角动量定理、角动量守恒

贡献者： addis; Siegfried

预备知识　动量定理动量守恒，系统的角动量

　　 角动量定理可以表示为

\begin{matrix} (1) & τ = \frac{d L}{d t}, \end{matrix}

即系统总角动量（矢量）

L

对时间的变化率等于所有外力矩的矢量和（合外力矩）

τ

。角动量定理可以类比动量定理，其中角动量与系统动量

p

对应，合外力矩与合外力

F

对应。注意一般情况下，

L

和

τ

的方向不一定相同，只有在例如刚体绕固定轴转动的特殊情况时，二者才相同。式 1 的证明见下文。

　　作为一个简单的情况，我们来看刚体的定轴转动。此时刚体的转动惯量以及合外力矩的方向都固定的转轴平行¹，于是我们可以规定一个正方向，把 $L, τ$ 用实数表示：当实数为正，则矢量指向正方向，反之则指向反方向。

　　然而一般情况下， $L$ 和 $τ$ 的方向都可以随时间改变，且二者方向未必相同。这可以类比对质点的曲线运动（如圆周运动）使用动量定理：加速度不仅取决于速度大小的变化，还取决于速度方向的变化；动量和力的方向也未必相同。

例 1　陀螺的进动

图 1：陀螺的进动

　　如图 1 （左），陀螺旋转时，若它的轴与竖直方向有一定倾角，轴会绕一个竖直轴缓慢旋转，这种现象被称为进动（precession）。为了便于分析，我们先假设陀螺进动的角速度比陀螺自转的角速度要慢得多。这样，我们就可以认为陀螺的角动量 $L$ 与陀螺的轴平行。²

　　陀螺在进动过程中，角动量大小不变，但方向不断变化，所以角动量变化率 $d L / d t$ 不为零。令 $L$ 的起点为原点， $L$ 末端在圆形轨迹上运动。 $d L / d t$ 的方向始终沿着该圆形轨迹的切线方向。根据角动量定理，陀螺所受的力矩 $τ$ 也具有同样的大小和方向。

　　那么这个力矩是如何产生的呢？我们对陀螺进行受力分析如图 1 （右），要计算陀螺所受力矩，我们取轴的底端为原点，假设陀螺的轴没有质量，则地面对陀螺的支持力 $N$ 产生的力矩为零，而重力产生的力矩为 $τ = r_{0} \times (m g)$ ，其大小为 $m g r_{0} \sin θ$ ，方向垂直纸面向里，恰好符合陀螺进动的要求。

　　比较违反直觉的地方在于，陀螺受到的重力是延使陀螺倾倒的方向施加的，然而陀螺不但丝毫不会倾倒（如果不计摩擦），反而其重心会向着与重力垂直的方向移动。要具体计算陀螺进动的快慢，我们还需要知道角动量和陀螺自转的角速度的关系（例 4 ）。

1. 角动量守恒

　　当式 1 中系统受合外力矩为零时，角动量变化率为零，即系统总角动量不随时间变化。这时我们说该系统角动量守恒（conservation of angular momentum）。

例 2　面团碰撞

　　在没有引力的太空中，两个面团在各自质心系中的角动量分别为 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 。他们的质心在某惯性系 $S$ 的 $x$ 轴上相向运动然后相撞并融为一体，求碰撞后的角动量。

　　解：根据角动量的质心系分解（式 8 ），在惯性系 $S$ 中他们的角动量仍然为 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 。把两个面团看成一个系统，总角动量为 $L = L_{1} + L_{2}$ 。由于不受任何外力（矩），根据角动量守恒，相撞后总角动量仍然为 $L$ 。

习题 1　面团碰撞 2

　　在没有引力的太空中，质量为 $m_{1}, m_{2}$ 的两个面团在各自质心系中的角动量分别为 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 。他们的质心分别在某惯性系 $S$ 的 $x$ 轴和 $y = 1$ 直线上运动， $x$ 方向速度分别为 $v_{1}, v_{2}$ 。若它们相撞并融为一体，求碰撞后的角动量。

2. 角动量分量守恒

　　在一些情况下，我们不能完全保证合外力矩为零，而只能得出合外力矩在某个方向 $\hat{e}$ 的投影（即分量）为零

\begin{matrix} (2) & τ \cdot \hat{e} \equiv 0 . \end{matrix}

把式 1 两边同时点乘

\hat{e}

，得

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} (L \cdot e) = 0 . \end{matrix}

这就说明

L

在

\hat{e}

方向得投影不随时间变化，即角动量分量守恒。

　　角动量分量守恒最常见的例子是刚体绕固定轴的无摩擦转动：若不施加额外的力矩，轴只可能给刚体施加垂直轴方向的力矩，所以刚体在平行轴方向的角动量分量守恒。

例 3　单车轮与转椅实验

　　小明开始时坐在静止的无摩擦转椅上，两手握住一个单车轮的轴的两端，单车轮在水平面上转动。这时小明将单车轮上下翻转（仍保持转动），问小明与转椅会如何转动？

　　假设开始时车轮的角动量向上，那么翻转后车轮的角动量向下，即角动量增量向下。由于竖直方向的角动量分量守恒，小明的身体和转椅的角动量必须有一个向上的增量，所以转椅最后的旋转方向与轮子开始时的旋转方向相同。

习题 2　

　　若陀螺上有两个相同的转盘逆向旋转，陀螺是否能保持平衡？

　　进动角速度为：

\begin{matrix} (4) & Ω = \frac{m g r_{0}}{I ω} . \end{matrix}

这就是陀螺的轴绕竖直方向旋转的角速度。

3. 证明角动量定理

　　证明可类比系统的动量定理。我们已经知道单个质点的角动量，而任何物体都可以划分成若干足够小的微元，每个微元可以看成一个质点。令第 $i$ 个质点的位矢为 $r_{i}$ ，角动量为 $L_{i}$ ，力矩为 $τ_{i}$ ，单个质点的角动量定理为

\begin{matrix} (5) & \frac{d L_{i}}{d t} = τ_{i} = τ_{i}^{i n} + τ_{i}^{o u t}, \end{matrix}

其中

τ_{i}^{i n}

和

τ_{i}^{o u t}

为质点

i

受到的系统内所有其他质点的力矩和来自系统外的所有力矩。将该式对所有

i

求和，得到总角动量

L

变化率

\begin{matrix} (6) & \frac{d L}{d t} = \sum_{i} \frac{d L_{i}}{d t} = \sum_{i} τ_{i}^{i n} + \sum_{i} τ_{i}^{o u t} . \end{matrix}

现在我们只需证明质点系的合内力矩为零即可

\begin{matrix} (7) & \sum_{i} τ_{i}^{i n} = \sum_{i} (r_{i} \times \sum_{j}^{j \neq i} F_{j \to i}) = \sum_{i, j}^{i \neq j} r_{i} \times F_{j \to i}, \end{matrix}

其中

F_{j \to i}

是质点

j

对质点

i

的力。现在只考虑任意两个质点

k

和

l

，在求和中的贡献为

\begin{matrix} (8) & r_{k} \times F_{l \to k} + r_{l} \times F_{k \to l} \equiv τ_{l \to k} + τ_{k \to l}, \end{matrix}

即

k

对

l

的力矩加

l

对

k

的力矩（两质点的和内力矩）。所以若能证明任意两质点的和内力矩为零，则质点系的合内力矩为零。

　　我们先来看几何证明。如图 2 ，根据定义，力矩的大小等于力的模长乘以力臂的长度，而一对相互作用力的大小相同，又由于二者共线，力臂也重合，所以两个力矩大小相等。但是两个力矩的方向一个是顺时针（指向纸内），一个是逆时针（指向纸外），所以两力矩互相抵消，相加为零。

图 2：两质点的相互作用力对总力矩贡献为零

　　再在看代数的方法：我们先沿着两质点的连线写出相互作用力 $F_{l \to k} = α (r_{k} - r_{l})$ ， $F_{k \to l} = α (r_{l} - r_{k})$ ，其中 $α$ 是一个常数。直接计算两力矩和得

\begin{matrix} (9) & r_{k} \times (r_{k} - r_{l}) α + r_{l} \times (r_{l} - r_{k}) α = 0 . \end{matrix}

证毕。

4. 陀螺进动

预备知识　刚体定轴转动、转动惯量

例 4　陀螺的进动 2

未完成：如果除

r_{0}, m, g

外，还知道陀螺的转动惯量为

I

和陀螺的角速度

ω

，试证明陀螺进动的角速度为

\begin{matrix} (10) & Ω = \frac{m g r_{0}}{I ω} . \end{matrix}

注意进动角速度与陀螺倾角

θ

无关。

　　更一般地，有

\begin{matrix} (11) & Ω \times L = \frac{d L}{d t} = τ \end{matrix}

　　证明：

图 3

　　根据示意图，某一时刻，陀螺重心位于 $r_{0}$ ，自转轴沿 $ω$ 方向，其进动角速度可表示为:

\begin{matrix} (12) & Ω = \frac{d φ}{d t} . \end{matrix}

其中

d φ

为陀螺在

d t

时间内进动转过的角度，根据几何关系：

\begin{matrix} (13) & d φ = \frac{弧度}{半径} = \frac{| d L |}{| L | \sin θ} . \end{matrix}

将力矩与角动量变化关系

| d L | = | τ | d t

代入上式，可得：

\begin{matrix} (14) & Ω = \frac{| τ |}{| L | \sin θ} . \end{matrix}

继续代入

| τ | = m g r_{0} \sin θ

与

| L | = I ω

，最终得到

\begin{matrix} (15) & Ω = \frac{m g r_{0}}{I ω} . \end{matrix}

式 10 得证。

1. ^ 这可以类比质点做直线运动的动量定理，动量和力都沿同一方向。
2. ^ 若该条件不满足，就会出现更为复杂的章动。

角动量定理、角动量守恒

例 1 陀螺的进动

1. 角动量守恒

例 2 面团碰撞

习题 1 面团碰撞 2

2. 角动量分量守恒

例 3 单车轮与转椅实验

习题 2

3. 证明角动量定理

4. 陀螺进动

例 4 陀螺的进动 2

例 1　陀螺的进动

例 2　面团碰撞

习题 1　面团碰撞 2

例 3　单车轮与转椅实验

习题 2　

例 4　陀螺的进动 2