贡献者: addis
我们已知描述一个质点在三维空间中的位置需要至少三个变量,无论使用直角坐标,柱坐标或球坐标。我们说这个质点有三个自由度(degrees of freedom)。同理,若空间中有 $N$ 个质点可以自由移动,我们就说这些质点组成的系统有 $3N$ 个自由度。
需要注意的是,以上讨论的粒子都是自由的,即没有约束。若给系统施加约束,自由度就会相应减少。例如,若用长度为 $R$ 的细棒将一个质点和坐标原点相连,则质点只能够在半径为 $R$ 的球面上运动,这时我们在直角坐标系中施加了约束条件
另一个例子是考虑两个质点,它们之间由长度为 $R$ 细棒相连,那么原来的 $6$ 个自由度的系统在一个约束条件 $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = R^2$ 下变为 $5$ 个自由度。要具体选取五个独立变量,我们可以用三个独立变量先确定第一个质点的位置,然后再用剩下两个独立变量加上约束条件确定第二个质点的位置。我们还可以再继续加约束条件,例如限制第一个质点只能在 $z$ 轴上运动,这事实上是两个约束条件 $x_1 = 0$ 和 $y_1 = 0$,使两个质点的自由度最终减少为 3 个。我们可以取一个独立变量描述第一个质点在 $z$ 轴上的坐标,另外两个独立变量描述第二个质点相对于第一个质点的方向。
1. ^ 注意这个例子中第三个变量可能会有正负两个解,但我们仍然认为它是非独立的。