贡献者： addis; Siegfried
角动量定理可以表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} ~,
\end{equation}
即系统总角动量（矢量）$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 对时间的变化率等于所有
外力矩的矢量和（
合外力矩）$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $。角动量定理可以类比
动量定理，其中角动量与系统动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 对应，合外力矩与合外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 对应。注意一般情况下，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向不一定相同，只有在例如
刚体绕固定轴转动的特殊情况时，二者才相同。
式 1 的证明见下文。
作为一个简单的情况，我们来看刚体的定轴转动。此时刚体的转动惯量以及合外力矩的方向都固定的转轴平行1，于是我们可以规定一个正方向，把 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} , \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 用实数表示：当实数为正，则矢量指向正方向，反之则指向反方向。
然而一般情况下，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向都可以随时间改变，且二者方向未必相同。这可以类比对质点的曲线运动（如圆周运动）使用动量定理：加速度不仅取决于速度大小的变化，还取决于速度方向的变化；动量和力的方向也未必相同。
例 1 陀螺的进动
图 1：陀螺的进动
如图 1 （左），陀螺旋转时，若它的轴与竖直方向有一定倾角，轴会绕一个竖直轴缓慢旋转，这种现象被称为进动（precession）。为了便于分析，我们先假设陀螺进动的角速度比陀螺自转的角速度要慢得多。这样，我们就可以认为陀螺的角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与陀螺的轴平行。2
陀螺在进动过程中，角动量大小不变，但方向不断变化，所以角动量变化率 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{t}} } $ 不为零。令 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的起点为原点，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 末端在圆形轨迹上运动。$ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{t}} } $ 的方向始终沿着该圆形轨迹的切线方向。根据角动量定理，陀螺所受的力矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 也具有同样的大小和方向。
那么这个力矩是如何产生的呢？我们对陀螺进行受力分析如图 1 （右），要计算陀螺所受力矩，我们取轴的底端为原点，假设陀螺的轴没有质量，则地面对陀螺的支持力 $N$ 产生的力矩为零，而重力产生的力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 \boldsymbol\times (m \boldsymbol{\mathbf{g}} )$，其大小为 $mgr_0\sin\theta$，方向垂直纸面向里，恰好符合陀螺进动的要求。
比较违反直觉的地方在于，陀螺受到的重力是延使陀螺倾倒的方向施加的，然而陀螺不但丝毫不会倾倒（如果不计摩擦），反而其重心会向着与重力垂直的方向移动。要具体计算陀螺进动的快慢，我们还需要知道角动量和陀螺自转的角速度的关系（例 4 ）。
1. 角动量守恒
当式 1 中系统受合外力矩为零时，角动量变化率为零，即系统总角动量不随时间变化。这时我们说该系统角动量守恒（conservation of angular momentum）。
例 2 面团碰撞
在没有引力的太空中，两个面团在各自质心系中的角动量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$。他们的质心在某惯性系 $S$ 的 $x$ 轴上相向运动然后相撞并融为一体，求碰撞后的角动量。
解：根据角动量的质心系分解（式 8 ），在惯性系 $S$ 中他们的角动量仍然为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$。把两个面团看成一个系统，总角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$。由于不受任何外力（矩），根据角动量守恒，相撞后总角动量仍然为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $。
习题 1 面团碰撞 2
在没有引力的太空中，质量为 $m_1, m_2$ 的两个面团在各自质心系中的角动量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$。他们的质心分别在某惯性系 $S$ 的 $x$ 轴和 $y = 1$ 直线上运动，$x$ 方向速度分别为 $v_1, v_2$。若它们相撞并融为一体，求碰撞后的角动量。
2. 角动量分量守恒
在一些情况下，我们不能完全保证合外力矩为零，而只能得出合外力矩在某个方向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} $ 的投影（即分量）为零
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} \equiv 0~.
\end{equation}
把
式 1 两边同时点乘 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} $，得
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{e}} ) = 0~.
\end{equation}
这就说明 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} $ 方向得投影不随时间变化，即角动量分量守恒。
角动量分量守恒最常见的例子是刚体绕固定轴的无摩擦转动：若不施加额外的力矩，轴只可能给刚体施加垂直轴方向的力矩，所以刚体在平行轴方向的角动量分量守恒。
例 3 单车轮与转椅实验
小明开始时坐在静止的无摩擦转椅上，两手握住一个单车轮的轴的两端，单车轮在水平面上转动。这时小明将单车轮上下翻转（仍保持转动），问小明与转椅会如何转动？
假设开始时车轮的角动量向上，那么翻转后车轮的角动量向下，即角动量增量向下。由于竖直方向的角动量分量守恒，小明的身体和转椅的角动量必须有一个向上的增量，所以转椅最后的旋转方向与轮子开始时的旋转方向相同。
习题 2
若陀螺上有两个相同的转盘逆向旋转，陀螺是否能保持平衡？
进动角速度为：
\begin{equation}
\Omega = \frac{mgr_0}{I\omega}~.
\end{equation}
这就是陀螺的轴绕竖直方向旋转的角速度。
3. 证明角动量定理
证明可类比系统的动量定理。我们已经知道单个质点的角动量，而任何物体都可以划分成若干足够小的微元，每个微元可以看成一个质点。令第 $i$ 个质点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$，角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i$，力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i$，单个质点的角动量定理 为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out}~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out}$ 为质点 $i$ 受到的系统内所有其他质点的力矩和来自系统外的所有力矩。将该式对所有 $i$ 求和，得到总角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 变化率
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} =\sum_i \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out}~.
\end{equation}
现在我们只需证明质点系的合内力矩为零即可
\begin{equation}
\sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} = \sum_i \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \sum_j^{j\ne i} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i} \right) = \sum_{i,j}^{i\ne j} \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i}~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i}$ 是质点 $j$ 对质点 $i$ 的力。现在只考虑任意两个质点 $k$ 和 $l$，在求和中的贡献为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _k \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l\to k} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _l \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k\to l} \equiv \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _{l\to k}+ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _{k\to l}~,
\end{equation}
即 $k$ 对 $l$ 的力矩加 $l$ 对 $k$ 的力矩（两质点的和内力矩）。所以若能证明任意两质点的和内力矩为零，则质点系的合内力矩为零。
我们先来看几何证明。如图 2 ，根据定义，力矩的大小等于力的模长乘以力臂的长度，而一对相互作用力的大小相同，又由于二者共线，力臂也重合，所以两个力矩大小相等。但是两个力矩的方向一个是顺时针（指向纸内），一个是逆时针（指向纸外），所以两力矩互相抵消，相加为零。
图 2：两质点的相互作用力对总力矩贡献为零
再在看代数的方法：我们先沿着两质点的连线写出相互作用力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l\to k} = \alpha( \boldsymbol{\mathbf{r}} _k - \boldsymbol{\mathbf{r}} _l)$，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k\to l} = \alpha( \boldsymbol{\mathbf{r}} _l - \boldsymbol{\mathbf{r}} _k)$，其中 $\alpha$ 是一个常数。直接计算两力矩和得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _k \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _k - \boldsymbol{\mathbf{r}} _l)\alpha + \boldsymbol{\mathbf{r}} _l \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _l - \boldsymbol{\mathbf{r}} _k)\alpha = 0~.
\end{equation}
证毕。
4. 陀螺进动
预备知识 刚体定轴转动、转动惯量
例 4 陀螺的进动 2
未完成：
如果除 $r_0, m, g$ 外，还知道陀螺的转动惯量为 $I$ 和陀螺的角速度 $\omega$，试证明陀螺进动的角速度为
\begin{equation}
\Omega = \frac{mgr_0}{I\omega}~.
\end{equation}
注意进动角速度与陀螺倾角 $\theta$ 无关。
更一般地，有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ~
\end{equation}
证明：
图 3
根据示意图，某一时刻，陀螺重心位于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$，自转轴沿 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 方向，其进动角速度可表示为:
\begin{equation}
\Omega = \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
其中 $ \,\mathrm{d}{\varphi} $ 为陀螺在 $ \,\mathrm{d}{t} $ 时间内进动转过的角度，根据几何关系：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\varphi} =\frac{\text{弧度}}{\text{半径}}=\frac{| \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} } |}{| \boldsymbol{\mathbf{L}} |\sin \theta}~.
\end{equation}
将力矩与角动量变化关系 $| \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} } |=| \boldsymbol{\mathbf{\tau}} | \,\mathrm{d}{t} $ 代入上式，可得：
\begin{equation}
\Omega =\frac{| \boldsymbol{\mathbf{\tau}} |}{| \boldsymbol{\mathbf{L}} |\sin \theta}~.
\end{equation}
继续代入 $| \boldsymbol{\mathbf{\tau}} | = mgr_0\sin\theta$ 与 $| \boldsymbol{\mathbf{L}} |=I\omega$，最终得到
\begin{equation}
\Omega = \frac{mgr_0}{I\omega}~.
\end{equation}
得证。
1. ^ 这可以类比质点做直线运动的动量定理，动量和力都沿同一方向。
2. ^ 若该条件不满足，就会出现更为复杂的章动。
