刚体运动方程（四元数）
贡献者： addis
实验室坐标系的运动方程
我们用四元数 $q$ 和角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $（共 7 个标量）来表示刚体绕固定点旋转的运动状态。下面来列运动方程（7 元一阶微分方程组）。
式 12 中已经给出了 4 条（$q$ 关于时间的导数）
\begin{equation}
\dot{q} = \frac12 \omega q~,
\end{equation}
而之前的式 3 给出了另外 3 条（$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 关于时间的导数）。注意现在我们可以用四元数 $q$ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $（式 9 ）。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } &= \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] \\
&= q \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} q^{-1} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times (q \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 q^{-1} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 是体坐标系中的惯性张量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 是力矩（已知）。这样就得到了所有的运动方程。
用数值计算来解这个方程组见 “刚体转动数值模拟”。
1. 体坐标系的运动方程
未完成：说明
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = q \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 q$，
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} = \frac12 q \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0~,
\end{equation}
以及欧拉方程（
式 15 式 17 ）。