旋转矩阵的导数

                     

贡献者： addis

　　 假设坐标系 $S^{\prime }$ 中任意一不动点坐标为 ${\mathbf{r}}^{\prime }$（不随时间变化），通过三维旋转矩阵 $\mathbf{R}$ 变换到坐标系 $S$ 中的坐标 $\mathbf{r}$，即

令 $\mathit{\omega }=({\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z)$ 是 $S^{\prime }$ 相对于 $S$ 的瞬时角速度。假设 $\mathbf{R}$ 随时间 $t$ 变化，记为函数 $\mathbf{R}(t)$。那么它对时间求导 $\dot{\mathbf{R}}$（即每个矩阵元对 $t$ 求导）为 其中

1. 证明

　　 把式 1 对 $t$ 求导得该点在实验室坐标系的速度为

角速度和速度之间有 $\mathbf{v}=\mathit{\omega }\mathbf{\times }(\mathbf{R}{\mathbf{r}}^{\prime })$（式 5 ）。我们可以把叉乘用矩阵乘法表示为（式 2 ） $\mathbf{\Omega }$（式 3 ）是一个反对称矩阵，即 由于 ${\mathbf{r}}^{\prime }$ 是任意的，对比式 4 和式 5 得式 2 。证毕。