刚体的惯量主轴
贡献者： addis
刚体转动惯量和角速度的关系为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~.
\end{equation}
我们下面来讨论什么情况下 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 会共线。
我们知道惯性张量是一个 $3\times 3$ 的对称矩阵，即 $I_{ij} = I_{ji}$。而对称矩阵必定具有三个相互垂直的本征矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i$，满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i = I_i \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i \qquad (i = 1,2,3)~.
\end{equation}
注意把 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i$ 乘以任意常数仍然满足上式。也就是说，如果刚体绕着三个主轴旋转，那么它的转动惯量与角速度共线。其中本征值 $I_i$ 称为刚体的三个
主转动惯量。
例 1 长方体的主轴
在例 1 中，我们知道长方体的惯性张量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{I}} = \frac{1}{12} M
\begin{pmatrix}
b^2 + c^2 & 0 & 0\\
0 & a^2 + c^2 & 0\\
0 & 0 & a^2 + b^2~,
\end{pmatrix}
\end{equation}
求本征方程就相当于把矩阵对角化，但这已经是一个对角化矩阵，所以本征矢就是三个单位矢量 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$，即三个主轴分别沿长方体的三条边，它们对应的转动惯量分别为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&I_1 = \frac{1}{12}M(b^2+c^2)~,\\
&I_2 = \frac{1}{12}M(a^2+c^2)~,\\
&I_3 = \frac{1}{12}M(a^2+b^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. 本征值简并
未完成：应该在 “对称矩阵的本征问题
” 中说明一下简并问题，在这里引用
一般情况下，本征方程
式 2 的三个本征值 $I_i$ 互不相同，这时三个主轴是唯一确定的。否则，我们把出现相同本征值的情况叫做简并。但若其中两个本征值相同（例如 $I_1 = I_2$），那么 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _2$ 所在平面的任意矢量也都是主轴。若三个本征值都相同，那么任意方向的转轴都是主轴。例如在
例 1 中，若 $a,b,c$ 各不相同，那么三个主轴只能沿三条边的方向。若 $a = b$，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _2$。
2. 自由旋转体
这里来看主轴的一个重要应用
定理 1
如果一个刚体绕某点旋转且合外力矩为零，那么它将绕主轴旋转。
我们可以用角动量守恒来证明。