刚体的惯量主轴

                     

贡献者: addis

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 惯性张量,对称矩阵的本征问题

   刚体转动惯量和角速度的关系为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{equation}
我们下面来讨论什么情况下 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 会共线.

   我们知道惯性张量是一个 $3\times 3$ 的对称矩阵,即 $I_{ij} = I_{ji}$.而对称矩阵必定具有三个相互垂直的本征矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i$,满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i = I_i \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i \qquad (i = 1,2,3) \end{equation}
注意把 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _i$ 乘以任意常数仍然满足上式.也就是说,如果刚体绕着三个主轴旋转,那么它的转动惯量与角速度共线.其中本征值 $I_i$ 称为刚体的三个主转动惯量

例 1 长方体的主轴

   在例 1 中,我们知道长方体的惯性张量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{I}} = \frac{1}{12} M \begin{pmatrix} b^2 + c^2 & 0 & 0\\ 0 & a^2 + c^2 & 0\\ 0 & 0 & a^2 + b^2 \end{pmatrix} \end{equation}
求本征方程就相当于把矩阵对角化,但这已经是一个对角化矩阵,所以本征矢就是三个单位矢量 $(1,0,0)$,$(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$,即三个主轴分别沿长方体的三条边,它们对应的转动惯量分别为
\begin{equation} \begin{aligned} &I_1 = \frac{1}{12}M(b^2+c^2)\\ &I_2 = \frac{1}{12}M(a^2+c^2)\\ &I_3 = \frac{1}{12}M(a^2+b^2) \end{aligned} \end{equation}

1. 本征值简并

  

未完成:应该在 “对称矩阵的本征问题” 中说明一下简并问题,在这里引用
一般情况下,本征方程式 2 的三个本征值 $I_i$ 互不相同,这时三个主轴是唯一确定的.否则,我们把出现相同本征值的情况叫做简并.但若其中两个本征值相同(例如 $I_1 = I_2$),那么 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _2$ 所在平面的任意矢量也都是主轴.若三个本征值都相同,那么任意方向的转轴都是主轴.例如在例 1 中,若 $a,b,c$ 各不相同,那么三个主轴只能沿三条边的方向.若 $a = b$,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _2$.

2. 自由旋转体

   这里来看主轴的一个重要应用

定理 1 

   如果一个刚体绕某点旋转且合外力矩为零,那么它将绕主轴旋转.

   我们可以用角动量守恒来证明.

                     

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