刚体的平面运动方程

贡献者： addis

预备知识　转动惯量

　　任意惯性系中，若刚体质量为 $M$ ，质心为 $r_{c}$ ，刚体受若干个力 $F_{i}$ ，作用点分别为 $r_{i}$ ，若刚体的转动被限制在一个固定的方向，且过质心转轴的转动惯量为 $I$ ，则质心运动方程和绕质心转动的方程分别为

\begin{matrix} (1) & M a_{c} = \sum_{i} F_{i}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & I α = \sum_{i} τ_{i} = \sum_{i} (r_{i} - r_{c}) \times F_{i} . \end{matrix}

其中

a_{c}

是质心的加速度，

α

是绕质心转动的角加速度。这是说，我们可以把刚体的运动分解成质心的移动和相对质心的转动，并用合力计算前者，用关于质心的合力矩计算后者。

1. 推导

　　我们把刚体看做质点系来证明，已知刚体总动量等于质心动量 $p_{c}$ 。在任意惯性系中，由动量定理，动量变化率为

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} p_{c} = M a_{c} = \sum_{i} F_{i}, \end{matrix}

　　现在我们用角动量定理证明式 2 。由于质心与刚体的相对位置不变，质心系中刚体必须绕质心转动，且角动量为（式 12 ） $L_{c} = I ω$ ，角动量变化率为¹

\begin{matrix} (4) & \frac{d L_{c}}{d t} = I \frac{d ω}{d t} = I α . \end{matrix}

要特别注意的是，除非合力为零，质心系并不是惯性系，所以使用角动量定理要考虑刚体的惯性力。但幸运的是质心系中惯性力（式 5 ）

- m_{i} a_{c}

产生的合力矩为零

\begin{matrix} (5) & \sum_{i} r_{c i} \times (- m_{i} a_{c}) = a_{c} \times \sum_{i} m_{i} r_{c i} = 0 . \end{matrix}

现在我们可以继续角动量定理得

\begin{matrix} (6) & I α = \sum_{i} r_{c i} \times F_{i} . \end{matrix}

由于质心系相对于任何惯性系没有相对转动，所以在任意惯性系中刚体的角加速度仍然为

α

。但受力点的位矢变为

r_{i} = r_{c} + r_{c i}

，即

\begin{matrix} (7) & I α = \sum_{i} (r_{i} - r_{c}) \times F_{i} . \end{matrix}

　　如图 1 ，在一个倾角为 $θ$ 的斜面上，一个半径为 $R$ 质量为 $M$ 的均匀的球体（或圆柱）从静止开始向下滚动，其转动惯量为 $I$ ，求质心的加速度和滚动的角加速度。

图 1：圆柱延斜面无摩擦滚动

　　解：首先，根据无摩擦的条件，系统只有一个自由度，即圆柱的位移或者转角，二者的关系为

\begin{matrix} (8) & s = R θ . \end{matrix}

两边求二阶导数，得加速度与角加速度的关系为

\begin{matrix} (9) & a = R α . \end{matrix}

　　受力分析如图，圆柱受三个力：重力，支持力和静摩擦力。将物体受到的重力分解为垂直斜面方向和沿斜面方向的两个分力。其中垂直方向的分力与斜面提供的支持力抵消，而平行方向的分量和摩擦力的合力决定质心的加速度（式 1 ）

\begin{matrix} (10) & m g \sin θ - f = M a . \end{matrix}

再来分析关于质心的转动，由于重力和支持力都在质心，所以对合力矩贡献为 0。所以只有摩擦力的贡献为

τ = f R

，由式 2 得

\begin{matrix} (11) & I α = τ = f R . \end{matrix}

由式 9 到式 11 三式解得加速度为

\begin{matrix} (12) & a = \frac{g \sin θ}{1 + I / (M R^{2})} . \end{matrix}

可见转动惯量为 0 时，结果与无摩擦滚动一致。而转动惯量越大，加速度就越小。

　　一根质量为 $M$ 长为 $L$ 的均匀细棒延 $y$ 方向静止放置在水平面 $x y$ ，从 $t = 0$ 时起在其上端施加一个 $x$ 方向的恒力，描述细棒如何运动。如果木棒与地面的摩擦系数为 $μ$ ，答案又如何？

　　首先考虑质心的运动，细棒所受外力只有一个恒力，所以由式 1 质心沿 $x$ 方向做匀加速运动。再来看质心系中细棒的转动由 “ 转动惯量” 中例 1 可知细棒绕其质心做单摆运动。

1. ^ 注意第一步成立的条件是 $I$ 不变，而一般情况下 $I$ 与刚体的转轴有关，所以只能假设刚体延同一方向转动。唯一的例外是物体的转动惯量与方向无关的情况，例如球体。刚体的变向转动较为复杂，不做讨论。