贡献者： addis
预备知识 量子散射
，Lippmann-Schwinger 方程
我们还是要解出连续态的不含时波函数，且无穷远处的动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _i$（入射平面波的动量）。
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi + V\psi = E\psi~,
\end{equation}
\begin{equation}
( \boldsymbol{\nabla}^2 + k^2)\psi = \frac{2m}{\hbar^2} V\psi \equiv U( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\psi~.
\end{equation}
这是非齐次亥姆霍兹方程，其格林函数 为（球面波）
\begin{equation}
G(R) = -\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kR}}{4\pi R}~,
\end{equation}
满足
\begin{equation}
( \boldsymbol{\nabla}^2 + k^2)G( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
，即 Lippmann-Schwinger 方程为
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \int G( \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert )U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~.
\end{equation}
$\psi_0$ 是自由粒子波函数，由于无穷远处积分项消失（$1/r$），$\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} \to\infty)$ 要求具有动量 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _i$，唯一的选择是平面波
\begin{equation}
\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }~.
\end{equation}
由于微分截面定义在无穷远处，我们把格林函数取无穷远处的极限（远场），注意这个极限在定义中，所以并不算是一个近似。这是关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的平面波
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert \approx r - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \approx r~,
\end{equation}
\begin{equation}
G( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = - \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }}{4\pi \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \to - \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{4\pi r} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _f \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} '}~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _f = k \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 是出射的方向，注意 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} _i \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} _f \right\rvert $ 意味着弹性散射。
积分方程求近似解的一般方法是先把一个近似解代入积分内，积分得到一阶修正后的解，再次代入，得到二阶修正后的解，以此类推迭代。波恩近似中，假设势能相对于入射动能较弱，积分项相当于微扰，所以令初始（零阶）波函数为 $\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。代入式 5 得一阶修正的波函数，叫做第一波恩近似
\begin{equation}
\psi ^{(1)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } - A \frac{m}{2\pi\hbar^2} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{r}\int \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} _i - \boldsymbol{\mathbf{k}} _f) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} '} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~.
\end{equation}
根据定义，散射幅为
\begin{equation}
f(k, \hat r) = - \frac{m}{2\pi\hbar^2} \int \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} _i - \boldsymbol{\mathbf{k}} _f) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} '} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~,
\end{equation}
这相当于势能函数的空间傅里叶变换。
1. 高阶波恩近似
把式 5 多次代入式 5 的积分中，得到精确解的 “积分级数” 形式
\begin{equation} \begin{aligned}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= \psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \int \,\mathrm{d}^{3}{r'} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \\
&+ \int \,\mathrm{d}^{3}{r'} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \int \,\mathrm{d}^{3}{r''} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{r}} '')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} '')\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} '') \\
&+ \int \,\mathrm{d}^{3}{r'} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\times\\
&\int \,\mathrm{d}^{3}{r''} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{r}} '')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} '')\int \,\mathrm{d}^{3}{r'''} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} '', \boldsymbol{\mathbf{r}} ''')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ''') \psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ''')
...
\end{aligned} ~\end{equation}
若只计算是指包含前 $n$ 行，就叫第 $n$ 波恩近似。具体计算时，偶尔会用到二阶，基本不会用到三阶或以上。
非常有趣的是，即使我们不假设零阶波函数是平面波，波函数展开成上式时取前 $n$ 行的结果仍然是相同的。