多元傅里叶变换
贡献者： addis
预备知识 傅里叶变换（指数）
，多元函数的傅里叶级数
$N$ 维空间中，性质良好的标量函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(x_1, x_2, \dots, x_N)$ 都可以用 $N$ 维平面波 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 展开。
\begin{align}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \int f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{N}{r} ~,\\
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \int g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{N}{k} ~.
\end{align}
这就是 $N$ 元函数的傅里叶变换和反变换。这个过程有点类似于多元函数的傅里叶级数
，事实上 $N$ 维平面波就是许多一维平面波的乘积，令 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} = (k_1, k_2, \dots, k_N)$，有
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_1 x_1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_2 x_2} \dots \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_N x_N}~.
\end{equation}
满足正交归一化条件（见狄拉克 delta 函数
）
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{N}{r} = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} '- \boldsymbol{\mathbf{k}} )~.
\end{equation}
未完成：其实应该引用多元 delta 函数
多元傅里叶变换的证明可以类比傅里叶变换（指数），不再赘述。
例 1 $N$ 维高斯波包
要计算 $n$ 维高斯函数
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \exp\left(-a \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2\right) \qquad (a > 0)~.
\end{equation}
的傅里叶变换，只需将
式 5 代入
式 1 并利用
式 12 ，即得
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{1}{(\sqrt{2a})^N} \mathrm{e} ^{-\frac{k^2}{4a}}~.
\end{equation}