多元傅里叶变换

贡献者： addis

预备知识　傅里叶变换（指数），多元函数的傅里叶级数

　　 $N$ 维空间中，性质良好的标量函数 $f (r) = f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N})$ 都可以用 $N$ 维平面波 $e^{i k \cdot r}$ 展开。

\begin{aligned} (1) & g (k) & = \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{N}} \int f (r) e^{- i k \cdot r} d^{N} r, \\ (2) & f (r) & = \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{N}} \int g (k) e^{i k \cdot r} d^{N} k . \end{aligned}

这就是

N

元函数的傅里叶变换和反变换。这个过程有点类似于多元函数的傅里叶级数，事实上

N

维平面波就是许多一维平面波的乘积，令

k = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{N})

，有

\begin{matrix} (3) & | k ⟩ = \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{N}} e^{i k \cdot r} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i k_{1} x_{1}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i k_{2} x_{2}} \dots \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i k_{N} x_{N}} . \end{matrix}

满足正交归一化条件（见狄拉克 delta 函数）

\begin{matrix} (4) & ⟨ k^{'} | k ⟩ = \int \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{N}} e^{- i k^{'} \cdot r} \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{N}} e^{i k \cdot r} d^{N} r = δ (k^{'} - k) . \end{matrix}

未完成：其实应该引用多元 delta 函数

　　多元傅里叶变换的证明可以类比傅里叶变换（指数），不再赘述。

　　要计算 $n$ 维高斯函数

\begin{matrix} (5) & f (r) = \exp (- a r^{2}) (a > 0) . \end{matrix}

的傅里叶变换，只需将式 5 代入式 1 并利用式 12 ，即得

\begin{matrix} (6) & g (k) = \frac{1}{(\sqrt{2 a})^{N}} e^{- \frac{k^{2}}{4 a}} . \end{matrix}