刚体运动方程（四元数）

贡献者： addis

预备知识　刚体的运动方程，四元数与旋转矩阵

　　我们用四元数 $q$ 和角速度 $ω$ （共 7 个标量）来表示刚体绕固定点旋转的运动状态。下面来列运动方程（7 元一阶微分方程组）。

　　式 12 中已经给出了 4 条（ $q$ 关于时间的导数）

\begin{matrix} (1) & \dot{q} = \frac{1}{2} ω q, \end{matrix}

　　而之前的式 3 给出了另外 3 条（ $ω$ 关于时间的导数）。注意现在我们可以用四元数 $q$ 表示 $R$ （式 9 ）。

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \dot{ω} & = R I_{0}^{- 1} R^{T} [τ - ω \times (R I_{0} R^{T} ω)] \\ = q I_{0}^{- 1} q^{- 1} [τ - ω \times (q I_{0} q^{- 1} ω)] . \end{aligned} \end{matrix}

其中

I_{0}

是体坐标系中的惯性张量，

R

是体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵，

τ

是力矩（已知）。这样就得到了所有的运动方程。

　　用数值计算来解这个方程组见 “刚体转动数值模拟”。

1. 体坐标系的运动方程

未完成：说明

由于

ω = q ω_{0} q

，

\begin{matrix} (3) & \frac{d q}{d t} = \frac{1}{2} q ω_{0}, \end{matrix}

以及欧拉方程（式 15 式 17 ）。