球坐标系中的亥姆霍兹方程

贡献者： addis

预备知识　球谐函数

　　亥姆霍兹方程为¹

\begin{matrix} (1) & (\nabla^{2} + k^{2}) f = 0, \end{matrix}

球坐标系中的求解过程与拉普拉斯方程中的过程类似。将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分（式 6 ）

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} = \nabla_{r}^{2} + \frac{\nabla_{Ω}^{2}}{r^{2}} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}} . \end{matrix}

则式 1 乘

r^{2}

得

\begin{matrix} (3) & (r^{2} \nabla_{r}^{2} + k^{2} r^{2} - \nabla_{Ω}^{2}) f = 0 . \end{matrix}

注意前两项只含有

r

的偏导，第三项只含有

θ, ϕ

的偏导。用分离变量法，令

f (r) = R (r) Y (\hat{r})

，则分离后的角向方程和径向方程分别为

\begin{matrix} (4) & \nabla_{Ω}^{2} Y (\hat{r}) = - l (l + 1) Y (\hat{r}), \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & [r^{2} \nabla_{r}^{2} + k^{2} r^{2} - l (l + 1)] R (r) = 0, \end{matrix}

我们已知角向的解为球谐函数

Y_{l, m} (\hat{r})

。而径向方程比普拉斯方程中的（式 6 ）多出了一项

k^{2} r^{2}

，使用变量代换

ρ = k r

得

\begin{matrix} (6) & ρ^{2} \frac{\partial^{2} R}{\partial ρ^{2}} + 2 ρ \frac{\partial R}{\partial ρ} + [ρ^{2} - l (l + 1)] R = 0 . \end{matrix}

该方程被称为球贝塞尔方程，两个线性无关解分别是第一和第二类球贝塞尔函数

j_{l} (ρ)

和

y_{l} (ρ)

。

　　综上，方程的通解为

\begin{matrix} (7) & f (r) = \sum_{l, m} [A_{l} j_{l} (k r) + B_{l} y_{l} (k r)] Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{matrix}

1. ^ 一般地， $k$ 可以是复数，所以 $k^{2}$ 也可以是负实数。

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