_{3}) ω_{01} ω_{03}] / I_{2} \\ {\dot{ω}}_{03} = [τ_{03} - (I_{2} - I_{1}) ω_{01} ω_{02}] / I_{3} \end{aligned} . \end{matrix}

推导

　　现在推导式 15 。用式 11 的定义整理式 3 得

\begin{matrix} (18) & α_{0} = I_{0}^{- 1} [τ_{0} - (R^{T} Ω R) I_{0} ω_{0}] . \end{matrix}

令

\begin{matrix} (19) & Ω_{0} = R^{T} Ω R, \end{matrix}

容易发现³

Ω_{0}

就是

ω_{0} \times

代表的矩阵（式 14 ）。接下来，

\begin{matrix} (20) & {\dot{ω}}_{0} = \frac{d}{d t} (R^{T} ω) = {\dot{R}}^{T} ω + R^{T} \dot{ω} = - R^{T} Ω ω + α_{0} . \end{matrix}

其中

Ω ω = ω \times ω = 0

，这就证明了式 13 。代入式 18 就证明了式 15 。

　　最后，结合式 4 和式 19 就得到式 16 。

1. ^ 例如我们考虑陀螺的运动时，可以把它与地面的接触点作为旋转点（坐标原点），这会比把运动分解为质心的运动和绕质心的转动更方便。但注意此时惯性张量也必须是关于旋转点而不是关于质心的，详见习题 3 。
2. ^ 在平动参考系中，如果取刚体的质心为原点，可以证明惯性力产生的合力矩为零。
3. ^ 推导详见子节 1 。