刚体的动能、动能定理

贡献者： addis

预备知识　刚体的平面运动方程，柯尼希定理

　　如果我们把刚体看作质点系，那么系统中任意两个质点间距离保持不变，我们可以假设这些质点之间以不可伸长的轻杆相连，使它们不能相对运动。

1. 平动动能与转动动能

　　刚体的转动动能等于 $1 / 2$ 瞬时转轴的角速度平方乘以关于该轴的转动惯量。平动动能等于质心的等效动能。

　　由柯尼希定理，刚体的动能可以分为平动动能和转动动能两部分。下面来证明一段时间内，平动动能的增加等于合外力关于质心位移的做功，而转动动能的增加等于质心系中合外力矩的做功。（未完成！）

　　先考虑刚体的定点转动，若瞬时角速度为 $ω$ ，总力矩为 $τ$ ，则功率为

\begin{matrix} (1) & P = τ \cdot ω . \end{matrix}

推导：若把刚体看作质点系，有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} P & = \sum_{i} v_{i} \cdot F_{i} = \sum_{i} (ω \times r_{i}) \cdot F_{i} = \sum_{i} (r_{i} \times F_{i}) \cdot ω \\ = \sum_{i} τ_{i} \cdot ω = τ \cdot ω . \end{aligned} \end{matrix}

未完成：不够详细，引用相关公式

　　刚体绕某点转动的动能为

\begin{matrix} (3) & T = \frac{1}{2} ω \cdot L = \frac{1}{2} ω I ω . \end{matrix}

证明：若把刚体看作质点系，有

\begin{matrix} (4) & \frac{1}{2} ω \cdot L = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} (r_{i} \times v_{i}) \cdot ω = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} (ω \times r_{i}) \cdot v_{i} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} = T . \end{matrix}

证毕。

未完成：不够详细，引用相关公式