贡献者： addis
1. 散射截面
1本文使用原子单位制。散射截面 $\sigma$ 等于一定时间内被散射的粒子数除以单位截面入射的粒子数。那么从经典力学的角度，如果想象入射粒子流密度是均匀的，$\sigma$ 可以看做是一个障碍物（无远程作用）的最大横截面面积，微分截面 $ \mathrm{d}{\sigma}/\mathrm{d}{\Omega} $ 可以理解为单位立体角的散射截面。量子力学中，如果考虑单粒子以平面波入射，那么 $\sigma$ 等于被散射的概率流（概率/时间）除以入射的概率流密度（概率/时间/面积）。概率流定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{ \mathrm{i} }{2m}(\psi \boldsymbol\nabla \psi^* - \psi^* \boldsymbol\nabla \psi )~.
\end{equation}
是能量的函数，可以用概率流定义为（假设散射是轴对称的）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \lim_{r\to\infty} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert }~,
\end{equation}
对所有方向积分得总
散射截面（scattering cross section）
\begin{equation}
\sigma = \int \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} \,\mathrm{d}{\Omega} ~.
\end{equation}
2. 短程势的边界条件
在三维情况下，每个能量 $E$ 的本征函数都是无穷维简并的。且根据不同的边界条件我们可以获得不同的正交归一基底。常见的边界条件如平面波入射。这是一种物理意义较强的选择，因为如果一个无穷远处的入射波包具有很窄的能量带宽，我们就可以把它近似看作是平面波2。平面波经过散射后，会向各个方向发射球面波。于是规定波函数的边界条件为（以下用箭头表示 $r\to\infty$ 时函数的渐进形式）
\begin{equation}
\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow (2\pi)^{-3/2} \left[ \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) + f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \frac{ \exp\left( \mathrm{i} k r\right) }{r} \right] ~,
\end{equation}
$f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是
散射幅。注意该边界条件只能对短程势能使用，即满足
\begin{equation}
\lim_{r\to\infty} r V(r) = 0~
\end{equation}
的势能，原因见下文。显然
库仑势能不属于短程势，我们将在 “
库仑散射” 讨论。满足边界条件
式 4 的波函数也会满足正交归一条件
\begin{equation}
\int \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )^* \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ')~.
\end{equation}
将
式 4 代入
式 2 可得微分截面就是散射幅的模方
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \left\lvert f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2~.
\end{equation}
3. 光学定理
由概率守恒对散射幅的约束，可以得出光学定理（Optical Theorem）
\begin{equation}
\sigma = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} [f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )]~.
\end{equation}
光学定理的物理意义是：球面波往其他方向发射出去的总概率流等于在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ 方向抵消的概率流。
4. 分波展开
除了式 4 的边界条件外，我们也可以找到符合另一种常用边界条件的正交归一散射态，即要求每个散射态同时是能量和角动量 $L^2, L_z$ 的本征态。这与 “氢原子的定态波函数” 类似，只是我们要求能量 $E > 0$。
这时每个能量同样有无穷维简并。我们在球坐标中解方程。先讨论简单的情况，即势能为中心势能 $V(r)$，薛定谔方程可以在球坐标中分离变量，使波函数表示为
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r} \sum_l c_l \psi_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
其中每一项被称为一个
分波（partial wave），满足上述边界条件。因为在中心势能 $V(r)$ 下，使解偏微分方程变为解常微分方程，即径向方程
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{l,m}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_{l,m} = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi_{l,m}~.
\end{equation}
未完成：这一段讲解有点问题，要说明我们只需要 $m = 0$
5. 相移
对于短程势能 $V(r)$，即
\begin{equation}
\lim_{r\to\infty} r V(r) = 0~.
\end{equation}
可以证明
3短程势能在无穷远处对相位的影响可以忽略。$\psi_l(r)$ 的渐进表达式就完全可以由
相移（phase shift） $\delta_l$ 来描述。由于微分截面也是在无穷远处定义的，我们
可以直接由相移计算微分截面。
我们定义相移 $\delta_l$ 满足
\begin{equation}
\psi_l(k, r) \to \sin \left(kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l \right) ~.
\end{equation}
为什么这么定义呢？因为相移是相对的，我们把 $V(r) \equiv 0$ 时的相位作为基准
\begin{equation}
\psi_l(k, r) = kr j_r(kr) \to \sin \left(kr - \frac{l\pi}{2} \right) ~,
\end{equation}
可以证明（使用
式 1 把
式 4 中的平面波展开，再对比系数），将球面波叠加得到
式 4 形式后散射幅为
\begin{equation}
f(k, \theta) = \sum_{l=0}^\infty f_l(k) P_l(\cos\theta)~,
\end{equation}
\begin{equation}
f_l(k) = \frac{2l+1}{k} \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) \sin\delta_l~.
\end{equation}
注意这与 $\phi$ 无关，$f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是一个轴对称的分布。总截面也可以表示为每个分波的截面之和
\begin{equation}
\sigma(k) = \int \left\lvert f(k,\theta) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = \sum_{l=0}^\infty \sigma_l(k)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma_l(k) = \frac{4\pi}{2l+1} \left\lvert f_l(k) \right\rvert ^2 = \frac{4\pi}{k^2} (2l + 1) \sin^2 \delta_l(k)~.
\end{equation}
这说明，散射截面只和相移 $\delta_l(k)$ 有关。数学上可以证明对应同一列 $\delta_l(k)$ 的势能并不是唯一的。
最后，容易证明
\begin{equation}
\sigma(k) = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} f(k,\theta=0)~.
\end{equation}
这说明
入射方向的概率流减少等于被散射的概率流概率流，也被称为
光学定理（optical theorem）。
6. 散射矩阵
定义 $S$ 矩阵（虽然叫矩阵，其实是一列函数）为
\begin{equation}
S_l(k) = \exp\left(2 \mathrm{i} \delta_l\right) ~,
\end{equation}
定义 $K$ 矩阵为
\begin{equation}
K_l(k) = \tan \delta_l~,
\end{equation}
二者关系为
\begin{equation}
S_l(k) = \frac{1 + \mathrm{i} K_l(k)}{1 - \mathrm{i} K_l(k)}~.
\end{equation}
称为矩阵的原因是，在多通道散射（未完成）中，需要考虑从不同通道入射和出射的情况，这些量就成为了矩阵，每个矩阵元都是一个函数。
7. 推导散射截面和相位的关系
存在一组变换系数 $c_l$ 使
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow \frac{1}{kr} \sum_l c_l \sin\left(kr - \frac{\pi l}{2} + \delta_l\right) Y_{l,0}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~
\end{equation}
满足边界条件
式 4 。令
式 4 中散射幅为
\begin{equation}
f(k,\theta) = \sum_l (2l + 1) a_l(k) P_l(\cos \theta)~.
\end{equation}
假设我们已经在球坐标中解出了 $\psi_{k,l}$，即径向波函数 $R_{k,l}(r)$ 与相移，如何获得 $f(k,\theta )$，即系数 $a_l(k)$ 呢？把 $\psi_k$ 用 $\psi_{k,l}$ 基底展开，即对 $P_l$ 展开，再逐项对比系数即可。首先展开平面波
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kz} = \sum_{l = 0}^\infty \mathrm{i} ^l (2l + 1) j_l(kr) P_l(\cos \theta) \rightarrow \sum_{l=0}^\infty (2l + 1)\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (kr - l\pi)}}{2 \mathrm{i} kr} P_l(\cos \theta)~.
\end{equation}
将
式 23 和
式 24 代入
式 4 ，再逐项与
式 22 对比，得
\begin{equation}
a_l(k) = \frac{1}{k} \sin\delta_l \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) ~,
\end{equation}
再次代入
式 23 可得散射幅与相移的关系。
也可以得到系数
\begin{equation}
c_{l,m}^{(\pm)} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{i} ^l \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta_l} Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )~,
\end{equation}
这比
平面波的球谐展开多了一个相位因子 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta_l}$。
散射的边界条件可以有两种，用 $\pm$ 区分。
未完成：有待数值验证
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\lvert \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(\pm)} \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}[ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } + f^{(\pm)}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} kr}]\\
&= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sum_{l=0}^{\infty} \mathrm{i} ^l \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta_l} j_l(kr + \delta_l) \sum_{m=-l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 本文参考 [1] 和 [2] 相关章节。
2. ^ 如果不是，那么入射波包可以由这些散射态叠加而成，之后的时间演化就是这些散射态分别乘以 $ \exp\left(- \mathrm{i} E t\right) $ 再叠加。但由于这时能量没有精确的定义，我们不能讨论微分截面关于能量的函数。
3. ^ 不严谨的证明：无穷远处相位的变化约等于 $\int_0^\infty [V(r) - l(l+1)/(2mr^2)] \,\mathrm{d}{r} $，只要满足 $rV(r) \to 0$ 这个积分就收敛。
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed
[2] ^ Burke, R-Matrix Theory of Atomic Collisions - Application to Atomic, Molecular and Optical Processes